天津市第四中学2021届高三上学期第三次月考数学含解析.docx

2021届天津四中高三数学第三次月考
数学试卷
一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）
-------- C
分析：分别解绝对值不等式与分式不等式求得集合A,B,再求得辅B ,及An^5. 解答：由题意得 A = {x |
v 1} = {x|—1 v x —1 v 1} = {可0 v x v 2},
x|l< x<4j>,
Ac08)= {x|
点拨：集合与集合运算，一般先化简集合到最简形式，如果两个集合都是连续型数集，则常 利用数轴求集合运算结果，如果是离散型集合运算常运用枚举法或韦恩图.
2.设muR,贝= —3〃是“直线l x :mx + 3y = 2-m 与匕：x + O + 2)y = 1 平行”的(
D.既不充分也不必要的条件
-------- C
rrj 3 m2 — TY1 分析：由直线4 : mx + 3y = 2-m 与' ：x + (m + 2)y = 1平行，可得一= --------------------------------------------------------------------- 且一更 ------
1 m+2
1
1
解出即可判断出.
解答：解：直线 «:mx + 3y = 2 —m 与 £ ：x + (m + 2)y = 1 平行,
m 3 M m 2-m …口 - 贝!J —= ---- 且一丰 ------- ,解碍秫=一3, 1 m + 2 1 1
1. 已知全集 U = R ，集合 A = {x||x-l|<l} , 8 = {工| 2r-S
=21,则"(时)=( A. x\l<x<2 B. |x|l< %< 2} C. x\l<x<2
D. x|l<x<4)
B = <x
= X x-1
x-4 x-1
>0^ ={工| 尤 vl 或,
A.充分但不必要条件
B.必要但不充分条件
C.充要条件
因此“m = —3”是“直线，：mx + 3y = 2 — m 与匕：尤+ (% + 2)y = 1 ”平行的充要条件.
分析：
先根据函数的奇偶性排除A 、C,再由XT 俱时,f (X )的趋向性判断选项即可 解答：由题,/'(X )的定义域为{x|x 尹0},
排除A 、C ；
3、 e“+l 1 2
又因为 f (x) = 3( X = — + w X 7,则当 X T+8 时,T +8 , e ，— 1 T +8，所以 % (e -1) % x
(e -1]
f(x )T 。

，
故选：D
点拨：本题考查函数奇偶性的应用，考查函数图象
4.已知棱长为皿的正方体ABCD-A.B.QD,的一个面在半球底面上，四个顶点 A, B, C,。

都在半球面上，则半球体积为( )
A.点兀
B. 2也兀
C,岛兀 D.
3
D.
因为/'(—X )
e'+l
x 3(e r -l)
=f(x),所以f(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，故
故选：C.
(其中。

为自然对数的底数)的图象大致为(
e~x +l
-------- B
分析：先求正方体的底面对角线的长，再求球的半径，然后求半球的体积.
解答：解：正方体的顶点A 、B 、c 、。

在半球的底面内，顶点司、鸟、G 、R 在半球球 面上，
底面ABCD 中心到上底面顶点的距离就是球的半径j (gy +(*+也2 =也,
半球的体积:S X ：" X (右)3 = 2点兀. 故选：B.
点拨：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切 点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体， 切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点 均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
2a 3c — 2b
5.已知AABC 的内角A 、B 、。

的对边分别为a 、b 、c,满足 ----- = ------- ,且& = ^5sinB>
cos A cosB
则 a=() 5 2 3 2^5 A. - B. - C. - D. -^―
3 3
5
3
-------- A
分析：利用正弦定理化边为角可得-^―= sm - sm ，整理后可求得cosA = —，则 cos A cos B
3
sinA = —，再利用正弦定理一^ =一' =后求解即可
3 sin A sin B
2 sin
由题，利用正弦定理可得
cos A
即 2 sin A cos 6 = 3 sin C cos A —2sinB cos A, 则 2 (sin A cos B + sin Bcos A) = 3 sin C cos A,
所以 2sin (A+B )= 3sinCcos A,即 2sinC = 3sinCcos A, 因为在即 C 中,sinC 〉O,所以cosA = 2,则sinA =吏，
3 3
又因为b = J?sinB,所以—^- = —= 75 ,
解答: 3sinC-2sinB
cosB
sin A sin B
所以a =―,
3
故选：A
点拨：本题考查利用正弦定理化边为角,考查利用正弦定理解三角形
6.已知函数y = y(x)是定义在R上的偶函数，且当xe[O,k»)时，f(x) + xf'(x)>0 ,若
«=0.76/(0.76)- ^ = (log076)/(log07 6), c = 6°6.y(6°・6),则。

