苏教版选择性必修第一册312椭圆的几何性质课件_2

解得
2 = + ' = 3 + 5 = 8,
= 4.
又因为 a2=b2+c2,所以 b2=12.
故椭圆 C
2
2
的方程为16 + 12=1.
(2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为
由
3
= 2 + ,
得
2
2
+ = 1,
16
12
3
y= x+t.
2
3x2+3tx+t2-12=0.
2
2
故椭圆的方程为 + =1.
36
16
2.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离
心率为(
)
1
A.2
√3
B. 2
√3
C. 4
√6
D. 4
答案 A
解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆的上顶点.
依题意可知,△BF1F2是正三角形.
∵在Rt△OBF2中,OF2=c,BF2=a,∠OF2B=60°,
F1(0,-2√6),F2(0,2√6),四个顶点分别是 A1(0,-5),A2(0,5),B1(-1,0),B2(1,0).
规律方法 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准方程,然后根据
方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用a,b,c之间的关系及相关定
义,就可以得到椭圆相应的几何性质.
变式训练1
该椭圆的标准方程是
.
答案 (1)D
2
2
(2) + =1
4
16
解析 (1)由题意知,椭圆的焦点在 y 轴上,且 a=13,b=10,则 c= 2 - 2 = √69.
故选 D.
= 2,
(2)由已知,得该椭圆的焦点在 x 轴上,且 = 2√3,
2 - 2 = 2 ,
2 = 16,
为其上任一点,则 MF 的最大
2.如图,我们发现,不同椭圆的扁平程度不同,扁平程度是椭圆的重要形状特
征.你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗?这个定量对椭圆的形状
有何影响?
提示 利用离心率

e= 来刻画椭圆的扁平程度.



如图所示,在 Rt△BF2O 中,cos∠BF2O=,记 e=,则 0<e<1,e 越大,∠BF2O 越小,
【例2】 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程:
(1)已知椭圆的中心在原点,焦点在 y
(2)已知椭圆的离心率为
1
轴上,其离心率为2,焦距为
2
e= ,短轴长为
3
8√5.
8;
解

(1)由题意知,2c=8,c=4,∴e=
4

= =
1
,
2
∴a=8,从而 b2=a2-c2=48,
2
2
∴椭圆的标准方程是 + =1.
64
48
(2)由

e=
=
2
,得
3
2
c=3a.
又 2b=8√5,a2=b2+c2,所以 a2=144,b2=80,
2
2
所以椭圆的标准方程为144 + 80=1
2
2
或80 + 144=1.
规律方法 在求椭圆方程时,要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴,
从而确定方程的形式;若不能确定焦点所在的坐标轴,则应进行讨论,然后
2
,得 k
(4-2 )(1-2 )
即
2
2
≤
7
≤2,
7
,所以
2
2e4-17e2+8≤0.
1 2
解得2≤e ≤8.
√2
因为 0<e<1,所以 2 ≤e<1.
√2
故椭圆离心率 e 的取值范围为[ 2 ,1).
规律方法 求椭圆离心率的方法
(1)直接求出 a 和 c,再求

e= ,也可利用

e=
2
1- 2 求解.
因为直线 l 与椭圆 C 有公共点,
所以 Δ=(3t)2-4×3(t2-12)≥0.解得-4√3≤t≤4√3.
由直线 OA 与 l 的距离 d=4,
可得
||
=4,从而 t=±2√13.
9+1
4
由于±2√13∉[-4√3,4√3],
故不确定a,b,这就是我们常用的待定系数法.
变式训练2
(1)椭圆以两坐标轴为对称轴,并且过点(0,13),(-10,0),则焦点坐标为(
A.(±10,0)
B.(±√69,0)
C.(0,±10)
D.(0,±√69)
)
(2)已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2√3,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则
椭圆越扁;e 越小,∠BF2O 越大,椭圆越接近于圆.
重难探究•能力素养全提升
探究点一 由方程求椭圆的几何性质
【例1】 求椭圆25x2+y2=25的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标.
解
2
把已知方程化成标准方程为 +x2=1,
25
则 a=5,b=1.
所以 c= 25-1=2√6,
因此,椭圆的长轴长 2a=10,短轴长 2b=2,两个焦点分别是
∴cos

60°=

=
1
,即椭圆的离心率
2
1
e= ,故选
2
A.
2
3.已知椭圆 2
+
2
=1(a>b>0)的短轴长为
2
4,上顶点 A,左顶点 B,焦点 F1,F2 分
别是椭圆左、右焦点,且△F1AB 的面积为 4-2√3,则椭圆的焦距为(
A.√3
B.2√3
C.4√3
D.8√3
)
答案 C
解析
2
解 由题意知 A(a,0),B(0,b),从而直线 AB
F1F2=2c,
∴

2 +2
=
√6
3
c.①
∵b2=a2-c2,
∴①式可化简为 3a4-7a2c2+2c4=0,
解得 a2=2c2 或 3a2=c2(舍去),
√2
∴椭圆的离心率 e= 2 .


