例谈年中考数学中的存在性问题

直接写出 m的值；若不存在，请说明理由．
y B
1 C
-1
O1
x
-1 A
（ 2）定值存在性问题 例 5、（ 2010 年咸宁卷）如图，直角梯形 ABCD中，AB∥ DC， DAB 90 ，AD 2DC 4 ，AB 6 ．动
点 M以每秒 1 个单位长的速度，从点 A 沿线段 AB向点 B 运动；同时点 P 以相同的速度，从点 C 沿
；如果不存在，请说明理由． ”
二、存在性问题的解决策略
1、直接求解法
存在性问题是探索型问题中的一种典型性问题．存在性问题探索的方向是明确的．探索的结果
有两种：一种是存在：另一种是不存在．直接求解法就是直接从已知条件入手，逐步试探，求出满
足条件的对象，使问题得到解决的解法。
2、假设求解法
先假设结论存在，再从已知条件和定义，定理，公理出发，进行演绎推理；若得到和题意相容
y kx 2 4k
∴
y 2x
x
解之
x
2 4k 2 k ∴点 H 的坐标为（ x 4 8k 2k
2 4k ， y 2k
4 8k ） 2k
∴PH与线段 AD的交点 F（ 2,2 － 2k） , ∴0＜ 2－ 2k＜4,
1
2 4k 1 1
∴－ 1＜ k ＜ 1 ∴Ｓ△DHF= (4 2 2k ) (2
)
24
中心。 ∴过点 P 的直线只要平分△ DOA 的面积即可。 易知， 在 OD边上必存在点 H使得 PH将△ DOA面 积平分。从而，直线 PH平分梯形 OBCD的面积 , 即直线 PH 为所求直线 l. 设直线 PH的表达式为 y=kx+b
且点 P(4,2). ∴2=4k+b 即 b=2－ 4k. ∴y=kx+2－ 4k ∵直线 OD的表达式为 y=2x
条件的数学对象，是证明肯定型存在性问题的主要方法。这种处理方法一般分为两大步，第一步是
构造出满足要求的数学对象；第二步是通过验证，证明构造的对象满足问题的要求。
例 1、 (2010 年陕西卷 ) 问题探究 (1) 请你在图①中做一条．．直线，使它将矩形 ABCD分成面积相等的两部分；
（ 2）如图②点 M 是矩形 ABCD内一点，请你在图②中过点 M作一条直线，使它将矩形
RQ
若不是，请说明理由．
E D
P
C
D
C
D
C
Q
Al M
BA
B
A
B
（ 3）极值存在性问题 例 6、（ 2010 年莆田卷）如图，矩形 ABCD (点 A 在第一象限 ) 与 x 轴的正半轴相交于 M,，与 y
的负半轴相交于 N，AB∥ x 轴，反比例函数 y= 的图象 k 过 A、C 两点，直线 AC与 x 轴相交于点 E、与 x
的结论，则假设成立，结论也存在；否则，假设不成立，结论不存在。即假设结论存在，根据条件
推理、计算，如果求得出一个结果，并根据推理或计算过程每一步的可逆性，证得结论存在；如果
推得矛盾的结论或求不出结果，则说明结论不存在． 三、中考数学中的存在性问题的类型
1、定性分类
（ 1）肯定型存在性问题 肯定型存在性问题是解决其余两类存在性问题的基础，具体地构造出（或求出，寻找出）满足
ABCD分成
面积相等的两部分。
问题解决
（ 3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形
OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示
意图，其中 DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点
P（ 4,2 ）处。
为了方便驻区单位准备过点 P 修一条笔直的道路 （路宽不计） ，并且是这条路所在的直线 l 将直角梯
( ⅰ ) 当 AMN ∽ CDB时，有 AN MN ∵ AN BC BD
即 m 1 m2 1 解得： m 1（舍去） m2 2 32
m 1, MN m2 1 2 则 M 2, 3
( ⅱ ) 当 AMN ∽ DCB时，有 AN MN BD BC
解得 m1
2
1 （舍去） m2
（舍去）
3m 1 m2 1即322
② 点 M在 y 轴右侧时，则 m 1
(ⅰ) 当
AMN ∽
AN
DCB时，有
MN
BD BC
∵ AN m 1, MN m2 1
m 1 m2 1
∴
32
2
解得 m1
1 （舍去）
m2 4 3
∴M 4, 7 39
( ⅱ ) 当 AMN ∽ CDB时，有 AN MN BC BD
m 1 m2 1
即
2 32
解得： m1 1 （舍去） m2 4
y 轴相交于点 F。
(1) 若 B（ -3 ， 3），直线 AC的解析式为 y= ax b .
