6教育统计学第六章

S
n
（3）总体非正态分布条件下平均数的显著性检验
① 当 n≥30 时，尽管总体分布非正态，对于平均数的显 著性检验仍可用Z 检验。
Z
X
0（σ
已知）或
Z
X 0（ σ 未知）
S
n
n
② 当 n＜30 时，若总体分布非正态，对于平均数的显著 性检验不符合近似 Z 检验的条件，严格讲此时也不符合t 检验 的条件。
计算其置信区间：
X t SX （其X 中 t SX
2
2
）
SX
S n
小样本的情况
例如，从某小学二年级随机抽取12名学生，其阅读能 力得分为28、32、36、22、34、30、33、25、31、33、 29、26.试估计该校二年级阅读能力总体平均数95%和 99%的置信区间。
X 29.917 , S 4.100 , X 3.926
三、样本平均数与总体平均数离差统计量的形态
从正态总体中随机抽取样本容量为n的一切可 能样本平均数以总体平均数为中心呈正态分布。
当总体标准差已知时：
Z
X
X
X
n
当总体标准差未知时：
N (0,1)
总体标准差 的无偏估计量为
S (X X )2 n 1
S S X
X 2 ( X )2 / n
抽样分布是统计推断的理论依据。实际中只能抽取一个 随机样本根据一定的概率来推断总体的参数。即使是抽取一 切可能样本，计算出的某种统计量与总体相应参数的真值， 大多也是不相同的，这是由于抽样误差的缘故。抽样误差用 抽样分布的标准差来表示。因此，某种统计量在抽样分布上 的标准差称为该种统计量的标准误。
标准误越小，表明样本统计量与总体参数的值越接近， 样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠 度越大，所以标准误是统计推断可靠性的指标。
计算其置信区间：
X
Z 2 X
X（其Z中 2
X
）
X
n
例如：某小学10岁全体女童身高历年来标准差6.25cm， 现从该校随机抽27名10岁女童，测得平均身高为134.2cm， 试估计该校全体10岁女童平均身高95%和99%置信区间。
总体方差σ2 未知时，对总体平均数μ的估计
（1）当总体分布为正态时
当总体分布为正态，总体方差 未2 知时，样本平均数 的X 分
布为ｔ分布，这时可用下式计算其置信区间：
X t SX （ 其X 中t SX
2
2
（2）当总体分布为非正态时
） SX
S n
总体分布非正态，总体方差 未2 知，这时只有当样本容量
n 30时，其样本平均数 的X 分布为渐近ｔ分布，这时可用下式
假设检验是从零假设出发，视其被拒绝的机会， 如果根据样本信息，不得不否定零假设的真实性 时，就不得不承认备择假设的真实性，这时，就 要拒绝零假设而接受备择假设；如果根据样本的 信息不能否定零假设的真实性时，就要保留零假 设而拒绝备择假设。
二、小概率事件
假设检验的基本思想是概率性质的反证法。为了 检验零假设，首先假定零假设为真。在零假设为真 的前提下，如果导致违反逻辑或违反人们常识和经 验的不合理现象出现，则表明“零假设为真”的假 定是不正确的，也就不难接受零假设。若没有导致 不合理的现象出现，那就认为“零假设为真”的假 定是正确的，也就是接受了零假设。
X n n 1
n(n 1)
X X
t
S
S
X
n
t(n 1)
第二节 总体平均数的估计
参数估计 假设检验
一、总体参数估计的基本原理
根据样本统计量对相应总体参数所作的估计叫总 体参数估计。总体参数估计分为点估计和区间估计。
1.点估计 点估计是指用样本统计量的值来估计相应总体参 数的值。点估计的优点在于它能够提供总体参数的估 计值；缺点在于它总是以误差的存在为前提，但又不 能提供正确估计的概率。
大样本的情况
例如，从某年高考中随机抽取102份作文试卷，平均 分数为26，标准差为1.5，估计总体平均数95%和99%的 置信区间。
说明：样本容量n=103>30,t分布接近正态分布，故可用正 态分布近似处理。
第三节 假设检验的基本原理
一、假设
假设是根据已知理论与事实对研究对象所做的假 定性说明，统计学中的假设一般专指用统计学术语对 总体参数所做的假定性说明。
由实际推断原理
若
H
为真
0
则事
件
X 0
0
Z
n
2
在 一 次 抽 样 中 不 该 发 生 .