，b, c 的大小关系是( )
A. c> a>b
B. a> c>b
C. b> a>c
D. a>b>c
-------- A
分析：
令g(x) = y(x),得到g(x) = 4(x)是定义在R上奇函数，且在R上是增函数，结合单调性，即可求解.
解答：令g(x) = V(x),由y = /(%)是定义在R上的偶函数，
可得g(x) = 4(x)是定义在R上的奇函数，
又因为xe[O,k»)时，y' = f(x) + xf'(x)>0 ,
所以g(x) = 4(x)在[o,+3)上是增函数，所以g(x) = v(x)是定义在R上的增函数，
又由logo7 6<0< 0.76 < 1< 606,所以g(log07 6)<g(0.76) <g(606), 即b<a<c.
故选：A.
点拨：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性比较大小问题，其中解答中构造新函数g(x) = xf(x),求得函数g(x)的奇偶性和单调性是解答的关键，着
重考查推理与运算能力.
7,设F], E分别是椭圆E:~ + ^ = l(a>b>0)的左、右焦点，过点F]的直线交椭圆E于a b A, 3两点，|羽|=3|昭I，若COS ZAF2B=~,则椭圆E的离心率为( )
A. 1
B. 2
C.虽
D.豆
2 3 2 2
---------- D
分析：设|3川=灯4>0),则|M|=3A, |AB|=4皿由cosZA^B = |,结合椭圆的定义，利用余弦定理求得a = 3k,从而^AF X F2是等腰直角三角形，即可求出椭圆E的离心率.
解答：设|捋| =人以>0),则|M|=3A, |AB|=4们
|A7s| = 2a-3k, \BF2\ = 2a-k,
3
,/ cos ZAKB =—,
2 5
在A ABF2中，由余弦定理，
得：| 硕=俱2 +阴2-2\AF2\-\BF2\COS ZAF2B,
.•."=(2心幻2"*一扣—3幻(21),
化简可得(。

+幻(a-3*) = 0,而。

+。

0,
故。

=3A;,
|M|=|M| = 3上，\BF2\=5k, | AB |= 4k ,
.•.时=|何 + |曷|2,
AF X ± AF2, _l.|AFj| =|A7^| = 3k ,
是等腰直角三角形，(2C)2=2£,
• . c = -- C l，
2
椭圆的离心率e = - = — .
a 2
故选：D.
点拨：关键点点睛：本题关键是利用余弦定理和椭圆的定义，得到△ARE 是等腰直角三角形.
8.已知函数y (x) =cos 〔2x —：］ + 2sin" 一子卜出卜+ ^^工《殆绐出下面四个结论：
®/«是最小正周期为〃的奇函数；@/(x)图象的一条对称轴是x = —; ®/(x)图象的
I JT \ JT
J7T
一个对称中心＞ —,0 :(4)/(x)的单调递增区间为k7r + — ,k7T + — (EZ)其中正确的 \ 12 )
3 6
分析：利用两角差的余弦公式和二倍角公式以及辅助角法，将函数转化为
解答：/(x) = cosf 2x-y j + 2sinf x
1 ^3 = —cos 2尤 --- sin 2x-cos2x ,
2 2 =—sin2x--cos2%, 2 2
f(x)不是奇函数,①不正确.
=sinf = -1,
直线% = 2生是六x)图象的一条对称轴,
2 6
②正确.
B.②③
C.②③④
D.①②③
/(x) = sinf 2x-|^
,再由正弦函数的性质求解逐项判断.
sin 2xM 生 I 6 6
71 12
sin
71 7
1
=o,点 £,0是/Xx)图象的一个对称中心，③正确, 结论是(
)
A.①③
令2k7r--^x-~ 2k 兀二gZ),可得k7r--^ k 兀 + 8eZ),所以六x)的单 2 6 2 6 3
JT JT
调递增区间为k7l--,k7l+- (AcZ),④不正确.
6 3
所以正确的结论为②③. 故选：B.
点拨：关键点点睛：本题关键是通过化简得到函数f(x) = sin 2》-京
%2 + 4a, x > 0
,1 I c (a> 0,且a*l )在&上单调递增，且关于X 的 l + log fl |x-l|,x<0
方程|/(%)| = % + 3恰有两个不相等的实数解，则。