①求 a 的值； ②连结 OA、 OC，若△ OAC的面积记为 S OAC ，△ ABC的面积记为 S ABC ，记 S= S ABC － S OAC ，
问 S 是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由
2
2
2
2
(3) 存在这样的点 M
∵ ABC= ABD=45 ∴ DBC=90
∵ MN x 轴于点 N， ∴ ANM= DBC =90
在 Rt △ BOC中， OB=OC1= 有 BC= 2
在 Rt △ DBE中， BE=DE=3 有 BD=3 2
设 M点的横坐标为 m ，则 M m, m2 1
①点 M在 y 轴左侧时，则 m 1
k， a
ka1 .
又 c a1， a kc.
（ 2）取 a 8， b 6， c 4，同时取 a1 4， b1 3， c1 2.
此时 a
b
c 2，△ ABC ∽△ A1B1C1 且 c a1.
a1 b1 c1
（ 3）不存在这样的 △ ABC 和 △ A1B1C1 . 理由如下：
若 k 2，则 a 2a1，b 2b1， c 2c1. 又 b a1，c b1 ， a 2a1 2b 4b1 4c，
△ ABC和△ A1 B1C1 ，使得 a、b、c 和 a1 、 b1 、 c1 都是正整
数，并加以说明； （ 3）若 b=a1， c=b1，是否存在 △ ABC和△ A1B1C1 使得 k=2？请说明理由 .
a
解析 : （ 1）证： △ ABC ∽△ A1B1C1 ，且相似比为 k(k
1)， a1
2
2k 22
∴解之，得 k
13 3 。（ k
2
13 3
舍去）
2
∴ b=8－ 2 13
13 3
∴直线 l 的表达式为 y=
x 8 2 13
2
（ 2）否定型存在性问题 反证法是证明否定型存在性问题的主要方法，特别是在无限个候选对象中，证明某种数学对象 不存在时，逐一淘汰的方法几乎不能实行，更经常地使用反证法。
例 2、(2010 年安徽卷 ) 如图，已知 △ ABC ∽△ A1B1C1 ，相似比为 k（ k>1），且 △ ABC 的三边
长分别为 a、b、 c（ a>b>c）， △ AB1C1 1 的三边长分别为 a1 、 b1 、 c1 .
（ 1）若 c=a1，求证： a=kc； （ 2）若 c=a1，试给出符合条件的一对
过点 D 作 DE x 轴于 E，则 BDE为等腰直角三角形。令 OE k k 0 ，
则 DE k 1 ∴ D k , k 1 ，∵点 D在抛物线 y x2 1 上
∴ k1
2
k1
解得 k1 2 ， k2 1 （不合题意，舍去）
D 2, 3
∴ DE=3 ∴ 四 边 形 ACBD 的 面 积 S = 1 AB?OC + 1 AB?DE 1 2 1 1 2 3 4
b 2c. b c 2c c 4c a ，而 b c a， 故不存在这样的 △ ABC 和 △ A1B1C1 ，使得 k 2.