而 一 但事 件
X 0
0 n
Z
2
在 一 次 抽 样 中 发 生则, 应 怀 疑H0 ,
而 承 认H1.
即 X 0 0
Z 是 衡 量H0 真 伪 的 标 准 . 2
n
综述假设检验方法的基本思想是:由 样本出发,在 H 0 为真的前提下通过对被 检参数的点估计量,结合统计量的分布,构 造统计量(枢轴函数),由此结合实际,并利 用上α分位点确定小概率事件,便得检验
们可以将这个样本平均数看做是无限多个样本平均数之中
的一个。于是将上式经过移项写成
P X 1.96 X X 1.96 X 0.95
这意味着有
95%
的
μ落在
X
1.96
之间，或者说，
X
估计 μ落在
X 1.96之间X 正确的概率为 95% 。
估计总体平均数的步骤
（1）根据实得样本的数据，计算样本平均数与标准差。 （2）计算标准误。
H 0 真伪的标准.
其思想方法是带有概率的反证法,理 论依据是实际水平推断原理.
注1 H 0 称为原假设, H1 称为备择假设,
α称为检验水平,U=
X 0 0
称为检
验统计量.
n
注2 由小概率事件确定的区域 W={U|
U Z }称为拒绝域,而{U|U Z }
2
2
称为接受域, Z 称为临界值. 2
（1）当总体分布为正态时
当总体分布为正态，总体方差 已2 知时，样本平均数 的X 分
布为正态分布，这时可用下式计算其置信区间：
X
Z 2
X
（X其中Z 2
）X
（2）当总体分布为非正态时
X
n
总体分布非正态，总体方差 已2 知，这时只有当样本容量
n 3时0 ，其样本平均数 的X 分布为渐近正态分布，这时可用下式
假设检验的步骤
（1）根据问题要求，提出零假设和备择假设。 （2）选择适当的检验统计量并计算其值。 （3）规定显著性水平。 （4）选择检验的方式（单侧还是双侧）。 （5）做出统计决策。
假设检验的基本思想
引例
设总体X~N来自(,2 0
)
其
中σ0已
知
,
现 获 得x1, x2 , xn
要检验假设 H0 0 H1 0
一、 已知条件下总体平均数的显著性检验
例1：某小学历届毕业生汉语拼音测验平均分 数为66分，标准差为11.7.现已同样的试题测验应届 毕业生，并从中随机抽18份试卷，算的平均分为69 分，问该校应届与往届毕业生汉语拼音测验成绩是 否一致？
于总体标准差除以n的平方根，即
X
n
（3）从服从正态分布的总体中，随机抽取容量为n 的一切可能样本平均数的分布也呈正态分布。
（4）虽然总体不呈正态分布，如果样本容量较大，
反映总体 和 的样本平均数的抽样分布，也接近于
正态分布。
以上几条定理反应了平均数抽样分布的形态，一切可能 样本平均数与总体平均数之间的关系；平均数抽样分布的标 准差与总体标准差之间的关系。
第一节 抽样分布
一、抽样分布的概念
区分三种不同性质的分布
总体分布：总体内个体数值的频数分布 样本分布：样本内个体数值的频数分布 抽样分布：某一统计量的频数分布
二、平均数抽样分布的几个定理
（1）从总体中随机抽取容量为n的一切可能样本的平 均数之平均数等于总体的平均数，即
E(X )
（2）容量为n的平均数在抽样分布上的标准差，等
假设检验中的“反证法”思想不同于数学中的反 证法，后者是在假设某一条件下导致逻辑上的矛盾 从而否定原来的假设。假设检验中“不合理现象” 是指小概率事件在一次试验中发生了，它是基于人 们在实践中广泛采用的小概率事件原理（小概率事 件原理是指“小概率事件在一次试验中几乎不可能 发生”。通常情况下，将概率不超过0.05或0.01的 事件当做“小概率事件”）。
显著性水平是指估计总体参数落在某一区间时，可 能犯错误的概率，用α表示。1－α为置信度或置信水平。
区间估计的原理
区间估计的原理是样本分布理论。在计算区间估计值、解 释估计的正确概率时，依据是该样本统计量的分布规律及样本 分布的标准误。
下面以平均数的区间估计为例，说明如何根据平均数的样 本分布及平均数分布的标准误，计算置信区间和解释成功估计 的概率。
第四节 总体平均数的显著性检验