的取值范围是()
分析：由题意首先求得a 的取值范围，然后结合函数的解析式将原问题转化为两函数图像存在 两个交点的问题，数形结合即可确定。

的取值范围.
解答：由函数的解析式可知函数在区间(0,+勿)上单调递增，
当x<0时，函数y = |x-l|单调递减，由复合函数的单调性法则可知：0<。

<1, 且函数在x = 0处满足：02+4a>l+log fl |0-l|,解得：a>j,故|<a<l,
方程|/(x)| = x+3恰有两个不相等的实数解，则函数仇x)|与函数y = x+ 3的图像有且仅有 两个不同的交点， 绘制函数|/(%)|图像如图中虚线所示,
9.已知函数/(%) = < ,3 13、
*(2
4 4
16
3 13 B. (0利蛎} r l 3、| 官13、 c. [-,-)U(—}
4 4 16 D.
由—<a<1可知1 + —>1,
4 a
则直线，=X+ 3与函数|/（%）|的图像在区间（YO,0］上存在唯一的交点,
（］ 原问题转化为函数y= x+ 3与二次
函数y = x 1 2 3
+4a\^<a<l 在区间（0,+勿）上存在唯一
的交点,
3
很明显当4心，即J 时满足题意, 当直线与二次函数相切时，设切点坐标为（有,"+。

），亦即
（x 0,x 0+3）.
1 7
由函数的解析式可得：矿=2工，故：2x 0=l,x 0=-,则x 0+3 = - , 7 1 7 13
,从而:-X Q + 4。

=—,艮—F 4。

= —, a ——.
2 4 2 16
1 3 , , 13 据此可得：口的取值范围是U = . 4 4 16
故选D.
点拨：本题主要考查分段函数的单调性，数形结合的数学思想，导函数研究函数的切线方程, 分
类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10.设z =—四，则Z 的共辄复数为.
3 + z
切点坐标为
J_ 7
2'2
分析：对复数Z 进行计算化简，然后得到Z 的共辄复数.
10, _ 10,（37）
3+ 厂（3 +，）（3T ）
所以z 的共轴复数为/ = 1一3，. 故答案为：1—3，.
点拨：本题考查复数的计算，共辄复数的概念，属于简单题.
11.如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为
解答：分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果. 详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1,底面正方形的 边长
等于,所以该多面体的体积为2x ：xlx(J^)2 =#
点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根 据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法 转化成已知体积公式的几何体进行解决.
12.已知圆C 的圆心在直线x+y=0上，圆C 与直线x —y=0相切，且在直线x —y —3 = 0上截
得的弦长为0 则圆C 的方程为.
--------- (X —l)2+(y+l)2 = 2.
分析：
设圆的圆心，由直线与圆相切可得半径，再由垂径定理即可得解.
解答:
10 + 30,
10
= 1 + 3,
解答：由圆C 的圆心在直线x+y=O 上，设圆C 的圆心为(a,—。

), 义:圆C 与直线x —y=O 相切，半径r =寻?=很|。

|.
又圆C 在直线x —y —3=0上截得的弦长为^6，
r 2,即(2〃-3)~ +。

= 2十2,解得。

=1,
2 2
...圆 c 的方程为(X —l)2+(y+l)2 = 2.
故答案为：3 — 1)2 +(' + 1)2 =2.
X — 4/7V + 4" x < 1
13,已知aeR,设函数f(x) = \
' ~ 一，若关于x 的不等式/(%)>0在R 上
x-(a-e)ln x, x>l
恒成立，则。

的取值范围为.
--------- [0,2e]
分析：工^1与1>1分类讨论，分别分离变量、求最值即可. 当 x = l 时，f(l) = 12 0 恒成立，aeR-
r 2 y (x) 2 0化为a 2 恒成立,
4(x-l)
当且仅当x-l = -^-即x = 0时取等号.
X — \
圆心(。

