2019届下学期四川省成都经济技术开发区实验中学高三4月月考试卷 数学(理)

2019届下学期四川省成都经济技术开发区实验中学
高三4月月考试卷
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写．．．．．在答题卷上．．．．．
） 1．已知集合{}3,2,1,0,1,2A =---，{}
2
3B x x =≤，则A B =（ ）
A ．{}0,2
B ．{}1,0,1-
C ．{}3,2,1,0,1,2---
D ．[]0,2
2．复数()1i i z +=(i 为虚数单位)，则z =（ ） A ．11i 2
2
+
B ．11i 22
-+
C ．11i 22
-
D ．11i 22
--
3．在等差数列{}n a 中，若59103a a a ++=，则数列{}n a 的前15项的和为（ ） A ．15
B ．25
C ．35
D ．45
4．已知函数f （x ）的定义域为R ，M 为常数．若p ：对∀x ∈R ，都有f （x ）≥M ； q ：M 是函数f （x ）的最小值，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知2
2
20182018201720172ln ,2ln ,2017201720162016a b ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2
201620162ln 20152015c ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，
则（ ）
6．某同学为实现“给定正整数N ，求最小的正整数i ，使得7i N >，”设计程序框图如下，则判断框中可填入（ ） A ．x N ≤
B ．x N <
C ．x N >
D ．x N ≥
7．如图，正方体-1111ABCD A B C D 中，E 为棱1BB 的中点，用过点A 、E 、C 1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（ ）
A
B
C
D
A B C D 1
1
1
1
E
8．若函数
的图象向右平移个单位后的图象关于直线对称，
则实数的值可以是（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
9．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,
P P P ，记2(1,2,
,10)i i m AB AP i =⋅=，则1210m m m ++
+的值为（ ）
此
卷
只
装
订
不密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
A
．
B ．45
C
．D ．180
10．某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本数分别为,a b ，且直线80ax by ++=与以(1,1)A -为圆心的圆交于,B C 两点，且
120BAC ∠=︒，则圆C 的方程为（ ）
A ．22(1)(1)1x y -++=
B ．22(1)(1)2x y -++=
C ．2218
(1)(1)17x y -++=
D ．2212(1)(1)15
x y -++=
11．如图，点P 从点A 处出发，按逆时针方向沿边长为a 的正三角形ABC 运动一周，
ABC O ∆为的中心，设点P 走过的路程为x ，OAP ∆的面积为()P O A x f ,,(,当三点共线时，记面积为0），则函数()x f 的图象大致为（ ）
12．已知双曲线的左、右焦点分别为
，，是双曲线
的左顶点，
在双曲线的一条渐近线上，为线段
的中点，且
，则该
双曲线的渐近线为（ ） 第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 13．已知复数
，则
．
14．设x ，y
满足约束条件
，则z=2x ﹣y 的最大值为 ．
15．在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆外接圆的圆心，则AO CB ⋅= ．
16．已知1sin()33πα-=(0)2πα<<，则sin()6
π
α+= ．
三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演．．．．．．．．．．．．．．．．．．．算步骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．．．
） 17．（12
分）已知函数2()22cos 1f x x x =++．
（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的值域；
（2）在ABC ∆中，A ∠，B ∠，
C ∠所对的边分别是a ，b ，c ，()3f B =，2b =
，a c +=，求ABC ∆的面积．
B 1B ，
C 1C 与底面ABC
D 垂直，底面圆的直径等于圆柱的高． （1）证明：BC ⊥AB 1；
（2）（ⅰ）求二面角A 1-BB 1-D 的大小； （ⅱ）求异面直线AB 1和BD 所成角的余弦值．
1
A
19．（12分）小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A ，如果A 猜中，A 将获得红包里的所有金额；如果A 未猜中，A 将当前的红包转发给朋友
B ，如果B 猜中，A B 、平分红包里的金额；如果B 未猜中，B 将当前的红包转发给朋