平均数的显著性检验是指根据样本平均 数与假设总体平均数的差异检验样本所在总 体的平均数与假设总体的平均数的差异。
平均数显著性检验的方法
（1）总体正态分布、总体方差已知的条件下平均数的显
著性检验
Z
X 0
n
（2）总体正态分布、总体方差未知条件下平均数的显著
性检验
t X 0
（4）充分性：一个容量为的样本统计量，是否充分地 反映了全部个数据所反映总体的信息。
2.区间估计
区间估计的概念 区间估计是指以样本统计量的样本分布为理论依据，
按一定的概率要求，由样本统计量的值估计总体参数值 的所在范围。 置信区间与显著性水平
置信区间是指在某一置信度时，总体参数所在的区 域距离或区域长度。
三、假设检验中的两类错误
统计学中将这类拒绝H0 时所犯的错误称做 α 错误，α 错误的概率，可以由研究者通过选择适当的显著性水平加 以主动控制。称这类接受H0时所犯的错误为β 错误，控制β 错误的概率有以下两种方法：① 利用已知的实际总体参数 值与假设参数值之间大小关系，合理安排拒绝区域的位置； ② 增大样本的容量。
两类错误的关系： （1） α＋β 不一定等于1； （2） α 与β 不可能同时减小或增大； （3）1 - β 反映着正确辨认真实差异的能力。
单侧检验与双侧检验
只强调差异而不强调方向性的检验 叫双侧检验，假设形式为
H0 : 0, H1 : 0
强调某一方向的检验叫单侧检验。 右侧检验： H0 : 0, H1 : 0 左侧检验： H0 : 0, H1 : 0
是否成立
解
若
H0
为真,则
X1,
X2, Xn
~
N
(0
,
2 0
)
从而有
X 0 0
~
N (0,1)
(**)
n
我们知道,即使应届与历届成绩一样, 即 0 成立,个别应届毕业生成绩也 是有波动的，成绩 r.v. 正说明了这一 点.故实测值与理论值总有一些差异.
用数理统计的语言就是说:
如果 X 0 k 则接受H0 ,即认为 0 ,
在进行任何一项研究时，都需要根据已有的理论 和经验对研究结果作出一种预想的希望证实的假设， 这种假设叫科学假设，用统计术语表示时叫研究假设 （备择假设），记作H1 。
在统计学中不能对H1 的真实性直接检验，需要
建立与之对立的假设，称做零假设（虚无假设， 无差假设，原假设），记作H0。
假设检验的问题，就是要判断零假设H0 是否正 确，决定接受还是拒绝零假设H0，若拒绝零假设 H0 ，则接受备择假设H1。
良好估计量的标准
（1）无偏性：用统计量估计总体参数一定会有误差， 不可能恰恰相同。因此，好的估计量应该是一个无偏估计 量，即用多个样本的统计量作为总体参数的估计值，其偏 差的的平均值为0。
（2）有效性：当总体参数的无偏估计不止一个统计量， 无偏估计变异性小者有效性高，变异大者有效性低。
（3）一致性：当样本容量无限增大时，估计量的值能 越来越接近它所估计的总体参数值，估计值越来越精确， 逐渐趋近于真值。
当总体标准差σ为已知时，样本平均数的分布为正态分布或
渐误近X1正.9态6 分n 布X。之，根间此据，时正或样态者本分说平布：均，数可1分.以9布6说的：平X有之均9间5数%包的含X 所X有落的在，X标准的
95% ，即 P 1.96 X X 1.96 X 0.95
但是，在实际研究中，只能得到一个样本平均数，我
成立,即往届应届成绩一样.
如果X 0 k 则拒绝H0 ,即认为 0 , 不成立而, 0 成立, 即往届应届成绩 不一样.
如何确定k呢? 对于适当小的正数α(α=0.05,0.01,等),
考 虑 P(
X 0
0
n
Z )
2
(*)
( * ) 说 明事 , 件 X 0
Z
2
n
是一个小概率事件.
（ 已知2 ）或
（ 未知） 2
（3）确定置信区间或显著性水平。
（4）根据样本平均数的抽样分布，确定查何种统计表。
（5）计算置信区间。
X Z X （ 正X态分Z布 ） X
2
2
或 X t S X （Xｔ分布t） S X
2
2
（6）解释总体平均数的置信区间。
总体方差σ2 已知时，对总体平均数μ的估计