江西省南昌市高三数学第四次月考试题 文

2012~2013年南昌铁一中第四次月考文科
数学试卷 2013-01-03
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

把答案填写在答题卡上
1．设全集为R ，集合{}2|||≤=x x A ，}01
1
|{>-=x x B ，则=B A ( ) A ．]2,2[- B ．)1,2[- C ．]2,1( D ．),2[+∞-
2．如果mi i
+=-112
（R m ∈，i 表示虚数单位），那么=m ( ) A ．1
B ．1-
C ．2
D ．0
3．若0.5
2a =，log 3b π=，22log sin
5
c π
=，则( ) A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
4．函数12
1()()2
x
f x x =-的零点个数为
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫
=-
⎪3⎝⎭
的图象（ ） A ．向右平移
π6个单位 B ．向右平移π
3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π
6
个单位
6在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =( ) A ．22 B ．23 C ．24 D ．25 7．已知直线,l m ，平面,αβ，且,l m αβ⊥⊂，给出四个命题： ①若α∥β，则l m ⊥；②若l m ⊥，则α∥β；③若αβ⊥，则l ∥m ；④若l ∥m ，则αβ⊥．其中真命题的
个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 8已知||2||,||0a b b =≠，且关于x 的函数3211
()||32f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为（ ） A ．06π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
， B. (,]3
π
π C ．2(
,
]3
3
ππ
D ． (
,]6
π
π
9．函数1
ln |
|y y x
==与 （ ）
④()ln ||f x x =．则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.:cm 某个几何体的三视图如下,单位则此几何体的体积为____.
12. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-,3),6(log 3
,3)(2
3
1x x x e x f x 则))3((f f 的值为 . 13. 已知函数()x x x f c o s sin +=，且()()x f x f 2='，()x f '是()x f 的导函数，则
=-+x
x x
2sin cos sin 12
2 。

14. 已知x
和y 是实数，且满足约束条件y x
z x y x y x
32,72210+=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-≤+则的最小值
是 . 15．下列结论：
正视图
侧视图
俯视图
①已知命题p ：1tan ,=∈∃x R x ；命题q ：.01,2>+-∈∀x x R x
则命题“q p ⌝∧”是假命题； ②函数1
|
|2
+=
x x y 的最小值为21且它的图像关于y 轴对称； ③“a b >”是“22a b
>”的充分不必要条件；
④在ABC ∆中，若sin cos sin A B C =，则ABC ∆中是直角三角形。

⑤若4tan 2,sin 25
θθ==则； 其中正确命题的序号为 ．（把你认为正确的命题序号填在横线处
2012~2013年南昌铁一中第四次月考文科
数 学 答 题 卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

把答案填写在答题卡上
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.---------------------------------------------- ;
12.-----------------------------------------------;
13.--------------------------------------------------; 14.------------------------------------------------;
15.---------------------------------------------------.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）
16. （本小题满分12分）已知集合}02|{},,11
6
|{2<--=∈≥+=m x x x B R x x x A （1）当3=m 时，求)(B C A R ；
（2）若},41|{<<-=x x B A 求实数m 的值.
17. （本小题满分12分）设R m ∈，))2
cos(
2,sin (),sin ,(cos x x m b x x a -==π
，
)()(x f -⋅=且()03f f π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，
(Ⅰ)求m 的值；
（Ⅱ）设ABC ∆三内角C B A ,,所对边分别为c b a ,,且c
a c
c b a b c a -=-+-+22
222
22，求)(x f 在(]B ,0上的值域．
18. （本小题满分12分）已知命题p ：函数2
()2f x x ax =+-在[1,1]-内有且仅有一个零
点．命题q ：2
3(1)20x a x +++≤在区间13[,]22
内恒成立．若命题“p 且q ”是假命题，求
实数a 的取值范围
19. （本小题满分12分）圆锥PO 如图1所示，图2是它的正(主)视图．已知圆O 的直
径为AB ，C 是圆周上异于A 、B 的一点，D 为AC 的中点．
(1) 求该圆锥的侧面积S ；
(2) 求证：平面⊥PAC 平面POD ； (3) 若
60=∠CAB , 求三棱锥PBC A -的体积.
20．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，已知)(log 32,41,41*4
111N n a b a a a n n n n ∈=+==+. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：数列{}n b 是等差数列；
（Ⅲ)设数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，求{}n c 的前n 项和n S .
21. （本小题满分14分）已知函数2
()()x
f x ax x e =+，其中ｅ是自然数的底数，a R ∈． （1）当0a <时，解不等式()0f x >；
（2）当0a =时，求正整数ｋ的值，使方程()2f x x =+在［ｋ，ｋ＋１］上有解； （3）若()f x 在［－１，１］上是单调增函数，求a 的取值范围．
2012年南昌铁一中第四次月考数学试卷（文） 参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