的方程为 + =1,即


bx+ay-ab=0,又
角度2求离心率的取值范围
【例 4】
2
已知椭圆 2

+
2
=1(a>b>0)的两个焦点分别为
2

F1,F2,斜率为 k 的直
线 l 过左焦点 F1 且与椭圆的交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,且 B 为线段 CF1
√14
的中点,若|k|≤ 2 ,求椭圆离心率
e 的取值范围.
解 依题意得 F1(-c,0),直线 l:y=k(x+c),则 C(0,kc).
∴ 2
= 4,
2
2
∴所求椭圆的标准方程为16 + 4 =1.
探究点三 求椭圆的离心率
角度1求离心率
【例 3】 已知椭圆
2
C: 2

+
2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为
2

A,上顶点为 B,若椭圆 C 的中心到直线 AB
率.
F1,F2,右顶点为
√6
的距离为 6 F1F2,求椭圆
C 的离心
学以致用•随堂检测全达标
1.焦点在x轴上,长半轴长与短半轴长的和为10,焦距为4 √5 ,则椭圆的方程
为(
2
A.36
2
C.
6
)
+
2
=1
16
2
B.16
+
2
=1
4
2
D.
6
+
2
=1
36
+
2
=1
4
答案 A
解析 依题意得 c=2√5,a+b=10,又 a2=b2+c2,所以 a=6,b=4.
5
=
√5
5
(当且仅当
1
4a=,即
1
a=2时取等号),
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)椭圆的简单几何性质;
(2)由椭圆的几何性质求标准方程;
(3)求椭圆的离心率.
2.方法归纳:分类讨论思想、方程法(不等式法).
3.常见误区:(1)容易忽略椭圆离心率的范围0<e<1及长轴长与a的关系;
(2)容易忽视椭圆方程中参数的约束条件和范围.
所以 c=
17
-4
4
=
1
,
2
1

√17
2
故椭圆的离心率 e= =
=
.

17
17
2
2
2
(2)解∵椭圆5 + 42 +1=1
∴5a>4a
2
1
+1,∴4<a<1.
∴椭圆的离心率 e=
1
1- 5 (4
的焦点在 x 轴上,
1
+ )
≤
5-42 -1
=
5
1
1- 5 ×
2
1
4·
√5
∴椭圆的离心率的最大值为 .
长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标.
解
2
椭圆方程可化为

∵m+3
=
∴a =m,b
2
2
√3
+ =1(m>0),
+3
(+2)

>0,∴m>
.
+3
+3

=
,c=
+3
由 e= 2 ,得
2
+2
+3
=
2 - 2
=
√3
,∴m=1.
2
2
∴椭圆的标准方程为 x2+ 1 =1.
4
(+2)

(2)若 a 和 c 不能直接求出,则利用条件得到 a 和

c 的齐次等式关系,然后整理成

的形式,并将其视为整体,就变成了关于离心率 e 的方程,进而求解.
变式训练3
(1)(2021广东广州月考)如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截得的截
面图形为椭圆,截得的几何体的最短母线长和最长母线长分别为2和3,则该
A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
2b
2a
x轴、y轴
原点
e的范围为0<e<1.e越大,椭圆越扁;e越小,椭圆越圆
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)椭圆既是轴对称图形,也是中心对称图形.( √ )
(1)求椭圆C的方程.
(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l
的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
解 (1)依题意,可设椭圆 C
2
的方程为2
+
2
2 =1(a>b>0),且可知其左焦点为

F'(-2,0),
= 2,
= 2,
从而有
64
短半轴长为 8,焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率
(2)椭圆
2 - 2 =6,故其长半轴长为 10,
3
e=5.
2
2
C2: + =1.
100
64
顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);焦点:(0,6),(0,-6);离心
3
率:e= .
5
探究点二 由椭圆的几何性质求方程
.
+3
1
√3
∴a=1,b= ,c= .
2
2
∴椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1,
√3
√3
2
2
两焦点坐标分别为 F1 - ,0 ,F2
四个顶点坐标分别为
,0 .
1
A1(-1,0),A2(1,0),B1 0,2
1
,B2 0,
2
.
5.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.
由椭圆2
+
2
2 =1(a>b>0)的短轴长为

由△F1AB 的面积为
4,得 b=2.
1
1
4-2√3,得2(a-c)b=4-2√3,即2(a-c)×2=4-2√3,
所以 a-c=4-2√3.
又 a2-c2=4,可得 a=4,c=2√3,所以椭圆的焦距为 4√3.故选 C.
3
2
4.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e= √ ,求实数m的值及椭圆的长轴
x2
(2)椭圆a 2
+
y2
=1(a>b>0)的长轴长是
b2
a.( × )
(3)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为 10,8,则椭圆的方程为
x2
25
y2
+ =1.(
16
(4)设 F
× )
x2
为椭圆a 2
y2
+ b 2 =1(a>b>0)的一个焦点,M
值为 a+c(其中 c2=a2-b2).( √ )
2
已知椭圆C1:
100
+
2
=1 ,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且
64
椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;
(2)写出椭圆C2的方程、顶点坐标、焦点坐标、离心率.
解
2
2
(1)由椭圆 C1: + =1,可知 a=10,b=8,c=
100
几何体的体积为
2
(2)已知椭圆
5
+
,截面椭圆的离心率为
2
=1
4 2 +1
.
的焦点在 x 轴上,求它的离心率 e 的最大值.
答案 (1)10π
√17
17
用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图所示,
则圆柱的体积为π×22×5=20π,
故所求几何体的体积为10π.
设该截面椭圆的长轴长 2a=√16 + 1 = √17,短轴长 2b=4,
因为点 B 为 CF1 的中点,所以

B(- , ).
2 2
2
2


(- )
( )
2
因为点 B 在椭圆上,所以
+ 2 =1,
2
2
即 2
4
2 2
+ 2 2 =1.
4( - )
2
所以 4
2 2
+
=1.
2
4(1- )
所以 k
(4-2 )(1-2 )