黑龙江省齐齐哈尔市2022届高三第二次模拟考试理科数学试题(含答案解析)

黑龙江省齐齐哈尔市2022届高三第二次模拟考试理科数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1．设i 为虚数单位，复数z 满足()2
1i 2z +=，则z =（ ） A ．2
B ．1
C ．12
D ．14
2．设集合{}22M x Z x =∈-<，则集合M 的真子集个数为（ ） A ．16
B ．15
C ．8
D ．7
3．已知,x y ∈R ，若:224,:2x y p q x y +≥+≥，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不
必要条件
4．2022年1月26日，中国人民银行，中国银行保险监督管理委员会、中国证券监督管理委员会三部门联合印发《金融机构客户尽职调查和客户身份资料及交易记录保存管理办法》（以下简称《办法》），规范金融机构的客户尽职调查、客户身份资料及交易记录保存行为，《办法》自2022年3月1日起施行．《办法》第十条提到，商业银行、农村合作银行、农村信用合作社、村镇银行等金融机构为自然人客户办理人民币单笔5万元以上或者外币等值1万美元以上现金存取业务的，应当识别并核实客户身份，了解并登记资金的来源或者用途．某民调机构调研相关政策实施前民众对该政策的了解程度，随机抽调20人，并通过问卷形式（满分为100分）按照每个人的得分情况得到如下频数分布表：
则下列说法错误的是（ ）A ．问卷得分低于55分的人数约占总人数的15% B ．问卷得分为80分的共有6人
C ．从得分在(]70,85和(]85,100这两个区间中按照分层抽样方法抽取7人，则恰有4人来自得分在(]85,100这个区间段
D ．此20人得分平均数的估计值为76.75分
5．函数()()
2sin 2ln 1x f x x π⎛⎫ ⎪
⎝⎭=
+的大致图象为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6．已知函数(
)()sin 0f x a x x a =≠图象的一条对称轴为直线6
x π
=，则实数a
的值为（ ） A
B
．C ．－1
D
7．已知实数a ，b ，c 满足ln b a e c ==，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b c a >>
D ．a c b >>
8．已知抛物线24x y =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，
()2,1Q --，记直线QA 、QB 的斜率分别为1k 、2k ，则
12
11
k k +=（ ） A ．2
B ．1
C ．4
D ．12
9．已知数列{}n a 的通项公式249,n a n n a k
n =-+是数列{}n a 的最小项，则实数k 的取值
范围是（ ） A ．[]24,16--
B ．[]24,0-
C ．[]16,16-
D ．[]16,0-
10．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1,90AA AB BC ABC ===∠=︒，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，则下列判断正确的有（ ）
① ①存在点E ，使得1A EA ∠为钝角
①截面1AEC 周长的最小值为A ．①①
B ．①①
C ．①①
D ．①①①
11．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的离心率为32，其左，右焦点分别为12,F F ，过
2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若
(
||AB M =，P 为双曲线右支上一点，则2PM PF +的最小值为（ ）
A
1 B ．4 C ．4 D 1
12．定义满足方程()()1f x f x '+=的解0x 叫做函数()f x 的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（ ）
A ．()2
3f x x x =-
B ．()1f x x x
=+
C ．()ln f x x =
D ．()e sin 3x
f x x =-+
二、填空题
13．已知向量,a b 满足2,3,3a b a b ==⋅=-，设向量a b +与a 的夹角为θ，则cos θ=______．
14．已知
)2
3n
x 的二项展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992，
则n =______．
15．在数列{}n a 中，()
*
2122,23,19,n n n a a n a a S +-=∈=-=-N 为{}n a 的前n 项和，则n
S 的最小值为______． 三、双空题
16．矩形ABCD 中，1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 折起，得到四面体
D ABC -，若异面直线BC 与AD 所成角为
3
π
，则BD =______；若二面角D AC B --
的大小为
3
π
，则BD =______． 四、解答题
17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且)
()
cos cos a
B C c b A -=-．从下列①①这两个条件中选择一个补充在横线处，并
作答．
①O 为ABC 的内心；①O 为ABC 的外心．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． (1)求A ；
(2)若3,5b c ==，________，求OBC 的面积． 18．已知四棱锥P ABCD -中，1
22
PA AB AD PD DC =====，AB AD ⊥，//AB CD ，侧面PAD ⊥底面ABCD ，点E 为PC 的中点．
(1)设点Q 为BE 上的动点，求证：四面体ADPQ 的体积为定值； (2)求平面ABE 和平面BCE 所成锐二面角的余弦值．
19．为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3:0或3:1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3:2取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为()01p p <<.