，一。

)到直线x —y —3=0的距离d =
\2a-3\
解答：解: 当x<l 时,
I 4(x-l) 4 x 2 ••• %<1, •• x—l<0,
x-1 H ——-—
<-2. (x-l)x^— = -2,
V x-1
X 2 _ 1 4(x-l) ~4 x-1
+ 2j<^-(-2 + 2)=0, d 2 +
.. a>0；
x
当JV > 1时，f (') Z 0化为Q”e -\-- 恒成立.
Inx
x
设g⑴=e + ----- (% > 1),
Inx
，/、lnx-1
.•.当xe(l,e)时，g'(x) = m： '<0, g(x)单调递减，
In x
当xe(e,+oo)时，g，(x) = m： 1〉0, g(x)单调递增，
In x
:.g(x) > g(e) = e + e = 2e ,
•，. a<2e.
综上，a e [0,2e].
故答案为：[0,2e].
点拨：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
14.在直角二角形ABC中，/ACB = 90，AC = 4 , ^£)— 2DA' AE = 3 BE '则
CD- CA+ CE- CA = -------
_8
~3
分析：建立如图所示的坐标系，设3(0,a),求出的坐标，即得解.
解答:
建立如图所示的坐标系，则由题意可得A(4,0), C(0,0),设3(0,a). 所以(51 = (4,0)， 又BD = 2DA J 泓=俘9；
T TT
3
炬=3座，•• CE = CA+AE = CA+§A8= _2,5Q ,
8
8
•,项CD-(51+C£-Q1 = 4X
3
_2X 4=
3 *
Q
故答案为：
3
点拨：方法点睛：对于向量运算，常分两种：(1)如果有坐标背景，可以利用向量的坐标 运算求解；(2)如果没有坐标背景，可以利用向量的线性运算法则求解.
15.已知正数X ，V 满足+ 4勺2+6%y = x + 4y ,则一
的最大值为 ______
' x + 4y
—§
xy 1
分析：令则由条件可得鼎=溢’然后根据条件出，的范围，进-步求出
解答：解：因为正数X ，y 满足》5 + 4勺2+6勺= x + 4_y ,
令x + 4y =。

，则王y = --- 且f 〉0,
♦ + 6
因x+4-y > 2yj4xy = 4-^/xy ,当且仅当x = 4y 时取等号,
所以£22或，＜-8 (舍),
x + 4y
的最大值.
所以 u(x+4y + 6)= x+4y,
x + 4y
x + 4y + 6 所以724
即 t 2+6t-16>0>
所以x + 4y
xy 1
所以的最大值为云.
% + 4y 8
故答案为：
8
点拨：本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题.
三、解答题(本大题共5小题，共75.0分)
16.在A ABC■中已知sin — = — , bsinA- y/6a sin C - c = l. 2 6
(I)求边。

的值和△ABC的面积；
(□)求sin^2A + y^ 的值.
---------(I) a = 3,匝；(□) _打 + 2右
2 6
分析：(I ) △&BC中，由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sinB、cosB 的值，再利用正弦定理求得sin。

的值，可得cosC的值，可得sinA = sin(B + C)的值，再利用正弦定理求得a的值.
(口)求得cosA = -cos(fi + C)的值，可得sin A的值，求得sin2A、cos2A的值，再利7T 用两角和的正弦公式求得sin(2A + -)的值.
解答：解：(I) △ABC中，sin- = —, /.cosf = .ll-sin2f =^,
2 6 2 V 2 6
° c . B B 75 R. 2B 2
/.sm B = 2sin—cos —=——,cosB = l-2sin —,
2 2
3 2 3
.•.B为锐角.
bsinA = y/6a sin C，利用正弦定理可得sin B sin A =斤sin Asin C，
sin C = ' < sin B ,故C* 为锐角，cos C = Jl - sin? C =,
A/618 18
解答：分析：该题是立体几何的有关问题，第一问在证明线面平行时，可以利用常规方法， 用线面平行的判定定理来证明，也可以应用空间向量来证明，用直线的方向向量与平面的法 向量是垂直的即可，第二问求二面角的余弦值，用两个平面的法向量所成角的余弦值来求得, 第三问假设其存在，设出点的坐标，建立等量关系式从而求得结果，做好取舍即可. 详解：（1）证明：取PB 中点肱，的中点连接珈■和CM,
sin A = sin(B + C) = sin B cos C + cos B sin C = A /5 7A /6 2 A /30 A /30
------ X ------------ 1
——X------------ = ----------- 3 18 3 18 6
a 1
Q C — -- =— --
再根据c = l,利用正弦定理——=——，可得应应，
sin A sin C 6 18
故 A A J BC 的面积为 S = —ac»sin B = — x3xlx. 2 2
3
2
(II) cos A = -cos(B + C) = sin B sin C 一 cos Bcos C = x sin A = A /1-COS 1 2
3 A = , cos 2 A = l-2sin 2 A = l-2x —=
6 36 3
2 7A /6_
x —
sin 2 A = 2sin Acos A = 2x
.，-.冗、 .-. 7C _ . . 7C d 5 1 2 sin(2A ——)=sin 2 A cos —— cos 2 Asin — = - x x 3 3 3 3 2 3 2
A /3__ A /5+2A /3
—— 6
17, 在四棱锥P-ABCD 中，PD 上平面ABCD, AB//DC, AB ± AD, DC — AD — 1, AB = 2, ZPAD = 45。

