2020届重庆市八中高三下学期第4次月考数学(文)试题解析

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2020届重庆市八中高三下学期第4次月考数学（文）试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．设全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2B =，则()
U A B =U ð（） A ．{}0,1,2,3 B ．{}0,1,2
C ．{}1,0,1,2-
D ．{}1,0,1,2,3-
答案：A
由补集和并集的定义直接求解即可. 解：
Q {}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-，
∴{}2,3U A =ð， ∴()U A B =U ð{}0,1
,2,3. 故选：A . 点评：
本题考查补集和并集的定义，属于基础题.
2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()112z i i +=+，则z 在复平面对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案：D
由()112z i i +=+易得1z i =-，由此可得出在复平面内对应的点的坐标，从而得解. 解：
Q ()112z i i +=+，
∴1211i
z i i
+=
-=-， 在复平面对应的点为(1,1)-，位于第四象限. 故选：D . 点评：
本题主要考查复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题. 3．已知θ是第三象限角，且()1
cos 3
πθ+=
，则tan θ=（）
A
．
4
B ．2
C
．D
答案：C
先由诱导公式得出1cos 3
θ=-，再由同角三角函数关系式得出sin θ和tan θ的值即可. 解：
()1
cos cos 3πθθ+=-=
，所以1cos 3
θ=-，又θ是第三象限角，
所以sin 3θ===-，
所以sin 3tan 1cos 3
θθθ==
=-故选：C. 点评：
本题考查诱导公式及同角三角函数关系，考查计算能力，属于基础题.
4．设非零向量m u r ，n r 满足m n m n ==+u r r u r r ，则m u r 与n r
的夹角等于（）
A ．30︒
B ．60︒
C ．90︒
D ．120︒
答案：D
对式子m n m n ==+u r r u r r 进行平方后，可得出2
12
m n n ⋅=-u r r r ，再由夹角公式求
cos ,m n <>u r r
的值，最后求出夹角即可.
解：
Q m n m n ==+u r r u r r ，
∴22222
222()22m n m n m n m m n n m m n n ==+=+=+⋅+=+⋅+u r r u r r u r r u r u r r r u r u r r r ，
∴2
12
m n n ⋅=-u r r r ，
∴2
2
112cos ,2n m n m n m n n
-⋅<>===-r
u r r u r r u r r r ， ∴m →与n →
的夹角等于120︒.
故选：D . 点评：
本题考查由平面数量积的知识求向量夹角，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 5．若a b >，0c <，则（） A ．ac bc > B ．
c c
a b
> C ．ab bc > D ．22ac bc >
答案：D
利用不等式的基本性质即可判断出正确答案. 解：
对于A ：由a b >，0c <，可得ac bc <，故错误； 对于B ：由a b >，0c <，当0b =时，
c c
a b
>不成立，故错误； 对于C ：由a b >，0c <，当0b =时，ab bc >不成立，故错误； 对于D ：由a b >，0c <，可得20c >，进而可得22ac bc >，故正确. 故选：D. 点评：
本题考查不等式的基本性质，属于常考题.
6．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）
A ．若//m α，//n α，则//m n
B ．若//m α，//m β，则//αβ
C ．若//m α，m β⊥，则αβ⊥
D ．若m α⊥，αβ⊥，则//m β
答案：C
对四个命题分别进行判断，即可得出结论. 解：
A .若//m α，//n α，则m 与n 可能平行、相交或异面，故错误；
B .若//m α，//m β，则α与β可能平行或相交，故错误；
C .若//m α，m β⊥，则αβ⊥，正确；
D.若m α⊥，αβ⊥，则m 可能与β平行，或在β内，故错误. 故选：C . 点评：
本题考查的是空间平面、直线之间的位置关系，熟练掌握相关定理是解题的关键，属于常考题.