（ 3）讨论型存在性问题 将问题看成求解题，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决讨论型存 在性问题的主要方法。另外，先猜出对象可能存在或不存在，从而将讨论型存在性问题转化为肯定 型或否定型处理，是解决讨论型存在性问题的又一重要方法。
点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
y
x
（ 5）直线存在性问题 例 8、（ 2010 年扬州卷）在△ ABC中，∠ C＝ 90°， AC＝ 3，BC＝ 4，CD是斜边 AB上的高，点 E 在
例谈 2010 年中考数学中的存在性问题
山东省临沂第九中学
洪善理
随着新课改的不断深入， 近年来各地中考数学试题不断推陈出新， “选拔性” 与“能力性” 兼容，
命题由“知识性”立意向“素质性” 、“能力性”立意转变，出现了一大批题型设计思路开阔、内涵
丰富、立意深刻、发人深思的好试题，存在性问题恰恰是这些试题中突出考查学生能力的典型代表。
∴ M 4, 15
∴ M点的坐标为
47 2, 3 , , , 4, 15
39
2、定量分类 （ 1）数值存在性问题
例 4、（2010 年舟山卷 ) △ ABC中，∠ A=∠B=30°， AB= 2 3 ．把△ ABC放在平面直角坐标系中，
使 AB的中点位于坐标原点 O( 如图 ) ，△ ABC可以绕点 O作任意角度的旋转．
(2)AE 与 CF是否相等？请证明你的结论。
y
B
A
F
E
OM
x
C
ND
（ 4）点存在性问题
例 7、（湘潭） 如图， 直线 y
x 6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，以线段 AB为直径作⊙ C，
抛物线 y ax 2 bx c 过 A、 C、 O三点．
(1) 求点 C的坐标和抛物线的解析式； (2) 过点 B 作直线与 x 轴交于点 D，且 OB2=OA·OD，求证： DB是⊙ C的切线； (3) 抛物线上是否存在一点 P， 使以 P、O、C、A 为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出
折线 C- D- A 向点 A 运动．当点 M到达点 B 时，两点同时停止运动．过点 CD的交点为 E，与折线 A- C- B 的交点为 Q．点 M运动的时间为 t （秒）．
（ 1）当 t 0.5 时，求线段 QM 的长；
M作直线 l ∥ AD，与线段
（ 2）当 0＜ t ＜ 2 时，如果以 C、P、 Q为顶点的三角形为直角三角形，求 t 的值； （3）当 t ＞ 2 时，连接 PQ交线段 AC于点 R．请探究 CQ 是否为定值，若是，试求这个定值；
于中学数学课本中有明确结论的封闭型问题而言的．存在性问题可抽象为“已知事项
M，是否存在
具有某种性质的对象 Q。”解题时要说明 Q存在，通常的方法是将对象 Q构造出来；若要说明 Q不存
在，可先假设存在 Q，然后由此出发进行推论，并导致矛盾，从而否定
Q 的存在。此类问题的叙述
一般是“是否存在……，如果存在，请求出……（或请证明）
(1) 当点 B 在第一象限，纵坐标是
6 时，求点 B的横坐标； 2
(2) 如果抛物线 y ax2 bx c ( a≠０) 的对称轴经过点 C，请你探究：
① 当a
5 ，b
4
1 ，c
2
3 5 时， A， B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由； 5
② 设 b=-2 am，是否存在这样的 m的值，使 A， B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，
与△ BCD相似？若存在，则求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：（ 1）把 A( 1,0) B(1,0) 代入 y ax2 bx 1 得：
a b1 0 a b1 0
a1
解得：
b0
2
y x1
（ 2）令 x 0 ，得 y 1 ∴ C 0,1 ∵ OA=OB=OC1=
∴ BAC= ACO= BCO= ABC =45 ∵ BD∥ CA， ∴ ABD= BAC 45
例 3、(2010 年重庆市江津区卷 ) 如图， 抛物线 y ax2 bx 1 与 x 轴交于两点 A（－ 1，0），B（ 1，
0），与 y 轴交于点 C．
(1) 求抛物线的解析式； (2) 过点 B作BD∥ CA与抛物线交于点 D，求四边形 ACBD的面积；
(3) 在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 M，过 M作 MN⊥ x 轴于点 N，使以 A、 M、N为顶点的三角形
形 OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线 l 是否存在？若存在求出直线 l 的表达式；若不存在，
请说明理由
解析：（ 1）如图①
（ 2）如图②连结 AC 、 BC交与 P 则 P 为矩形对称中心。作直线 MP，直线 MP即为所求。 （ 3）如图③存在直线 l 。过点 D 的直线只要作 DA⊥OB与点 A ，则点 P(4,2) 为矩形 ABCD的对称
由于这类问题大多以函数图象为载体，来研究事物的存在性，理解起来比较抽象，涉及面较广，技
巧性和综合性也较强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力、灵活运用能力和分析问题的能
力要求又高，所以一直是连续几年来全国各地中考数学试题的压轴型题目。
一、存在性问题的内涵
所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，探究是否存在符合要求的结论．存在性问题是相对