, E 是必的中点，F 在线段AB 上，且满足CF BD = 0-
CD // AB且,
:.E，肱分别为必，的中点.
〃仙且EM=-AB
2
EM〃C。

且EM = CD,四边形COE肱为平行四边形，
/. DE//CM, CMu平面地C，DEcZ平面性C,
:.DE\\平面BPC.
（1）由题意可得ZM，DC，£>P两两互相垂直，如果，以。

为原点，DA，DC，DP分别是X, V, z轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则
A（l, 0,0）, 6（1, 2,0）, C（0,L0）, P（0, 0,1）, "?，°，j
设平面P8C的法向量为尻= (x, y, z) 页=(—1,—l,o), CP = (O,-1,1)
m-BC = -x-y = O [x^-y_ / ..八
< __ . \ ,令y = l.\ m = (—l, L 1)
m-CP = -y + z = Q [y = z
又再= .•.尻.底=0，•,•万万上尻
DES平面PBC
:• DE〃平面P8C
(2)设点F坐标为(1U,O)
则有= (1U —1,0),应= (1,2,0),
由CF BD = Q得♦ = !，•••/", !，oj
设平面FPC的法向量为万= (x, y,z), CF = ",—5,0]
r ——f — v + z = 0 r
n - PC = 0 z y = z一
由( —得｛l 艮时c令X = l .•哥= (l,2,2) n-FC = 0化-尸=0 [y = 2x 、7
沅•元二一1 + 2 + 2 = 3
贝ij cos(亓，m) = C = ~^J==乎 ' /降阮| 3也 3
又由图可知，该二面角为锐角
故二面角F-PC-D的余弦值为V3
3
(3)设AQ = 2AP = (-A, 0, 2), 2G[0,1],:.FQ = FA + AQ :.n-FQ = A-l
尸。

与平面PFC所成角的余弦值是亟其正弦值为如
3 3-2,--,2 2
人―1
22-2 V3 * ,
:./ ,整理得：
3施+1 3
20/L2 +8/1 — 1 = 0 > 构军得：人=二，人=—二（舍）
10 2
.♦.存在满足条件的点Q , AQ =[-德■,0,宥J ,且|AQ|=
I io 10J 1 W 10
点睛：在解决立体几何问题时，尤其空间关系的时候，可以有两种方法，一是常规法，二是空间向量法，在应用面的法向量所成角来求二面角的时候，一定需要分清楚是其补角还是其本身，在涉及到是否存在类问题时，都是先假设存在，最后求出来就是有，推出矛盾就是没有.
18,如图，在平面直角坐标系xQy中，椭圆C：二+工=/（。

>3>0）的离心率为亚，短轴长a b2
2
是2.
（I）求椭圆。

的方程；
（口）设椭圆匚的下顶点为D,过点D作两条互相垂直的直线"，12,这两条直线与椭圆。

的
, S 16
另一个交点分别为肱，N .设的斜率为k（kvO）,的面积为S,当时，求上
I们9
的取值范围.
r2l l
-------- （I） j + >2=i；（n）（-V2,0）o（0,V2）.
分析：（I）根据椭圆C的离心率为、二，短轴长是2,结合疽= b2+c2>即可求出。

