知识讲解正态分布

知识讲解正态分布
正态分布
【学习⽬标】
1.了解正态分布曲线的特点及曲线所表⽰的意义。

2.了解正态曲线与正态分布的性质。

【要点梳理】
要点诠释：
要点⼀、概率密度曲线与概率密度函数
1．概念：
对于连续型随机变量，位于轴上⽅，落在任⼀区间（a，b]内的概率等于它与轴、直线与直线所围成的曲边梯形的⾯积（如图阴影部分），这条概率曲线叫做的概率密度曲线，以其作为图象的函数叫做的概率密度函数。

2、性质：
①概率密度函数所取的每个值均是⾮负的。

②夹于概率密度的曲线与轴之间的“平⾯图形”的⾯积为1
③的值等于由直线，与概率密度曲线、轴所围成的“平⾯图形”的⾯积。

要点⼆、正态分布
1.正态变量的概率密度函数
正态变量的概率密度函数表达式为：，（）
其中x是随机变量的取值；µ为正态变量的期望；是正态变量的标准差.
2．正态分布
（1）定义
如果对于任何实数随机变量满⾜：，
则称随机变量服从正态分布。

记为。

（2）正态分布的期望与⽅差
若，则的期望与⽅差分别为：，。

要点诠释：
（1）正态分布由参数和确定。

参数是均值，它是反映随机变量取值的平均⽔平的特征数，可⽤样本的均值去估计。

是
标准差，它是衡量随机变量总体波动⼤⼩的特征数，可以⽤样本的标准差去估计。

（2）经验表明，⼀个随机变量如果是众多的、互不相⼲的、不分主次的偶然因素作⽤结果之和，它就服从或近似服从正态分布．
在现实⽣活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某⼀地区同年龄⼈群的⾝⾼、体重、肺活量等；⼀定条件下⽣长的⼩麦的株⾼、穗长、单位⾯积产量等；正常⽣产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺⼨、纤维的纤度、电容器的电容量、电⼦管的使⽤寿命等）；某地每年七⽉份的平均⽓温、平均湿度、降⾬量等；⼀般都服从正态分布．
要点三、正态曲线及其性质：
1. 正态曲线
如果随机变量X的概率密度函数为，其中实数和为参数（），则称函数的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

2．正态曲线的性质：
①曲线位于轴上⽅，与轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在时达到峰值；
④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边⽆限延伸时，以x轴为渐近线，向它⽆限靠近.
⑤曲线与轴之间的⾯积为1；
⑥决定曲线的位置和对称性；
当⼀定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所⽰，曲线随着的变化⽽沿轴平移。

⑦确定曲线的形状；
当⼀定时，曲线的形状由确定。

越⼩，曲线越“⾼瘦”，表⽰总体的分布越集中；越⼤，曲线越“矮胖”，表⽰总体的分布越分散。

如下图所⽰。

要点诠释：
性质①说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（x轴）．性质②并且说明了函数具有对称
性；性质③说明了函数在x=时取最值；性质⑦说明越⼤，总体分布越分散，越⼩，总体分布越集中．
要点四、求正态分布在给定区间上的概率
1.随机变量取值的概率与⾯积的关系
若随机变量ξ服从正态分布，那么对于任意实数a、b（a＜b），当随机变量ξ在区间（a，b]上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线x=a，x=b以及x轴所围成的图形的⾯积相等．如图（1）中的阴影部分的⾯积就是随机变量孝在区间（a，b]上取值的概率．
⼀般地，当随机变量在区间（－∞，a）上取值时，其取值的概率是正态曲线在x=a左侧以及x轴围成图形的⾯积，如图（2）．随机变量在（a，+∞）上取值的概率是正态曲线在x=a右侧以及x轴围成图形的⾯积，如图（3）．
根据以上概率与⾯积的关系，在有关概率的计算中，可借助与⾯积的关系进⾏求解．
2、正态分布在三个特殊区间的概率值：
；
；。

上述结果可⽤下图表⽰：
要点诠释：
若随机变量服从正态分布，则落在内的概率约为，落在之外的概率约为，⼀般称后者为⼩概率事件，并认为在⼀次试验中，⼩概率事件⼏乎不可能发⽣。