（1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？ （2）第10轮比赛中，记张三3:1取胜的概率为()f p . ①求出()f p 的最大值点0p ；
①若以0p 作为p 的值，这轮比赛张三所得积分为X ，求X 的分布列及期望.
20．已知点P 为曲线C 上任意一点，直线:4l x =-，过点P 作PQ 与直线l 垂直，垂足为Q ，直线l 和x 轴相交于点K ，点()1,0F -，且2PQ PF =，如图所示．
(1)求曲线C 的方程； (2)当
sin 2
sin 3
QPK FPK ∠=∠时，求点P 的坐标；
(3)已知直线:l y kx m '=+与曲线C 相交于不同的两点M ，N （均不在x 轴上），过点
()2,0A -作AH MN ⊥，垂足为H ，且2||||||AH MH NH =⋅，求证：直线l '恒过定点．
21．设平面向量m ，n 满足()()
(),,1,0,1x
x m a x n a a a =-=>≠，设函数()f x m n =⋅．
(1)若函数()f x 的最大值为1，求实数a 的值；
(2)在（1）的条件下，若1212,,x x x x ∃∈≠R 使得()()12f x f x =，求证：120x x +<． 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()6,0-且倾斜角为
4
π
，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=，以1C 上的点的纵坐标为参数t ．
(1)求1C 的参数方程和直线l 的普通方程；
(2)设点P 在1C 上，点Q 在直线l 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标． 23．已知函数()23f x x x =+-．
(1)若对于任意的x ∈R ，不等式()2
2f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围；
(2)若（1）中实数t 的最大值为0t ，正实数a ，b 满足0a b t +=，求证：114
3
a b +≥．
参考答案：
1．B 【解析】 【分析】
由复数的乘除法运算求得z ，再由模的定义计算模． 【详解】 由已知222
2221i
i (1i)12i i 2i i i z =
=====-+++， 所以i 1z =-=． 故选：B ． 2．D 【解析】 【分析】
求出集合M 中的元素，再由子集的定义求解． 【详解】
由题意{|04}{1,2,3}M x Z x =∈<<=， 因此其真子集个数为3217-=． 故选：D ． 3．B 【解析】 【分析】
先取特殊值检验是否满足充分性，再结合基本不等式判断是否满足必要性即可. 【详解】
取2,1x y ==-，则9
2242
x y
+=
≥，但2x y +<，所以p 是q 的不充分条件；
当2x y +≥时，由基本不等式可得224x y +≥≥，所以p 是q 的必要条件. 综上p 是q 的必要不充分条件. 故选：B. 4．B 【解析】 【分析】
由频数分布表直接判断A ，B 选项；按照分层抽样判断C 选项；按照平均数计算判断D 选项. 【详解】
对于A ，问卷得分低于55分的有3人，占比为
3
15%20
=，正确； 对于B ，问卷得分在(]70,85区间的人数为6人，不一定是得分为80分的有6人，错误； 对于C ，由6:83:4=，可得在(]85,100这个区间中抽取4人，正确； 对于D ，3368
47.562.577.592.576.7520202020
⨯+⨯+⨯+⨯=，正确. 故选：B. 5．A 【解析】 【分析】
分析函数()f x 的定义域、奇偶性及其在()0,2上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】
对于函数()()2sin 2ln 1x f x x π⎛⎫ ⎪
⎝⎭=
+，()2ln 10x +≠，解得0x ≠， 所以，函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，排除D 选项；
()()()()22
sin sin 22ln 1ln 1x x f x f x x x ππ⎛⎫- ⎪
⎝⎭-==-=-⎡⎤
+-+⎣⎦
，即函数()f x 为奇函数，排除B 选项； 当02x <<时，211x +>，02
x
ππ<<，则sin
02
x
π>，()2ln 10x +>，此时()0f x >，
排除C 选项. 故选：A. 6．C 【解析】 【分析】
由正弦函数的性质求解即()6f π
等于函数的最大值或最小值．
【详解】
13()sin 66622
f a a πππ==-， 因为直线6
x π
=是函数()f x 图象的一条对称轴，
所以
13
22
a -=1a =-． 故选：C ． 7．D 【解析】 【分析】
构造函数()ln f x x x =-，利用导数可证ln x x >，据此可比较大小. 【详解】
令()ln (0)f x x x x =->，则1()1.f x x
'=-
当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减， 当1x <时，()0,()f x f x '>单调递增， 所以()(1)10f x f ≥=>， 即ln x x >.