，Z?的值;
2 1
(H)设4的方程为¥ =徐—1,代入— +y 2=l,求出肱的坐标，可得 W ，用-一代上得
4 - k ojz.2 , 1 S 32（/ + 1）
DN = 7 ,求出的面积，—=7 ---------------- ------ L
4 + F I 们（ 1 + 4 尸）（4 + 好）
32 化 2 + 1) 16
-- ----- —〉6,从而可求*的取值范围. （1 + 4 尸）（4 + 尸） 解答：(I )设椭圆C 的半焦距为C,则由题意得 又 a 2=b 2+c 2, 联立解得a = 2, b — 1, 2 .••椭圆方程为土+y2=l ；
4 .
2 (H)由(I)知，椭圆C 的方程为— +y 2=l,所以椭圆C 与y 轴负半轴交点为£>(0,-1). 4 .
因为4的斜率存在，所以设4的方程为y = kxT, 2 代入^+'2=1,得（1 + 4徉）工2—8版=0, '株 、1 + 4 好’1 + 4
好, 从而DM = + 3-1 A
2
_8\k\-^Jk 2+l
_ -1 + 4P- 用—?代上得DN = X 『+1
k
4 + F 叱, 。

1 8 k -^l + k 2 8/+1 32（k +1）・|们
所以A DMN 的面积s =二• 、
----- ----- - 一 ------- —— 2 x -------- - = 4 + k 2 （1 + 4尸）（4 + 尸）' s 32（E ）
则
S 16 32(摩+ 1) 因为滂1〉6,即(1 + 4顷4 +妒)
7
整理—]4<。

，解得- 所以0〈上2<2，即一42<k<0^0<k<42- 从而上的取值范围为（-J^,0） u （O,J^）.
点拨：方法技巧点睛：设而求点法，设出一条直线，与曲线方程联立，求解，另一条直线与 曲线的交点只需将斜率代换一下即可求解，这样可以省去同一的步骤.
19.已知等比数列&｝的公比0>0,且满足。

1+%=6%，%=4《，数列也J 的前〃项和
也地，nW.
2
："；+8.%2，〃为奇数 b n b n+2 ，求数列｛§｝的前2〃项和如 a n b…,n 为偶数
分析:
（1）根据题干已知条件可列出关于首项％与公比q 的方程组，解出％与q 的值，即可计算出 S, 〃=1
J e
c 进行计算可得数列｛々｝的通项公式;
—，尸_1 , . 2
（2）先分〃为奇数和〃为偶数分别计算出数列｛c,J 的通项公式，在求前2〃项和时，对奇数
项
运用裂项相消法求和，对偶数项运用错位相减法求和，最后相加进行计算即可得到前2“项和
a. +a.q = 6a,q~ 八
1 . ； 2，因为0>0,所以
=4(qg~)
-------- (l )a" = , n e N* ；如=n, n e N* ； (2)
-------- —
3〃 + 4) H ------
(4(2〃 + 1) 9 )
■r
16
〉矿
(1) 求数列｛%｝和也』的通项公式;
(2)
数列｛%｝的通项公式，再根据公式勿=< 解答：（1）依题意，由。