⼀般的，服从于正态分布的随机变量通常只取之间的值，简称为原则。

3、求正态分布在给定区间上的概率⽅法
（1）数形结合，利⽤正态曲线的对称性及曲线与轴之间⾯积为1。

①正态曲线关于直线对称，与对称的区间上的概率相等。

例如；
②；
③若，则。

(2)利⽤正态分布在三个特殊区间内取值的概率：
①；
②；
③。

【典型例题】
类型⼀、正态分布的概率密度函数
例1. 下列函数是正态密度函数的是（）．
A．，（）都是实数
B． C． D．
【思路点拨】本题可对照正态密度函数的标准形式判断．
【解析】正态密度函数为：，
其中指数部分的应与系数的分母处的保持⼀致，系数为正数且指数为负数．
选项A有两处错误，分别是错为，指数错为正数．选项C，从系数可得=2，⽽从指数处可得，显然不符．选项D中指数为正，错误．所以正确答案为B．
【总结升华】注意函数的形式特点是解题的关键．
举⼀反三：
【变式1】设⼀正态总体，它的概率密度曲线是函数的图象，则这个正态总体的均值与⽅差分别是（）A．10与8 B．10与4 C．8与10 D．2与10
【答案】在该正态分布中，=10，=2，则E(X)=10，D(X)==4，故选B。

【变式2】．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值µ和标准差σ
（１）
（２）
（３）
【答案】(1) 0，1 (2) 1，2 (3) -1，
【变式3】正态总体为1概率密度函数是（）
A．奇函数 B．偶函数 C．⾮奇⾮偶函数 D．既是奇函数⼜是偶函数
【答案】B。

因为
2
2
()
x
f x-
=所以选B。

【变式4】⼀台机床⽣产⼀种尺⼨为10 mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺⼨分别如下（单位：mm）：，，
10，，，，，10，，．如果机床⽣产零件的尺⼨X服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式．
【答案】求正态分布的概率密度函数式，只要求出参数和即可，⽽即样本均值，即样本标准差．依题意得，
．
即，．所以X的概率密度函数为．
类型⼆、正态曲线
例2. 如图所⽰，是⼀个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和⽅差．
【思路点拨】由正态曲线的图像可知，该曲线的对称轴为x=20，最⼤值为，因此，µ=20，由可求得的值．
【解析】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最⼤值是，所以µ=20．由，解得．
于是概率密度函数的解析式是，x∈（－∞，+∞）．总体随机变量的期望是µ=20，⽅差是．
【总结升华】利⽤图像求正态密度函数的解析式，应抓住图像的实质性两点：⼀是对称轴x=µ，⼀是最值．这两点确定以后，相应参数纵、便确定了，代⼊P（x）中便可求出相应的解析式．
举⼀反三：
【变式1】关于正态密度曲线性质的叙述：
①曲线关于直线x=对称，整条曲线在x轴上⽅；
②曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；
③曲线在x=时处于最⾼点，由这⼀点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；
④曲线的对称位置由确定，曲线的形状由确定，越⼤曲线越“矮胖”，反之，曲线越“⾼瘦”．
其中叙述正确的有（）．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】 B
根据曲线关于直线x=对称，只有当=0时函数才是偶函数，故②错．利⽤排除法选B．
【变式2】如图，两个正态分布曲线图：
1为，2为，
则，（填⼤于，⼩于）
【答案】＜，＞。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

【变式3】如图是三个正态分布X～N（0，），Y～N（0，1），Z～N（0，4）的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________。

【答案】①②③。

【变式4】已知正态总体落在区间的概率是0．5，那么相应的正态曲线在时达到最⾼点。

【答案】。

由于正态曲线关于直线对称，由题意知。

类型三、正态分布的计算
例3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝，则P(ξ≤0)＝( )
A．B．
C．D．
【思路点拨】可画出正态曲线，利⽤正态曲线的对称性解决。

【解析】∵P(ξ≤4)＝，µ＝2，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)
＝1－＝，故选A.
【总结升华】本题利⽤了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的运⽤。

举⼀反三：
【变式1】（1），和的值各是多少？（2），和的值各是多少？
【答案】
（1）⽐照（），时，=0，=1。

（2）⽐照（），时，=－1，所以 =－1，=3。

【变式2】在某次测量中，测量结果服从正态分布，若在（0，1）内取值的概率为，则在（0，2）内取值的概率为
________。

【答案】
服从正态分布，
∴在（0，1）与（1，2）内取值的概率相同，均为。

在（0，2）内取值的概率为+=。

【变式3】设随机变量X～N（0，1），
（1）P(－a＜X＜0)=P(0＜X＜a)(a>0)；
（2）P(X＜0)=；
（3）已知P(|X|＜1)=，则P(X＜－1)=；
（4）已知P(|X|＜2)=，则P(X＜2)=；
（5）已知P(|X|＜3)=，则P(X＞－3)=。