7．若双曲线2
2
21y x b
-=（0b >）的离心率)
e ∈
，则以下方程可以作为该双曲
线渐近线方程的是（）
A ．y x =±
B ．y =
C ．y =
D ．2y x =±
答案：B
先根据题意求出b 的取值范围，然后从选项中选出正确答案即可. 解：
双曲线的离心率为e =)
e ∈
2<<，解得：
1b <<
双曲线的渐近线方程为y bx ±=，四个选项中只有B :y =符合题意. 故选：B . 点评：
本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的离心率求渐近线方程，掌握双曲线的性质是解题的关键，属于常考题. 8．已知函数()1lg
1x
f x x
-=+，则()f x （） A ．是奇函数，且在定义域内是增函数 B ．是奇函数，且在定义域内是减函数 C ．是偶函数，且在定义域内是增函数 D ．是偶函数，且在定义域内是减函数
答案：B 解：
101x
x
->+得，11x -<<； 即该函数定义域为(1,1)-；
1
111()1g lg lg ()111x x x f x f x x x x -+--⎛⎫
-===-=- ⎪
-++⎝⎭
， ∴该函数为奇函数；
1(1)22()lg
lg lg 1111x x f x x x x --++⎡⎤⎛
⎫===-+ ⎪⎢⎥+++⎣⎦⎝⎭
； 2
11t x
=-+
+在(1,1)-上单调递减，lg y t =为增函数；
∴根据复合函数的单调性得：原函数在(1,1)-上为减函数． 故选：B ． 点评：
本题考查函数奇偶性的判断，考查函数单调性的判断与证明，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
9
．直线0x a -+=与圆222x y +=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若
OA OB ⊥，则a =（）
A ．±1 B
． C
．D ．2±
答案：D
求出圆的圆心和半径r ，以及圆心到直线的距离d
，运用弦长公式AB =利用勾股定理计算即可. 解：
圆2
2
2x y +=的圆心是(0,0)O
，半径r =
圆心(0,0)O
到直线0x a -+=
的距离2
a d =
=
，
弦长AB ==
因为OA OB ⊥，
故在Rt OAB ∆中，有222
AB OA OB =+
，即：
2
2
2
⎛=+ ⎝
，
解得：2a =±. 故选：D . 点评：
本题考查直线和圆位置关系的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且其图象关于直线2x =对称，当[]
0,2x ∈时，
()21x f x =-，则()19f =（）
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
答案：C
由于()f x 是定义在R 上的奇函数，且其图象关于直线2x =对称，故
()(4)(4)f x f x f x =-=--，进而得出函数()f x 的周期为8，
()19(3)(1)f f f ==，然后代入解析式进行计算即可.
解：
因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且其图象关于直线2x =对称， 所以：()(4)(4)f x f x f x =-=--，
∴(8)(4)(())()f x f x f x f x +=-+=--=，
所以函数()f x 的周期为8，
∴()119(328)(3)(1)211f f f f =+⨯===-=.
故选：C. 点评：
本题考查函数性质的综合应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
11．某平台为一次活动设计了“a ”､“b ”､“c ”三种不同的卡片，活动规定：每人可以依次点击3次，每次都会获得三种卡片的一种，若集齐三张相同的卡片，则为一等奖；连续集齐两张相同的卡片，如：“aab ”，则为二等奖；其余均视为不中奖．假设活动中每张卡片每次被点中的可能性是相同的，若小赵按规定依次点击了3次，则他获奖的概率是（） A ．
5
27
B ．
13
C ．
59
D ．
79
答案：C
先求出基本事件总数，再求出获奖的事件数，然后计算概率即可. 解：
基本事件总数为3327=种，获奖的事件有：
aaa ；bbb ；ccc ；aab ；baa ；aac ；caa ；bba ；abb ；bbc ；c bb ；cca ；acc ；ccb ；bcc 共15种，
所以小赵获奖的概率为155279
=. 故选：C . 点评：
本题考查古典概型的概率计算问题，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
12．过抛物线C ：24y x =的焦点F 作直线l 交C 于点M ，交C 的准线于点N ，若F 为线段MN 的中点，则C 的准线与x 轴的交点P 到直线l 的距离为（） A ．3
B ．22
C ．23
D ．4
答案：A
设点11(,)M x y （10y <），点0(1,)N y -，因为F 为线段MN 的中点，先求出M 的坐标，然后再求出直线l 的方程，最后利用点到直线的距离公式求出距离即可. 解：
由题可知，焦点(1,0)F ，准线方程为：1x =-，(1,0)P -， 设点11(,)M x y （10y <），点0(1,)N y -， 如下图：
因为F 为线段MN 的中点，所以有1
112
x -+=
，解之得：13x =， 又因为点11(,)M x y 在抛物线上，所以有：2
11443y x ==⨯，解之得：123y =-
故(3,23)M -，
所以直线l 1
31
230x -=---330x y +，
所以点P 到直线l ()
()
2
2
3(1)03
331⨯-+-=+-故选：A . 点评：
本题考查抛物线的应用，考查点到直线距离的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 二、填空题
13．函数()2
2
sin cos 1f x x x =-+的最小正周期为______．
答案：1
利用二倍角公式将函数化为()cos21f x x =-+，进而求出函数的最小正周期即可. 解：
因为()2
2
sin cos 1cos21f x x x x =-+=-+，所以函数的最小正周期为
22
π
π=. 故答案为：π. 点评：
本题考查余弦的二倍角公式，考查三角函数的最小正周期，属于基础题.