把答案填写在答题卡上
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.----------------40/3----------------------
;
12.---------------------3-------------------------;
13.----------------1
3
---------------------; 14.--------------- 23/2-----------------;
15.------ -1,4,5--- -------------------。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分） 16（本小题满分12分
、解：}51|{≤<-=x x A ，（1）当3,{|13}m B x x ==-<<时 则 B C R =}31|{≥-≤x x x 或 )(B C A R =}53|{≤≤x x 6分 （2）},41|{<<-=x x B A
242408,{|24},.m m B x x ∴-⨯-===-<<有　解得此时符合题意
17 （本小题满分12分）
解：(Ⅰ)x x m
x x x x m x f 2cos 2sin 2sin cos cos sin )(2
2
-=
+-=
32)0()3
(=⇒=-m f f π
（Ⅱ）由余弦定理知：c a c
C b B c C ab B ac c
b a b
c a -===-+-+2cos cos cos 2cos 22
22222 即C b B c B a cos cos cos 2=-，
又由正弦定理知：()A C B C B B C B A sin sin cos sin cos sin cos sin 2=+=+=
即21cos =
B ,所以3π=B 当⎥⎦
⎤
⎝⎛∈3,0πx 时，⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈-2,662πππx ， )6
2sin(22cos 2sin 3)(π
-=-=x x x x f ， ()(]2,1-∈x f
故)(x f 在(]B ,0上的值域为(]2,1-
18. （本小题满分12分）解析：先考查命题p ： 若a ＝0，则容易验证不合题意；
故 0(1)(1)0a f f ≠⎧⎨
-⋅≤⎩，解得：a ≤－1或a ≥1. 再考查命题q ：
∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，∴3(a +1)≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，32上恒成立． 易知⎣
⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1x )max ＝92，故只需3(a +1) ≤－92即可．解得a ≤－52.
∵命题“p 且q ”是假命题，∴命题p 和命题q 中一真一假。

当p 真q 假时，－5
2
<a ≤－1或a ≥1；
当p 假q 真时，a ∈∅． 当p 假q 假时，11a -．
综上，a 的取值范围为{a | －5
2
<a
19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）解：由正（主）视图可知圆锥的高PO =，圆O 的
直径为2AB =，故半径1r =．∴圆锥的母线长PB ===，
∴圆锥的侧面积1S rl ππ==⨯=
．
（Ⅱ）证明：连接OC ，∵OA OC =，D 为AC 的中点，
∴OD AC ⊥．∵PO O ⊥圆，AC O ⊂圆，∴PO AC ⊥．又OD PO O =， ∴AC POD ⊥平面．又PAC AC 平面⊂，∴平面⊥PAC 平面POD …8分
(Ⅲ)︒=∠∴90ACB AB 是直径， ，又 60=∠CAB ,2CAB S ∆=，6V =. 20. （本小题满分13分）在数列{}n a 中，已知)(log 32,41,41*4
111N n a b a a a n n n n ∈=+==
+. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{}n b 是等差数列；
（Ⅲ)设数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，求{}n c 的前n 项和n S .
解：（Ⅰ）∵411=+n n a a ∴数列｛n a ｝是首项为41，公比为4
1的等比数列， ∴)()4
1(*N n a n n ∈=.…………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）∵2log 34
1-=n n a b …………………………………………………………………… 4分 ∴232)4
1(log 321-=-=n b n n .…………………………………………………………… 5分
∴11=b ，公差d=3
∴数列}{n b 是首项11=b ，公差3=d 的等差数列.…………………………………………7分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，n n a )4
1(=，23-=n b n （n *N ∈） ∴)(,)4
1()23(*N n n c n n ∈⨯-=.………………………………………………………………8分 ∴n n n n n S )4
1()23()41()53()41(7)41(4411132⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=-， ① 于是1432)4
1()23()41()53()41(7)41(4)41(141+⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=n n n n n S ② …………………………………………………………………………………………… 9分
两式①-②相减得132)4
1()23(])41()41()41[(34143+⨯--+⋯+++=n n n n S
=1)4
1()23(21+⨯+-n n .………………………………………………………………………11分 ∴ )()4
1(381232*1N n n S n n ∈⨯+-=+.………………………………………………………13分. 21. （本小题满分14分）已知函数2()()x f x ax x e =+，其中ｅ是自然数的底数，a R ∈．
（1）当0a <时，解不等式()0f x >；
（2）当0a =时，求正整数ｋ的值，使方程()2f x x =+在［ｋ，ｋ＋１］上有解；
（3）若()f x 在［－１，１］上是单调增函数，求a 的取值范围．
解 ⑴因为e 0x >，所以不等式()0f x >即为20ax x +>，
又因为0a <，所以不等式可化为1()0x x a
+<， 所以不等式()0f x >的解集为1(0,)a
-．…………………………4分 ⑵当0a =时, 方程即为e 2x x x =+，由于e 0x >，所以0x =不是方程的解， 所以原方程等价于2e 10x x --=，令2()e 1x h x x
=--， 因为2
2()e 0x h x x '=+>对于∈x ()0,+∞恒成立， 所以()h x 在()0,+∞内是单调增函数，……………………………6分
又(1)e 30h =-<，2(2)e 20h =->， ，
所以方程()2f x x =+有且只有1个实数根， 在区间[]12，
， 所以整数k 的值为 1．……………………………………………9分
⑶22()(21)e ()e [(21)1]e x x x f x ax ax x ax a x '=+++=+++，
① 当0a =时，()(1)e x f x x '=+，()0f x '≥在[11]-，上恒成立，当且仅当1x =-时 取等号，故0a =符合要求；………………………………………………………11分 ②当0a ≠时，令2()(21)1g x ax a x =+++，因为22(21)4410a a a ∆=+-=+>，
所以()0g x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x >，
因此()f x 有极大值又有极小值．
若0a >，因为(1)(0)0g g a -⋅=-<，所以()f x 在(11)-，内有极值点，
故()f x 在[]11-，
上不单调．………………………………………………………12分 若0a <，可知120x x >>，
因为()g x 的图象开口向下，要使()f x 在[11]-，上单调，因为(0)10g =>，
必须满足(1)0,(1)0.g g ⎧⎨-⎩≥≥即320,0.
a a +⎧⎨-⎩≥≥所以203a -<≤.--------------------------13分
综上可知，a 的取值范围是2[,0]3
-．………………………………………14分。