所以ln a a c >=，ln ln b c c e b >==， 故选：D 8．A 【解析】 【分析】
分析可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为1y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得
12
11
k k +的值. 【详解】
已知抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，
若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 与抛物线24x y =只有一个公共点，不合乎题意. 所以，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为1y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 由240x y =≥以及直线AB 的斜率存在可知10y >，20y >，
联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩可得2440x kx --=，216160k ∆=+>，
由韦达定理可得124x x k +=，124x x =-，
所以，
()()()()()()
12211212121212122222222211112222x kx x kx x x x x k k y y kx kx kx kx ++++++++++=+=+=++++++ ()()()()12122221212222884228
224484
kx x k x x k k k k x x k x x k k ++++-+++=
==+++-++.
故选：A. 9．B 【解析】 【分析】
设2
()9k
f x x x x
=-+
（0x >），求出()'f x ，由于()'f x 在0x >时是增函数， 因此()'f x 零点0(3,5)x ∈，即()f x 的极小值点必须在4x =附近，再结合43a a ≤且45a a ≤可得k 的范围． 【详解】
设2
()9k f x x x x =-+
（0x >），2()29k f x x x
'=--，0x >时，()'f x 是一个增函数， 由于4a 是{}n a 中的最小项，所以()'f x 零点0(3,5)x ∈， 因此690109925
k k
--
<<--，2725k -<<， 又4543a a a a ≤⎧⎨≤⎩，即1636254545
16366943k k k k ⎧
-+≤-+⎪⎪⎨⎪-+≤-+
⎪⎩
，解得240k -≤≤，
综上，240k -≤≤， 故选：B ． 10．C
【解析】 【分析】
取AC 中点D ，11A C 中点F ，DF 中点即为外接球球心，求出球半径得体积判断①，在矩形11AA BB 中以1AA 为直径以的圆与1B 相切，根据点与圆的位置关系判断①，
1AEC 中，1
AC 固定不变，，把矩形11BB C C 与矩形11ABB A 摊平，1,,A E C 共线时，周长最小，由此判断①． 【详解】
取AC 中点D ，11A C 中点F ，连接DF ，矩形11ACC A 中可得1//DF AA ，1DF AA =， 1AA ⊥平面ABC ，所以DF ⊥平面ABC ，
90ABC ∠=︒，所以D 是ABC 外心，同理F 是111A B C △的外心，
所以DF 的中点O 是直三棱柱外接球的球心，
由已知AC =2CD =
1211A O A D ==，所以OC =
所以外接球的体积为343V π=⨯=，①正确；
矩形11AA B B 中，11,2AB AA ==，1AA 为直径的圆与1BB 相切，切点为1BB 的中点，当E 为切点时，190AEA ∠=︒．当E 是1BB 上其他点时，190AEA ∠<︒，①错误；
1AEC 中，1
AC =11BB C C 与矩形11ABB A 摊平，得正方形
11''AAC C ，
当1,,A E C '共线时，1AE EC +最短，最短为
所以截面1AEC 周长的最小值为①正确．
故选：C ． 11．C 【解析】 【分析】
由离心率及AB 的长先求出双曲线方程，把2PF 转化为1PF ，然后求出1F M 可得结论． 【详解】
把x c =代入b
y x a =±
得bc y a =±，所以2bc AB a ==32
c a =，222+=a b c ，所以
b =3,2