14．曲线ln y ax x =+在点1x =处的切线方程为30x y b -+=，则b =______． 答案：1- 易知1
13x k y a ===+='，先求出a 的值，再求出切点坐标，代入切线方程即可得到b
的值. 解：
因为ln y ax x =+，所以1y a x
'=+， 切线的斜率1
1
131
x k y a a ===+=+='
，解之得：2a =，2ln y x x =+，
所以切点坐标为(1,2)，由于切点在切线上，故：3120b ⨯-+=，解之得：1b =-. 故答案为：1-. 点评：
本题考查导数的几何意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
15．正四棱锥的各条棱长均为2，其所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______． 答案：8π
先确定球心位置，再求球的半径，然后可求出球的表面积． 解：
正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2， 点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，
则该球的球心恰好是底面ABCD ，
球的表面积为：248ππ⨯=． 故答案为：8π． 点评：
本题考查球内接多面体球的表面积，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题. 16．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，ABC ∆外接圆的面积为4π，且()()()cos cos cos cos sin sin sin 0B A B A C C A +-++=，则
ABC ∆的面积为______．
由()()()cos cos cos cos sin sin sin 0B A B A C C A +-++=，可得：
222a c b ac +-=-，
进而可得出角B 的大小；由ABC ∆外接圆的面积为4π可得出其外接圆的半径，再根据正弦定理可得出角A 和C 的大小以及边b 的值，最后利用三角形面积公式计算即可. 解：
由()()()cos cos cos cos sin sin sin 0B A B A C C A +-++=，可得：
222cos cos sin sin sin 0B A C A C -++=，
即：2
2
2
1sin (1sin )sin sin sin 0B A C A C ---++=， 化简得：222sin sin sin sin sin 0B A C A C -+++=， 角化边得：2220b a c ac -+++=，即：222a c b ac +-=-， 所以1cos 22
ac B ac -=
=-，所以23B π
=，
设ABC ∆的外接圆半径为R ，因为ABC ∆外接圆的面积为4π，2a =， 所以有：24=R ππ，解之得：2R =，
∴
24sin sin sin a b c R A B C ====，又2a =，所以1
sin 2
A =， ∴6
A π
=
，6
C π
=
，
∴24sin 4sin 43b B π==⨯==
111
sin 2222
ABC S ab C ∆=
=创
故答案为：3. 点评：
本题考查利用正余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 三、解答题
17．如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90DAB ︒∠=，E 为AD 中点，
1PC PD AB BC ====，2AD =．
（1）证明：PE CD ⊥；
（2）当1PE =时，求四棱锥P ABCD -的体积． 答案：（1）详见解析；（2）
2
. （1）取CD 的中点为F ，分别连接EF ，PF ，CE ，先证CD PF ⊥，再证CD EF ⊥，即可证明CD ⊥平面PEF ，又PE ⊂平面PEF ，所以PE CD ⊥；
（2）先证222PE EF PF =+，再证PF ⊥平面ABCD ，即PF 为四棱锥P ABCD -的高，最后计算体积即可. 解： 如下图：
取CD 的中点为F ，分别连接EF ，PF ，CE ， 所以1AE ED ==，
因为PC PD =，所以CD PF ⊥，
又因为//AD BC ，90DAB ︒∠=，1AB BC ==， 所以四边形ABCD 为正方形， 所以1EC ED ==，所以CD EF ⊥， 又PF EF F =I ，PF ，EF ⊂平面PEF ， 所以CD ⊥平面PEF ， 又PE ⊂平面PEF ， 所以PE CD ⊥；
（2）易知CED ∆
为直角三角形，EF
，易知CD =，
在Rt PCF ∆中，1PC =
，2CF =
，所以PF == 又1PE =，
所以222PE EF PF =+， 所以PF EF ⊥，又CD PF ⊥，
又EF CD F ⋂=，EF ，CD ⊂平面ABCD ，
PF ⊥平面ABCD ，即PF 为四棱锥P ABCD -的高，
11(21)133224
P ABCD ABCD V S PF -+⋅=⨯⨯=⨯⨯=
. 点评：
本题考查线线垂直的证明，考查体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.