友C ，如果C 猜中，A B 、和C 平分红包里的金额；如果C 未猜中，红包里的钱将退回
小李的账户，设A B C 、、猜中的概率分别为111
,,323
，且A B C 、、是否猜中互不影响．
（1）求A 恰好获得4元的概率；
（2）设A 获得的金额为X 元，求X 的分布列；
（3）设B 获得的金额为Y 元，C 获得的金额为Z 元，判断A 所获得的金额的期望能否超过Y 的期望与Z 的期望之和．
20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （-1,0）、B （1,0）、C （0,-1）， N 为y 轴上的点，MN 垂直于y 轴，且点M 满足AM BM ON CM ⋅=⋅（O 为坐标原点）， 点M 的轨迹为曲线T ． （1）求曲线T 的方程；
（2）设点P （P 不在y 轴上）是曲线T 上任意一点，曲线T 在点P 处的切线l 与直线
5
4y =- 交于点Q ，试探究以PQ 为直径的圆是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标， 若不过定点，说明理由．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且分别为的极大值和极小值，若，求的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知曲线C的参数方程是
2cos
sin
x
y
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为(2,)
Aπ，4
(2,)
3
B
π
．
（1）求直线AB的直角坐标方程；
（2）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数3
2
1
2
)
(-
+
+
=x
x
x
f．
（1）求不等式6
)
(≤
x
f的解集；
（2）若关于x的不等式
1
)
(-
<a
x
f
的解集非空，求实数a的取值范围．
2019届下学期四川省成都经济技术开发区实验中学
高三4月月考试卷
理 科 数 学 答 案
一、选择题． 1-5：BCACA 6-10：CACDC 11-12：AB
二、填空题．
13． 14．8 15．10- 16．
3
三、简答题．
17
．解：（1）2()22cos 12f x x x =+-+2cos22x x =++π=2sin 226
x ⎛⎫
++ ⎪⎝
⎭
，
所以()f x 的最小正周期2π
π2
T =
=， πππ7π
022666
x x ∴+≤≤，≤≤，
π12sin 226x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭≤≤，π12sin 2246x ⎛
⎫∴++ ⎪⎝
⎭≤≤，
所以函数()f x 在区间π02⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，的值域为[14]，．
（2）由()3f B =，得π2sin 2236B ⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭，
又ππ13π2666B <+<，π5π266B ∴+=，π3
B ∴=， 由2b =及余弦定理得：2242cos60a c ac =+-︒，∴2()34a c ac +-=， 又
a c +，代入上式解得8
3
ac =，
∴ABC △的面积11sin sin 6022S ac B ac ==︒
18．解：（1）证明：因为B 1B ⊥平面ABCD ，且BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥B 1B ，
又因为在底面圆O 中，AB ⊥BC ，AB ∩B 1B=B ，所以BC ⊥平面A 1B 1BA ， 又因为BA 1⊂平面A 1B 1BA ，所以BC ⊥AB 1．
（2）（ⅰ）由圆柱性质知CB 、CD 、CC 1两两垂直．
以C 为原点，以CD 、CB 、
1CC 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，不妨设圆柱的高为2．则(0,0,0)C
，B ，(1,1,0)O ． 所以平面A 1B 1B
的一个法向量是CB =． 平面BB 1D 的一个法向量是(1,1,0)CO =．
所以cos ,2·CB CO CB CO CB CO
<>=
=
．
由图知二面角A 1-BB 1
-D 是锐二面角，所以它的大小是4
π．
（ⅱ）由题意得
A ，D
，12)B ． 所以1
(AB =，(2,BD =．
所以111cos ,2·AB BD AB BD AB BD
<>=
=
=． 19．解：（1）A 恰好获得4元的概率为2111
3239
⨯⨯=．
（2）X 的可能取值为0，4，6，12，
()()12122
4,093239P X P X ====⨯⨯=，
()()2111
6,123233
P X P X ==⨯===，
所以X 的分布列为：
（3）Y 的可能取值为0，4，6；Z 的可能取值为0，4．
因为()()()121252111211
0,4,6332393239323P Y P Y P Y ==+⨯⨯===⨯⨯===⨯=，
()()12121282111
0,433232393239P Z P Z ==+⨯+⨯⨯===⨯⨯=，
所以51122814
046,049939999EY EZ =⨯+⨯+⨯==⨯+⨯=，
所以26
9
EY EZ +=，
又211158
0461299339