c a ==
1(3,0)F -，1224PF PF a -==，214PF PF =-，
所以21144PM P PM P F MF F +=+-≥-，当且仅当1,,M P F 三点共线时等号成立，
1MF =
所以2PM PF +的最小值为4． 故选：C ．
12．D 【解析】 【分析】
求出每个选项中函数()f x '，判断每个选项中方程()()1f x f x '+=是否有解，由此可得合适的选项. 【详解】
对于A 选项，()23f x x x =-，则()23f x x '=-，由()()2
31f x f x x x '+=--=，
即240x x --=，1160∆=+>，因此，()2
3f x x x =-存在“自足点”，A 满足条件；
对于B 选项，()1f x x x =+
，则()211f x x '=-，由()()211
11f x f x x x x
'+=+-+=， 可得310x x +-=，其中0x ≠，令()3
1g x x x =+-，则13028g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭
，()110g =>，
所以，函数()g x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭上存在零点，即函数()1f x x x
=+存在“自足点”，B 选项满足条
件；
对于C 选项，()ln f x x =，则()1
f x x
'=
，其中0x >， 因为()()111f f '+=，故函数()ln f x x =存在“自足点”，C 选项满足条件；
对于D 选项，()e sin 3x
f x x =-+，则()e cos x f x x '=-，
由()()2e sin cos 31x
f x f x x x '+=--+=，可得2e sin cos 20x x x --+=，
因为sin 1x ≤，cos 1≤x ，
所以，()()2e sin cos 22e 1sin 1cos 2e 0x x x
x x x x --+=+-+-≥>，
所以，方程2e sin cos 20x x x --+=无实解，D 选项不满足条件. 故选：D.
13 【解析】 【分析】
先求出7a b +=，再结合向量夹角公式求cos θ即可. 【详解】
因为2
2
2
22222(3)37a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=，所以7a b +=，
故()2
43cos 72a b a a a b
a b a a b a
θ+⋅+⋅-=
==
=⨯+⋅+⋅
14．5 【解析】 【分析】
令1x =得各项系数和，再由二项式系数性质得二项式系数和，列方程可得结论． 【详解】
由题意42992n n -=，231232()(0)n n +-=， 所以232n =，5n =． 故答案为：5． 15．243- 【解析】 【分析】
先通过22n n a a +-=判断出奇数项和偶数项分别成等差数列，写出对应的通项公式，分n 为偶数和n 为奇数分别求出n S ，再计算出最小值，比较即可. 【详解】
因为22n n a a +-=，所以135,,,a a a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列，246,,,
a a a 是以
2a 为首项，2为公差的等差数列.
当n 为奇数时，1232242n n a n -=-+⨯
=-，当n 为偶数时，2
192212
n n a n -=-+⨯=-， 所以24,21,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数
为偶数，
当n 为偶数时，
()()()()()()12341214423442144n n n S a a a a a a n -=++++
+=⨯-+⨯-+
+⨯--⎡⎤⎣⎦
[]221
213(1)4422(22)242222
n n n n n =++
+--⨯=-=--，故当22n =时，n S 的最小值为
242-；
当n 为奇数时，()2
22113148722(1)2422(22)2
2222
n n n
n n S S a n n n n --=+=
--+-=--=--
，
故当21n =或23n =时，n S 取最小值1487
24322-
=-. 综上，n S 的最小值为243-. 故答案为：243-.
