高一升高二精品衔接材料--直线的点斜式、斜截式方程(教师版)

高一升高二精品衔接材料（直线的点斜式、斜截式方程）一：基础知识
1：若直线l经过点P1（x1,y1）及点P(x,y)，且斜率为k，则k与P1，P的坐标之间的关系是
即为，这个方程是由直线上一点及直线的斜率确定的，所以叫做直线方程的
当直线l的倾斜角为时，直线没有斜率，此时直线l与y轴，它的方程为
当直线l的倾斜角为00时，此时直线l与x轴，它的方程为
2：若已知直线l的斜率为k，与y轴的交点为P(0，b)，代入直线方程的点斜式，可得
也就是，则称b为直线在y轴的，这个方程是由直线l的和它在y轴上的确定的，所以叫做直线方程的
二：例题讲解
例1.写出下列直线的点斜式方程．
(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；
(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程；
(3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；
(4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．
解析：(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1，所以直线的方程为y－5＝x－2.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1.又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＋1＝0.(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．
例2：根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)经过点(3,4)且在两坐标轴上的截距相等．
解答：(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5.(2)∵倾
斜角为150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－33.由斜截式可得方程为y ＝－33
x －2. (3)设直线在两坐标轴上的截距为a ，当a ＝0时，直线的斜截式方程为y ＝43
x .当a ≠0时，设直线的斜截式方程为y ＝－x ＋b ，则有4＝－3＋b ，即b ＝7.此时方程为y ＝－x ＋7，故所求直线方程为y ＝43
x 或y ＝－x ＋7.
变式练习1： 求满足下列条件的直线的点斜式方程．
(1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－3； (2)过点P (3，－4)，且与x 轴平行；
(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点.
【解】 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)．(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y ＋4＝0.(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的
直线的斜率k PQ ＝－4－35－(－2)
＝－77＝－1.又∵直线过点P (－2,3)，∴直线的点斜式方程为y －3＝－(x ＋2)．
变式练习2：已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程.
【解】 由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－
2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.
课堂练习：
1. 在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为__________．
【解析】 ∵直线y ＝－3x －4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，∴斜率为－3，又截距为2，∴由斜截式方程可得y ＝－3x ＋2.
【答案】y＝－3x＋2
2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
【解析】∵方程可变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.【答案】 C
2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()
A．k>0，b>0B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
【解析】∵直线经过一、三、四象限，由图知，k>0，b<0.
【答案】 B
4．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．
【解析】直线l2的斜率k2＝1，故l1的斜率为－1，所以l1的点斜式方程为y－1＝－(x－2)．【答案】y－1＝－(x－2)
5．直线l经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝3x＋3的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．
【解】直线y＝3x＋3的斜率k＝3，则其倾斜角α＝60°，
∴直线l的倾斜角为120°.
∴直线l的斜率为k′＝tan 120°＝－ 3.
∴直线l的点斜式方程为y－4＝－3(x－3)．。