精品教育新版高中数学人教A版选修1-1习题：第三章 导数及其应用 3.2

3.2导数的计算
课时过关·能力提升
基础巩固
1.函数f(x)=(2πx)2的导数是()
A.f'(x)=4πx
B.f'(x)=4π2x
C.f'(x)=8π2x
D.f'(x)=16πx
f(x)=4π2x2,∴f'(x)=2×4π2x=8π2x.
2.已知函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,则a的值为()
A.1 B
(x)=2ax,由f'(1)=2知2a=2,∴a=1.
3.曲线y=x ln x在点(1,0)处的切线方程为()
A.y=2x+2
B.y=2x-2
C.y=x-1
D.y=x+1
y=x ln x,
∴y'=ln x+1,则切线斜率k=y'|x=1=1.
∴切线方程为y=x-1.
4.下列结论不正确的是()
A.若y=3,则y'=0
B.若f(x)=3x+1,则f'(1)=3
C.若y=
D.若y=sin x+cos x,则y'=cos x+sin x
.
D项,∵y=sin x+cos x,
∴y'=(sin x)'+(cos x)'=cos x-sin x.
5.正弦曲线y=sin x上切线的斜率等
A
B
C∈Z)
D∈Z)∈Z)
cos x,y x0x0=2kπ∈Z),y0x0=2kπ∈Z),y0=
6.已知f(x)=x2+e x,则f'(0)=;[f(1)]'=.
f'(x)=2x+e x,∴f'(0)=1.
∵f(1)=1+e,∴[f(1)]'=0.
7.已知f(x)=cos x,g(x)=x,则关于x的不等式f'(x)+g'(x)≤0的解集为.
8.在曲线y
P(x0,y0),∵y'
∴tan 135°=-1=-
9.曲线y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率为,切线的方程为.
y'=(ln x)'y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率为k ∴切线方程为y-1x-e y=0.
10.求下列函数的导数:
(1)y=sin x-x+1;
(2)y=-2e x·x3;
(3)y
y'=(sin x-x+1)'=cos x-1.
(2)y'=(-2e x·x3)'=(-2e x)'x3+(-2e x)·(x3)'=-2x3e x-6x2e x.
(3)y'
2
2.
11.已知两条曲线y=sin x,y=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处两条曲线的切线互相垂直?若存在,求出此公共点的坐标;若不存在,请说明理由.
.理由如下:设y=sin x,y=cos x这两条曲线的一个公共点为P(x0,y0),
则这两条曲线在点P(x0,y0)处的切线斜率分别为k1=cos x0,k2=-sin x0.
若使两条切线互相垂直,必须有cos x0·(-sin x0)=-1,即cos x0·sin x0=1,也就是sin 2x0=2,这是不可能的,所以不存在公共点,使在这一点处两条曲线的切线互相垂直.
能力提升
1.当函数y
A.a
B.±a
C.-a
D.a2
x0=±a.
2.已知直线y=kx是曲线y=e x的切线,则实数k的值为()
A
e x,设切点为(x0,y0),
·x0,∴x0=1,∴k=e.
3.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,可推得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于()
A.f(x)
B.-f(x)
C.g(x)
D.-g(x)
,一个偶函数的导函数是奇函数.∵f(x)是偶函数,∴g(x)是奇函数.∴g(-x)=-g(x).
4.若函数f(x)=log a x,f'(1)=-1,则a=.
5.已知y∈(-π,π),当y'=2时,x=.
cos x=
又x∈(-π,π),故x=
6.若f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),…,f n+1(x)=f n'(x),n∈N,则f2 016(x)=.
f1(x)=(sin x)'=cos x,f2(x)=(cos x)'=-sin x,f3(x)=(-sin x)'=-cos x,f4(x)=(-cos x)'=sin x,f5(x)=(sin x)'=cos x,所以循环周期为4,因此f2 016(x)=f4(x)=sin x.
x
★7.已知f(x)=x2+2f
(x)=2x+2f
令x=f
所以f
8.求下列函数的导数:
(1)f(x)=(x3+1)(2x2+8x-5);
(2)f(x)
∵f(x)=2x5+8x4-5x3+2x2+8x-5,
∴f'(x)=10x4+32x3-15x2+4x+8.
(2)f'(x)
★9.设曲线y=x n(1-x)(n∈N*)在(2,-2n)处的切线与x轴交点的横坐标为a n,求a1·a2·a3·…·a n的值.
y=x n(1-x)=x n-x n+1,
∴y'=(x n)'-(x n+1)'=nx n-1-(n+1)x n.
∴当x=2时,导函数值为n·2n-1-(n+1)·2n=n·2n-1-2(n+1)·2n-1=-(n+2)·2n-1,
即曲线在x=2处的切线斜率为-(n+2)·2n-1.
∴曲线在(2,-2n)处的切线方程为y+2n=-(n+2)·2n-1(x-2).
令y=0,得a n
∴a1·a2·a3·…·a n=2。