16．
1 【解析】 【分析】
若异面直线BC 与AD 所成角为
3
π
，分别取,,,AB AC CD DB 的中点,,,E F G H ，得异面直线BC 与AD 所成角是HEF ∠或其补角，然后分类讨论在BDF 中求得BD ；若二面角
D AC B --的大小为
3
π
，作DE AC ⊥，垂足为E ，作BF AC ⊥，垂足为F ，则二面角D AC B --的大小等于向量,ED FB 的夹角,ED FB <>，然后由空间向量法求BD ．
【详解】
若异面直线BC 与AD 所成角为
3
π， 分别取,,,AB AC CD DB 的中点,,,E F G H ，如图1，则////EF HG BC ，////EH GF AD ，
且11
22
EF HG GF HE BC ====
=，即EFGH 是菱形， 所以异面直线BC 与AD 所成角是HEF ∠或其补角， 若3
HEF π
∠=
，则HEF 是等边三角形，1
2
HF HE ==
，
又2
ABC ADC π
∠∠==，2AC ==，所以1DF BF ==，
所以HF BD ⊥，
所以2BD BH ===
若23HEF π∠=
，则12sin 23HF π=⨯⨯=21BD BH ==，
所以BD 1；
图1 若二面角D AC B --的大小为
3
π
， 如图2，作DE AC ⊥，垂足为E ，作BF AC ⊥，垂足为F ，则二面角D AC B --的大小等于向量,ED FB 的夹角,ED FB <>，
由题意,3
ED FB π
<>=，又直角三角形ADC 中，1,==AD DC 2AC =，
所以DE =BF =12AE CF ==，1EF =，
33
cos 238
ED FB π⋅=
=，而0ED EF FB EF ⋅=⋅=， BD BF FE ED FB FE ED =++=-++，
所以2
2
2
2
2
()2BD FB FE ED FB FE ED FB FE =-++=++-⋅22FB ED FE ED -⋅+⋅
3337124484=
++-⨯=，所以72BD =BD =
图2
1 17．(1)
23
π
(2)选①，74；选①
【解析】 【分析】
（1）由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换求得A 角；
（2）选①，由余弦定理求得BC ，由面积公式求得三角形面积，再结合内切圆半径表示三角形面积求得内切圆半径，即可求OBC 面积；选①，由余弦定理求得BC ，由正弦定理求得三角形外接圆半径，由圆周角定理和圆心角定理求得BOC ∠，直接由面积公式计算出面积． (1)
因为)
()cos cos a
B C c b A -=-，
由正弦定理得sin cos )(sin sin )cos A B C C B A -=-，
sin sin cos sin cos sin cos A B B A C A A C +=+，
1
2sin cos )sin()sin 2
B A A A
C B +=+=， 三角形中，sin 0B ≠，所以1
sin()62A π+=，
0A π<<，则
76
6
6
A πππ<+
<
，所以566A ππ+=，23A π=；
(2)
选①O 为ABC 的内心，如图，,,D E F 分别是内切圆在各边上的切点，
7BC =，
112sin 35sin 223ABC
S
bc A π==⨯⨯⨯=
， 设内切圆半径为r
，则115()22ABC
S a b c r r =
++==12r =， 所以111773224
OBC
S
BC r =⋅=⨯⨯=；
选①O 为ABC 的外心，O 在ABC 外部，如图，D 外接圆O 上， 由（1）3
ADB CAB π
π∠=-∠=
，所以223
COB CDB π
∠=∠=
，
又7BC =， 7
22sin sin 3
BC OC A π=
=
，OC =
22112sin sin 223OBC
S
OC COB π=∠=⨯=
18．(1)证明见解析
【解析】 【分析】
（1）取PD 的中点F ，连接AF 、EF ，证明出四边形ABEF 为平行四边形，可得出//BE 平面PAD ，即可证得结论成立；
（2）取AD 的中点O ，连接PO ，证明出PO ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OA 、AB 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法
可求得平面ABE 和平面BCE 所成锐二面角的余弦值. (1)
证明：取PD 的中点F ，连接AF 、EF ，
因为E 、F 分别为PC 、PD 的中点，则//EF CD 且12
EF CD =， 由已知//AB CD 且1
2
AB CD =，//EF AB ∴且EF AB =，
所以，四边形ABEF 为平行四边形，故//BE AF ，
BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，所以，//BE 平面PAD ，