18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若115
2
a ≠，430S =，且14a ，23a ，32a 成等差数列．
（1）求{}n a 的通项公式：
（2）已知2log n n b a =，111(1)n
n n
n c b b +⎛⎫
=-+
⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前2020项和2020T ． 答案：（1）2n
n a =；（2）2020
2021
-
. （1）设数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，因为14a ，23a ，32a 成等差数列，所以有：
213642a a a =+，即：2320-+=q q ，解得：2q =或1q =，又因为430S =，
115
2
a ≠，所以2q =，所以有
()41123012
a -=-，解得：12a =，即可求得通项公式；
（2）易知n b n =，(1)111n
n n n c ⎛⎫++-
⎝=⎪⎭
， 20201111
11112232019202020202021T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++--+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ，计算即可得解.
解：
（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，因为14a ，23a ，32a 成等差数列，
所以有：213642a a a =+，即：2
111642a q a a q =+，
化简后得：2
320-+=q q ，解得：2q =或1q =，
又因为430S =，115
2
a ≠，所以{}n a 不是常数列，故2q =， 所以有
()41123012
a -=-，解得：12a =，
所以1222n n
n a -=⋅=；
（2）Q 22log log 2n
n n b a n ===，
∴111(1)(1)111n n n n
n c n b b n +⎛⎫+ ⎪⎛⎫=-+=-+⎝⎝
⎪⎭⎭， ∴20201111
11112232019202020202021T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++--+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L
1111111
12232019202020202021=--++---++L
1
12021=-+
20202021
=-.
点评：
本题考查等差数列和等比数列性质的综合运用，考查数列求和，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
19．党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位考察了甲､乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式加工的产品质量进行测试并打分对比，得到如下数据：
其中产品质量按测试指标可划分为：指标在区间[]
90,100上的为特优品，指标在区间[)
80,90上的为一等品，指标在区间[)
70,80上的为二等品．
（1）用事件A表示“按照生产方式甲生产的产品为特优品”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断能否有90%的把握认为“特优品”与生产方式有关？
（3）根据打分结果对甲､乙两种生产方式进行优劣比较．
附表：
参考公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++．
答案：（1）1
4
；（2）填表见解析，有关；（3）生产方式乙优于生产方式甲.
（1）按照生产方式甲生产的产品为特优品个数为50，参与打分产品个数为200，按照古典概型计算即可得解；
（2）先填表，然后按照公式计算，然后做出判断即可；
（3）见解析.
解：
（1）按照生产方式甲生产的产品为特优品个数为50，参与打分产品个数为200，所以：501
()
2004
P A==；
（2）填表如下：
()
()()()()
2
2
2005012015080 5.128 2.70650150801205080150120K ⨯-⨯=≈>++++，所以有90%的把
握认为“特优品”与生产方式有关；
（3）生产方式甲生产的产品合格品的概率为1
4
，生产方式乙生产的产品合格品的概率为
2
5
，生产方式乙生产的产品的质量指标值在[]90,95[]95,100和之间的较多，因此，可以认为生产方式乙生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而生产方式乙优于生产方式甲. 点评：
本题主要考查频率分布表和古典概型，考查独立性检验，考查分析和解决实际问题的能力，考查计算能力，属于常考题.