1+%=6。

3，%=4<£,可得<
对于数列也J ：当口 = 1时，4 = § = 1,
,当〃=1时，4=1也满足上式,
n G N* ■
令A = q + C3 --- nB = c2 + c4 -------------- I- c ln,则
1111
------------------- 1 -------------------- ... + 1x2' 3x23 3x23 5x25(2ZZ-
1)X22H-1(2ZZ +1)X22,,+I
U21(2/Z +1)X22,,+1
2 (2H +1)X22,!+1'
8 = (?2 ++ , • • + C^n = 2X (—) + 4X (—) + 6x (—) + . . . + 27?X
1
(|)2B = 2x (|)4 +4x(|)6 +... + (2〃— 2)x(!)2" + 2〃x 两式相减，可得［3 = 2x g)2 + 2x(|)4 + 2xC-)6+ . . • + 2x(?)2" —2〃x
1
2
—-2nx •• +
2«+2
1-)
= --(« + -) x(-)2n+1, 3 3 2 —
2nx
1
2 -2nx(|)2n+2>
当〃..2 时，b〃=S n - S n_x 2
n(n +1) n(n -1) -- =n ,（2）由题意及(1),可知:
当〃为奇数时,
3包+8 C” =—_a,l+2 姑“+2
当〃为偶数时, c,, = a…-b n = n-3〃+ 8
--------- x
〃(〃 +
1
散2" (〃+2)X2"+2'
...3 = ._%^.(：严|,
•■- T2n=C l+C2+--- + C2n
=(q + C3 + . . . + C2n-1) + (^2 + C4 + C6 +' • • + C2« )
= A+B
点拨：关键点点睛：第二问中当〃为奇数时，求出％,并对c “进行裂项为
1 1
C, =— --~ 是解题关键，本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算, nx2 (H + 2) x 2
以及数列求和问题.考查了方程思想，分类讨论思想，转化与化归能力，整体思想，裂项相消法和错位相减法求和，以及逻辑推理能力和数学运算能力.本题属中档偏难题.
20.已知/'(》)=J-4x-61nx,
(1)求/'(X)在(1,/(1))处的切线方程以及f(x)的单调性；
(2)对Vxe(l,+oo),有矿⑴—y(x)〉_?+6人]1— j —12恒成立，求上的最大整数解；
(3)令g(x) = y(x) + 4x-(a-6)lnx,若g(x)有两个零点分别为叫，x2 (jq <x2)且柘为
g(x)的唯一的极值点，求证：%] +3x2 >4x0.
-(1)切线方程为y = —8x+5；单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+8)(2)
上的最大整数解为3 (3)证明见解析
分析：
(1)求出函数的导数，求出, 了⑴即可得到切线方程，解f'(x) > 0得到单调递增区间,
解f(x) < 0得到单调递减区间，需注意在定义域范围内；
(2)矿⑴一f(x)〉/+6*l —J —12等价于L + xlnj(x)求导分析力⑴的
k X J x-l
单调性，即可求出上的最大整数解；
(3)由g(x) = x2 -alnx ,求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明；解答：解：(1)/(A) = %2 - 4.x - 6 In _x
所以定义域为(0,+?)
/f(x) = 2x-4--；
r⑴=-8；/■⑴=-3
所以切线方程为y ——8%+5 ；
2
f (对=—(尤 +1)(尤一3) ,
%
令f(x) ＞。

解得x＞3
令f(x)＜0解得0 ＜工＜3
所以/(尤)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+8).
(2)矿⑴一^⑴ ＞必+6^1 1--|-12 等价于k ＜x + x^x = h(x)^n；
k x J x-1
记m(x) = x-2-lnx , m'(x) = l- — >0,所以m(x)为(1,+<R)上的递增函数, X
且m(3) = l-ln3<0, m(4) = 2-ln4>0,所以3x0G (3,4),使得m(x o) = O
即x0 - 2 - In x0 = 0 ,
所以/z⑴在(l,x0)上递减，在3°,q)上递增，
且"3)mm =h M==易C (3, 4);
X0 -i
所以*的最大整数解为3.
/、 2 [ ，/、 〃 a (』2x +』Q )(』2X - J a) c/曰 la
(3) g(x) = x-a\nx, g r (x) = 2x ——= ----------------- 七凄 ------ =0得气=— x x
V 2
而要使g(x)有两个零点，要满足g(x o )<O, ¥，+°° , g3>o ； 所以g (尤)在o?上单调递减,
¥，+8上单调递增, ，g'(x)<0, ( 当 XG 0,
即g
-aln J — < 0 a > 2e ； N2
因为。

F<g *2>g 令
由 =, x i = xf -alnx2,
即：一a In % = t2xf一11n Z%i,
alnt
2
而要证X] +3工2 > 4.x0,
只需证(3/ + l)Xj > 2A/2«,
即证：(3,+ 1尸必> 8a
即：(3f + l)2 哗莒〉8口由。

>0, t>\只需证：(3r + l)21nf — 8广+8〉0, t — 1
令h(t) = (3? +1)2 In Z - St2 +8，则"(f) = (18z + 6)ln?-7z + 6 + -
令n(t) = (1 渤 + 6) In f — 7f + 6 + ：,则=181n f +11 + > 0 Q > 1)
故〃(。

在(1, -H»)上递增，〃0)>〃(1)=0；
故力(，)在(1, -KO)上递增，A(Z) > A(l) = 0 ；
Xj + 3X2 > 4x0.
点拨：本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，最值以及函数的单调性，综合性比较强，属于难题.
(1) 求证：DE ||平面PBC；
(2) 求二面角F-PC-B的余弦值；
(3) 在线段以上是否存在点Q,使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是衣，若存在,
3
求出的长；若不存在，请说明理由.
-------- (1)见解析；(2) 吏；(3) 里
3 10。