AB AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，
AB 平面ABCD ，AB ∴⊥平面APD ，
因为Q BE ∈，所以点Q 到平面PAD 的距离等于2AB =，
2PA AD PD ===，则PAD △为等边三角形，则2PAD S AD =
=△
因此，13Q PAD PAD V AB S -=⋅=
△ (2)
解：取AD 的中点O ，连接PO ，
因为PAD △为等边三角形，O 为AD 的中点，则PO AD ⊥，
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，
PO ∴⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA 、AB 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如上图所示的空间直角坐标系，
则()1,0,0A 、()1,2,0B 、()1,4,0C -
、(P
，12E ⎛- ⎝⎭
，
设平面ABE 的法向量为()111,,m x y z =，()0,2,0AB =
，32BE ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
则11120
302m AB y m BE x z
⎧⋅==⎪⎨⋅=-+
=⎪⎩
，取11x =，可得(m =， 设平面BCE 的法向量为()2
22,,n x y z =，()2,2,0BC =-，
则2222220
302n BC x y n BE x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩
，取21x =
，可得(1,1,3n =， 4cos ,
25
m n m n m n
⋅<>=
=
=
⋅ 因此，平面ABE 和平面BCE . 19．（1）
4766；（2）①034p =；①分布列答案见解析，数学期望：
1323
512
. 【解析】 【分析】
（1）利用互斥事件的概率公式即得；
（2）由题可求()()23
31f p C p p =-，然后利用导数可求最值，再利用条件可求随机变量的
分布列，即得. 【详解】
（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是1111113445352
1247
66C C C C C C p C ++==； （2）①由题可知()()()233
3131f p C p p p p =-=-，
()()()()232
3311334f p p p p p p '⎡⎤=-+⨯-=-⎣⎦，
令()0f p '=，得3
4
p =
，
当30,4p ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0f p '>，()f p 在30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；
当3,14p ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0f p '<，()f p 在3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.
所以()f p 的最大值点03
4
p =
， ①X 的可能取值为0，1，2，3.
()()()
33
31
33
13
3331301111444256P X p C p p C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
==-+--+-=
⎭⨯⨯⎝； ()()3
3
2
2
224
4
33()4271115142P X C p p C ⎛⎫
==-=-=
⨯⎪⨯⎝⎭
； ()()
2
2
22
224
4
333()81
21142
4415P X C p p p C ⎛⎫==-=-⨯=
⎪⎝⨯⎭；()()322322333333()()418449
36
41125P X p pC p p C ⎛⎫=⨯ ⎪⎝==+-+⨯⎭-=.
所以X 的分布列为
X 的期望为()1327811891323
0123256512512256512
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 20．(1)22
143
x y +=；
(2)(0,； (3)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）设出(,)P x y ，由2PQ PF =化简可得曲线C 的方程；
（2）由PQ KF ∥知QPK PKF ∠=∠，结合正弦定理求得2,4PF PQ ==，由曲线C 的方程求P 坐标即可；
（3）由AH MN ⊥，2||||||AH MH NH =⋅得到AM AN ⊥，联立l '和曲线C 的方程，借助韦
达定理及0AM AN ⋅=求出,k m 的关系，即可证明过定点.