其中正确的有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D；均正确，充分利⽤正态曲线的对称性及其意义。

例4. 设ξ～N（1，22），试求：
（1）P（－1＜ξ≤3）；
（2）P（3＜ξ≤5）；
（3）P（ξ≥5）．
【思路点拨】要求随机变量ξ在某⼀范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图像性质以及课本中所给的数据进⾏转化求值．
【解析】∵ξ～N（1，22），∴=1，=2，
（1）P（－1＜ξ≤3）=P（1－2＜ξ≤1+2）=P（＜ξ≤）=．
（2）∵P（3＜ξ≤5）=P（－3＜ξ≤－1），
∴P（3＜ξ≤5）
．
（3）∵P（ξ≥5）=P（ξ≤－3），
∴
．
【总结升华】在求随机变量ξ在某⼀范围内的概率时，可以⾸先把随机变量ξ的取值转化到区间、以及，然后利⽤在上的概率约为，在上的概率约为，在上的概率约为．
举⼀反三：
【变式1】，求。

【答案】时，=2，=5，，，
∴
【变式2】若η～N（5，1），求P（5＜η＜7）．
【答案】∵η～N（5，1），
∴正态分布密度函数的两个参数为=5，=1，
∵该正态密度曲线关于x=5对称．
∴
【变式3】设。

（1）求P(－1＜≤1)；（2）求P(0＜≤2)。

【答案】
（1）时，，，
∴。

（2），，正态曲线关于直线x=0对称，
∴。

类型四、正态分布的应⽤
例5.某年级的⼀次数学测验成绩近似服从正态分布N（70，102），如果规定低于60分为不及格，那么（1）成绩不及格的⼈数占多少？
（2）成绩在80～90分内的学⽣占多少？
【思路点拨】本题考查正态密度曲线对称性及正态变量在三个特殊区间的概率取值规律．因为正态密度曲线关于直线x=µ对称，故本题可利⽤对称性及特殊值求解．
【解析】（1）设学⽣的得分情况为随机变量X，
则X～N（70，102），其中=70，=10．
成绩在60～80分之间的学⽣⼈数的概率为
P（70－10＜X＜70+10）=，
∴不及格的⼈数占×（1－）=．
（2）P（70－20＜X＜70+20）=，
∴成绩在80～90分内的学⽣占
[P（50＜X＜90）－P（60＜X＜80）]=．
【总结升华】本题利⽤了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的运⽤及正态变量在三个特殊区间的概率取值规律．
举⼀反三：
【变式1】⼯⼚制造的某机械零件尺⼨X服从正态分布N，问在⼀次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺⼨范围的零件⼤约有多少个？
【答案】∵X～N，∴µ＝4，σ＝.
∴不属于区间(3,5)的概率为
P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3
＝1－P(4－1
＝1－P(µ－3σ
＝1－＝
∴1 000×＝3(个)，
即不属于区间(3,5)这个尺⼨范围的零件⼤约有3个．
【变式2】商场经营的某种包装的⼤⽶质量服从正态分布N（10，）（单位：kg）。

现进1000袋这种⼤⽶，质量不在～10.3 kg 的⼤⽶⼤约有多少袋？
【答案】
由正态分布N（10，），知=10，=，
∴质量在～10.3 kg的概率为P(10－3×＜X≤10+3×=
∴质量不在～10.3 kg的概率为P=1－=。

∴质量不在～10.3 kg的⼤⽶⼤约有1000×=3袋。

【变式3】在某次数学考试中，考⽣的成绩X服从⼀个正态分布，即X～N(90，100)。

（1）试求考试成绩X位于区间（70，110）内的概率是多少？
（2）若这次考试共有2000名考⽣，试估计考试成绩在（80，100）之间的考⽣⼤约有多少⼈？
【答案】∵X～N(90，100)，∴，。

（1）－2=90－2×10=70，+2=90+2×10=110，
⼜∵正态分布在区间内取值的概率是，
∴考试成绩X位于区间（70，110）内的概率约为。

（2）∴－=90－10=80，+=90+10=100。

⼜∵正态分布在区间内取值的概率为，
∴考试成绩X位于区间（80，100）内的概率约是，
∴这2000名考⽣中，成绩在（80，100）内的⼈数⼤约为2000×≈1366（⼈）。