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，
由于EX >EY +EZ ，所以A 所获得的金额的期望能超过Y 的期望与Z 的期望之和．
20．解：（1）设点(,)M x y ，依题意知(0,)N y ， ∵(1,),(1,),(0,),(,1)AM x y BM x y ON y CM x y =+=-==+， 由AM BM ON CM ⋅=⋅得221(1)x y y y -+=+，即21y x =-， ∴所求曲线T 的方程为21y x =-． （2）
解法1：设000(,)(0)P x y x ≠，由21y x =-得'2y x =，则00'|2l x x k y x ===， ∴直线l 的方程为0002()y y x x x -=-，
令5
4y =-得2
00
418x x x -=，即点Q 的坐标为200415(,)84x x --， 设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上任意一点，则由0PG QG ⋅=，
得以PQ 为直径的圆的方程为：20000415
()()()()084
x x x x y y y x ---
+-+=------① 在①中，令001,0x y =±=得35
(1)()()084
x x y y ++++=，------------------------②
35
(1)()()084
x x y y --++=，-------------------------③
由②③联立解得0,3.4x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或0
12
x y =⎧⎪
⎨=-⎪⎩，
将30,4x y ==-代入①式，左边=2
0041335
()()8444
x y -+---+0
011022y y =-==右边，
即以PQ 为直径的圆过点3
(0,)4
-，
将1
0,2
x y ==-代入①式，左边≠右边，
∴以PQ 为直径的圆恒过点，该定点的坐标为3
(0,)4
-．
解法2：设000(,)(0)P x y x ≠，由21y x =-得'2y x =，则00'|2l x x k y x ===， ∴直线l 的方程为0002()y y x x x -=-，
令5
4
y =-得2
00418x x x -=，即点Q 的坐标为
200415(,)84x x --， 设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上任意一点，则由0PG QG ⋅=，
得以PQ 为直径的圆的方程为：20000415
()()()()084
x x x x y y y x ---
+-+=------① 假设以PQ 为直径的圆过定点),(b a ， 则0)4
5
)(()8121)((0000=+-++-
-b y b x x a x a ， 0)45)(1(81823212
000202=++-+-+-+b x b x a ax x a ， 0)4
5)(1()45(81823212000202=++++--+-+
b b x b x a ax x a ， 0)4
5)(1()43(81)8123(20002=++++----b b x b x x a a ，
令4
3,0-==b a ，上式恒成立，
∴以PQ 为直径的圆恒过定点，该点的坐标为3
(0,)4
-．
解法3：设000(,)(0)P x y x ≠，由21y x =-得'2y x =，则00'|2l x x k y x ===， ∴直线l 的方程为0002()y y x x x -=-，
令5
4
y =-得2
00418x x x -=，即点Q 的坐标为200415(,)84x x --， 假设以PQ 为直径的圆恒过定点H ，则根据对称性，点H 必在y 轴上，设(0,)H t ，
则由0PH QH ⋅=得2
0000415
()()084
x x t y t x -⋅
+-+=------① 001355()()02844y t t y t +++-+=，031
()()042
t t y ++-=， ∴34t =-，即以PQ 为直径的圆恒过定点，该点的坐标为3(0,)4-．
21．解：由条件得
．
（1）当时，则
，
又，
所以曲线在处的切线方程为，
即
．
（2）由（1）得，令，得，
则且
，得
．此时设的两根为，
所以，
，
因为，所以，
由
，且
，得．
所以
．
由，得，
代入上式得，．
令，所以，，则，
，所以在上为减函数，
从而，即，所以．
22．解：（1）将A 、B 化为直角坐标为(2cos ,2sin )A ππ、44(2cos ,2sin )33
B ππ， 即A 、B 的直角坐标分别为(2,0)A -
、(1,B -，
AB k =AB
的方程为02)y x -=+，
0y ++=．
（2）设(2cos ,sin )M θθ，它到直线AB 距离
d =
=|)2
θϕ++
，（其中tan ϕ=
∴max d =
． 23．解：（1）原不等式等价于313,,
222
(21)(23)6,(21)(23)6,
x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或
或1,2(21)(23) 6.
x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ 解之得31312,12222
x x x <≤-≤≤-≤<-或,或． 即不等式的解集为}21|{≤≤-x x ．
（2）()()()432123212=--+≥-++=x x x x x f ． 41>-∴a ，解此不等式得53>-<a a 或．。