(1)
设(,)P x y ，由2PQ PF =，得
4x +=22
143x y +=，所以曲线C 的方程为22
143
x y +=； (2) 由PQ KF ∥知sin sin 2sin sin 3
PF QPK PKF FPK FPK KF ∠∠===∠∠，因为3KF =，所以2,4PF PQ ==，所以点P 的横坐标为0，又点P 在22
143
x y +=上，
故点P 的坐标为(0,；
(3)
由2214
3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2223484120k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则1122(2,),(2,)AM x y AN x y =+=+，2121222
8412,3434km m x x x x k k --+==++， 由0∆>得2243k m +>，由AH MN ⊥及2||||||AH MH NH =⋅，可得AM AN ⊥，则1122(2,)(2,)0x y x y +⋅+=，
即()()1212122()40x x x x kx m kx m ++++++=，
22
2224128(1)(2)403434m km k km m k k
--+++++=++， 化简得2241670k km m -+=，所以12k m =或72k m =均满足2243k m +>
，当12k m =时，直
线过点A ，舍去；当72k m =时，直线27y kx k =+过定点2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 故直线l '恒过定点2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 21．(1)e a =；
(2)证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由(0)1f =得(0)f 是最大值，也是极大值，从而有(0)0f '=，由此求得a 值，并验证0x =是最大值点即得；
（2）由（1）得函数的单调性，因此题中12,x x 可不妨设10x <，而201x <<，求出函数()(0)f x x ≤的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式()g x ，并证明0x >时，
()()0g x f x ->，从而利用对称性、不等关系，及单调性得出证明．
(1)
由题意()x x f x a xa =-，(0)1f =，所以0x =是最大值点也是极大值点，
()ln ln x x x f x a a a xa a '=--，则(0)ln 10f a '=-=得e a =，
e a =时，()e x
f x x '=-，
0x <时，()0f x '>，()f x 递增，0x >时，()0f x '<，()f x 递减，
所以(0)f 是极大值也是最大值，满足题意．
所以e a =；
(2)
由（1）()(1)e x f x x =-，()f x 在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递减，
0x <时，()0f x >，而(1)0f =，
若1212,,x x x x ∃∈≠R 使得()()12f x f x =，不妨设10x <，201x <<，
0x ≤时，()(1)e x f x x =-，它的图象关于y 轴对称的曲线的函数式为()y g x =（0x ≥）， 设(,)x y 是()g x 上点，则(,)x y -是()(1)e x f x x =-上的点，(1)e x y x -=+，即()(1)e x g x x -=+， 令()()()(1)e (1)e x x h x g x f x x x -=-=+--(0)x ≥，
所以()e e (e e )x x x x h x x x x --'=-+=-，0x >时，()0h x '>，所以()h x 递增，
所以()(0)0h x h >=，所以()()g x f x >，
所以211()()()f x f x g x ==-1()f x >-，
又210,0x x >->，所以21x x <-，即120x x +<．
22．(1)1C 的参数方程为21()8x t t y t
⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数；l 的普通方程为60x y -+= (2)PQ
的最小值为(2,4)P
【解析】
【分析】
（1）先求出曲线1C 的直角坐标方程，再写出参数方程即可；由倾斜角和点直接写出直线l 的普通方程即可；
（2）利用1C 的参数方程设出21(,)8
P t t ，结合点到直线的距离表示出PQ ，通过二次函数求出最小值即可.
(1)
由2sin 8cos ρθθ=可得22sin 8cos ρθρθ=，即28y x =，故曲线1C 的直角坐标方程为28y x =，又以1C 上的点的纵坐标为参数t ，
故1C 的参数方程为21()8x t t y t
⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数；直线l 的方程为(6)y x =--，即60x y -+=. (2) 设21(,)8P t t ，则P 到直线l
的距离
d ==
4t =时，min d
=PQ 的最小值为(2,4)P .
23．(1)[]1,3-；
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先分类讨论求出函数()f x 的解析式，作出图像得到()f x 的最小值，将不等式()22f x t t ≥-恒成立，转化为232t t ≥-，解不等式即可；
（2）由（1）得03t =，利用11111()3a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
，结合基本不等式即可求证. (1)
当0x ≤时，得()2(3)33f x x x x =---=-+；当03x <<时，得()2(3)3f x x x x =--=+；当3x ≥时，得()2(3)33f x x x x =+-=-.
所以33,0()3,0333,3x x f x x x x x -+≤⎧⎪=+<<⎨⎪-≥⎩
，作出函数()f x 的图像，如图所示：
显然min ()(0)3f x f ==，故不等式()22f x t t ≥-恒成立可得232t t ≥-，即2230t t --≤，解
得13t -≤≤，所以t 的取值范围为[]1,3-.
(2)
根据（1）可得03t =，即3a b +=
，所以
11111114()223333b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当3a b b a a b
+=⎧⎪⎨=⎪⎩， 即32a b ==时取等号，所以11a b
+的最小值为43，即1143a b +≥.。