20．已知椭圆E ：22
221x y a b
+=（0a b >>）．下面表格所确定的点(),x y 中，恰有三
个点在椭圆E 上．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）已知O 为坐标原点，点A ，B 分别为E 的上､下顶点，直线l 经过E 的右顶点D ，且与E 的另一个公共点为C ，直线AC ，BD 相交于点N ，若l 与y 轴的交点M 异于
A ，
B ，证明OM ON ⋅u u u u r u u u r
为定值．
答案：（1）2
214
x y +=；
（2）详见解析. （1）点2和点(2
-关于原点对称，此两点必在椭圆上，故有22
1
221a b +=，将剩余两个点的坐标代入椭圆方程22
221x y a b +=可得关于a 与b 的方程，
与上式联立通过判断解的情况即可判断出那个点在椭圆上，进而求出方程；
（2）设直线l 的方程为：(2)y k x =-，由题易得(0,2)OM k =-u u u u r
，联立直线l 与椭圆E 的方程得：2222(14)161640k x k x k +-+-=，由韦达定理得到12x x +和12x x 的表达式， 设点11(,)C x y ，直线AC 的方程为：111
1y y x x -=
+，直线BD 的方程为：112
y x =-， 联立直线AC 的方程和直线BD 的方程得到点N 的坐标，进而求出向量10,2ON k ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
u u u r ，
而()1212OM ON k k ⎛⎫
⋅=-⋅-= ⎪
⎝⎭
u u u u r u u u r ，即可证明OM ON ⋅u u u u r u u u r 为定值． 解： （1
）点
和点(关于原点对称，此两点必在椭圆上， 故有22
1
221a b +
=①， 将点(2,0)-代入22
221x y a b
+=中得，22
(2)1a -=，解得：2a =， 再将2a =代入①中得：22
1
2212b +
=，解得：1b =； 再将点1(1,)2代入22
221x y a b +=中得，2
2
221121a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=②，联立①②得：2222
22122
11121a b a b ⎧
⎪+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝
⎭+=⎪⎩
，显然无解；
综上，2a =，1b =，所以椭圆E 的方程为：2
214
x y +=；
（2）由题意作图如下：
设直线l 的方程为：(2)y k x =-，由条件知：0k ≠，
点(2,0)D ，点(0,1)A ，点(0,1)B -， 则点(0,2)M k -，向量(0,2)OM k =-u u u u r
，
设点11(,)C x y ，
联立直线l 与椭圆E 的方程，消去y 得：2222(14)161640k x k x k +-+-=， 所以221122
16482
21414k k x x k k --=\=++，
直线AC 的方程为：11
1
1y y x x -=
+③， 直线BD 的方程为：1
12
y x =
-④， 设点(,)N N N x y ，由③④，得：111
11114222222N N x x x y x y y x y ⎧
=⎪-+⎪⎨+-⎪=⎪-+⎩
，
又点11(,)C x y 在直线l 上，所以：
1111111111222(2)2(12)42
222(2)2(12)42
N x y x k x k x k y x y x k x k x k +-+--+--=
==-+--+-++
22
2
2
82
(12)421482
(12)4214k k k k k k k k -+⋅--+=--⋅+++ 12k
=-，
则向量10,2ON k ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭u u u r ，
所以()1212OM ON k k ⎛⎫
⋅=-⋅-= ⎪⎝⎭
u u u u r u u u r ，
故OM ON ⋅u u u u r u u u r
为定值1.
点评：
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线关系的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 21．已知函数()()1
ln x f x e
a x a e -=-+-．（e 为自然对数的底数）
（1）设()'f x 为()f x 的导函数，求证：当a e =时，()0f x ≥； （2）若0a >，且1x =是()f x 的极小值点，求实数a 的取值范围． 答案：（1）详见解析；（2）1a =.
（1）当a e =时，()1
ln x f x e
e x -=-，即证1ln 0x e e x --≥，即2ln x e x -≥，
先证：21x e x -≥-，再证：1ln x x -≥即可得证； （2）1
()x a f x e
x -'=-，12()0x a
f x e x -''=+>，易得1a =，此时，11()x f x e x
'-=-，
当01x <<时，()(1)0f x f ''<=，当1x >时，()(1)0f x f ''>=，满足条件：若0a >，且1x =是()f x 的极小值点，进而得解. 解： ，
（1）当a e =时，()1
ln x f x e
e x -=-，即证1ln 0x e e x --≥，即2ln x e x -≥，
先证：21x e x -≥-，令2
()1x g x e
x -=-+，2()1x g x e -'=-，
当2x >时，()0g x '>，当2x <时，()0g x '<，又min ()(2)0g x g ==，所以21x e x -≥-；
再证：1ln x x -≥，令()1ln h x x x =--，11
()1x h x x x
-'=-
=， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，又min ()(1)0h x h ==，所以
1ln x x -≥；
所以21ln x e x x -≥-≥，即2ln x e x -≥，所以()0f x ≥； （2）1
()x a f x e
x
-'=-，12()0x a
f x e x -''=+>，所以()f x '在(0,)+∞上单调递增，
所以()f x 在1x =处取得极小值，且(1)10f a '
=-=，解之得1a =，
当1a =时，1
1()x f x e
x
'-=-
，
当01x <<时，()(1)0f x f ''<=，当1x >时，()(1)0f x f ''>=， 此时()f x 在1x =处取得最小值， 综上1a =. 点评：
本题考查利用导数求函数的最值、单调性，考查逻辑推理、抽象概括和核心素养,属于常考题.
22．如图，在极坐标系Ox 中，()2,A π，()2,0B ，弧»AO ，»BO ，»AB 所在圆的圆心
分别为()1,π，()1,0，32,2
π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
，曲线1M 是弧»AO ，曲线2M 是弧»BO ，曲线3M 是弧»AB ．
（1）写出曲线1M ，2M ，3M 的极坐标方程；
（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若曲线4M 的极坐标方程为263
k π
θπ=
+⋅（0ρ≥，0k =，1，2），写出曲线M 与曲线4M 的所有公共点（除极点外）的极坐标．
答案：（1）1M ：2cos ρθ=-，,2πθπ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦；2M ：2cos ρθ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦
；
3M ：24sin 40ρρθ+-=，[],2θππ∈；（2）3,6π⎫⎪⎭，53,
6π⎫⎪⎭，322,2π⎛
⎫+
⎪⎝
⎭. （1）先求出曲线1M ，2M ，3M 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可； （2）将56πθ=
，6
πθ=，32π
θ=分别代入1M ，2M ，3M 的极坐标方程得到对应的极径，然后写出极坐标即可. 解：
（1）在以O 为原点的平面直角坐标系中，曲线1M ，2M ，3M 的方程为：
1M ：2220x y x ++=（0y ≥）；
2M ：2220x y x +-=（0y ≥）； 3M ：22440x y y ++-=（0y ≤）；
则它们的极坐标方程分别为： 1M ：2cos ρθ=-，,2π
θπ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
； 2M ：2cos ρθ=，0,2π⎡⎤
θ∈⎢⎥⎣⎦
；
3M ：24sin 40ρρθ+-=，[],2θππ∈；
（2）将56πθ=
，6
πθ=，32πθ=分别代入1M ，2M ，3M 的极坐标方程，得：
1ρ=2ρ32ρ=+
则曲线M 与4M 的所有公共点（除极点外）的极坐标分别为：
6π⎫⎪⎭，56π⎫⎪⎭，322π⎛
⎫+
⎪⎝
⎭
. 点评：
本题主要考查曲线极坐标方程的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 23．已知函数()()2f x x m x m x R =--+∈的最大值为3，其中0m >． （1）求m ；
（2）若()()()2
2
2
1
113
x y a z -+-+-≥对所有满足x y z m ++=的实数x ，y ，z 都成立，证明：2a ≤-或0a ≥． 答案：（1）1m =；（2）详见解析.
（1）由绝对值不等式的性质可得：223x m x m x m x m m --+≤---=，进而求得结果；
（2）由重要不等式222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥， 得到(
)()2
222
3a b c
a b c ++≥++，
进而得到()()()()()2
22221111113
3
a x y a z x y a z +-+-+-≥-+-+-=
，
进而得证. 解：
（1）由()223f x x m x m x m x m m =--+≤---=，当且仅当(],x m ∈-∞-，等号成立，
所以函数()f x 的最大值为3m ，由条件，知：33m =，解得：1m =； （2）因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥， 所以222a b c ab bc ca ++≥++， 从而(
)()2
222
3a b c
a b c ++≥++，
又因为1x y z ++=， 所以()()()
()()2
2
2
2
2
11111133
a x y a z x y a z +-+-+-≥-+-+-=， 由条件，
()2
11
3
3
a +≥，解得2a ≤-或0a ≥． 点评：
本题考查绝对值不等式的应用，考查重要不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于常考题.。