高中数学 2.5简单的幂函数课后训练 北师大版必修1

"【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 2.5简单的幂函数
课后训练北师大版必修1 "
1．下列函数是幂函数的是()．
①y＝x3②y＝x0③y＝－2x2④y＝3x⑤y＝x－2＋1
A．①②B．①③
C．①③④D．①②③④
2．若幂函数f(x)＝x m－1在(0，＋∞)上是减函数，则()．
A．m＞1 B．不能确定
C．m＝1 D．m＜1
3．函数f(x)＝1
x
x
-的奇偶性为()．
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
4．如图，表示具有奇偶性的函数图像可能是()．
5．f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)是增函数，则f(－π)，f(3)，f(－5)的大小关系是()．
A．f(3)＜f(－π)＜f(－5) B．f(－π)＜f(－5)＜f(3)
C．f(3)＜f(－5)＜f(－π)D．f(－5)＜f(－π)＜f(3)
6．如果幂函数y＝(m2－9m＋19)x2m－7的图像不过原点，则()．
A．
7
2
m<B．m＝3
C．m＝3或6 D．m不存在
7．有下列函数：①y＝x2－3|x|＋2；②y＝x2，x∈(－2,2]；③y＝x3；④y＝x－1，其中是偶函数的有()．
A．①B．①③
C．①②D．②④
8．下列说法中，不正确的是()．
A．图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B．奇函数的图像一定经过原点
C．偶函数的图像若不经过原点，则它与x轴交点个数一定是偶数
D．图像关于y轴对称的函数一定是偶函数
9．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a＋1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为()．
A ．13-
B ．13
C ．12-
D ．12
10．定义在R 的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]＞0，则n ∈N ＋时，有( )．
A ．f (－n )＜f (n －1)＜f (n ＋1)
B ．f (n －1)＜f (－n )＜f (n ＋1)
C ．f (n ＋1)＜f (－n )＜f (n －1)
D ．f (n ＋1)＜f (n －1)＜f (－n )
能力提升
11．已知f (x )＝221,0,1,0,
x x x x x x ⎧-+>⎨---<⎩则f (x )为( )． A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数也是偶函数
D ．非奇非偶函数
12．已知偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝xf (x )(x ∈R )，则f (1)＝________.
13．定义在R 上的奇函数f (x )在区间[1,4]上是增函数，在区间[2,3]上的最小值为－1，最大值为8，则2f (2)＋f (－3)＋f (0)＝__________.
14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，又知当0＜x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5)的值为________．
15．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，已知当x ≤0时，f (x )＝x 2＋4x ＋3.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)画出函数f (x )的图像，并写出函数f (x )的单调递增区间．
16．已知函数f (x )对一切a ，b 都有f (ab )＝bf (a )＋af (b )．
(1)求f (0)；
(2)求证：f (x )是奇函数；
(3)若F (x )＝af (x )＋bx 5＋cx 3＋2x 2＋dx ＋3，已知F (－5)＝7，求F (5)．
17．函数f (x )＝21ax b x ++是定义在(－1,1)上的奇函数，且1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求函数f (x )的解析式；
(2)证明函数f (x )在(－1,1)上是单调增函数；
(3)解不等式f (m －1)＋f (m )＜0.
参考答案
1．A 点拨：根据幂函数的形式特征可知，只有①②是幂函数，③中幂的系数不为1，④中幂的底数不是自变量x ，指数不是常数，⑤中含有常数项，故都不是幂函数．
2．D 点拨：m －1＜0⇔m ＜1，故选D.
3．A 点拨：函数f (x )＝1x x -的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f (－x )＝111()()x x x f x x x x ⎛⎫--=-+=--=- ⎪-⎝⎭，所以此函数为奇函数． 4．B 点拨：根据奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称可知，选项B 中的函数为偶函数．选项C 中的点(0,1)关于原点的对称点(0，－1)不在图像上，所以选项C 中的函数不是奇函数．
5．A 点拨：∵f (－π)＝f (π)，f (－5)＝f (5)，且当x ≥0时，f (x )是增函数，∴f (3)＜f (－π)＜f (－5)．
6．B 点拨：由幂函数的形式特征可知，m 2－9m ＋19＝1，即m 2－9m ＋18＝0，解得m
＝3或m ＝6.当m ＝3时，y ＝x －1的图像不过原点；当m ＝6时，y ＝x 5的图像经过原点，所
以m ＝3.
7．A 点拨：函数y ＝x 2－3|x |＋2的定义域R 关于原点对称，且f (－x )＝(－x )2－3|－x |＋2＝x 2－3|x |＋2＝f (x )，所以此函数是偶函数；函数y ＝x 2，x ∈(－2,2]的定义域(－2,2]不关于原点对称，所以此函数不是偶函数；函数y ＝x 3的定义域R 关于原点对称，而f (－x )＝(－x )3＝－x 3≠f (x )，所以此函数不是偶函数；函数y ＝x －1的定义域R 关于原点对称，而f (－x )＝－x －1≠f (x )，所以此函数不是偶函数．
8．B 点拨：由奇函数和偶函数的定义可知，选项A ，D 正确；奇函数的图像不一定
经过原点，如y ＝x －1；由偶函数的对称性可知，选项C 正确．
9．A 点拨：∵函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[a ＋1,2a ]上的偶函数，
∴a ＋1＋2a ＝0，解得13a =-.此时f (x )＝213
x -＋bx ＋1的对称轴301223b b x =-==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
，即b ＝0， ∴a ＋b ＝13
-. 10．C 点拨：∵函数f (x )是偶函数，∴f (－n )＝f (n )．
∵f (x )对任意x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)·[f (x 2)－f (x 1)]＞0，即()()1212,
x x f x f x >⎧⎪⎨>⎪⎩，或()()1212,x x f x f x <⎧⎪⎨<⎪⎩
， ∴函数f (x )在(－∞，0]上是增函数．
又∵函数f (x )是偶函数，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．
∵0≤n －1＜n ＜n ＋1，∴f (n －1)＞f (n )＞f (n ＋1)，
即f (n －1)＞f (－n )＞f (n ＋1)．
11．A 点拨：函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．
当x ＞0时，有f (x )＝x 2－x ＋1，－x ＜0，
∴f (－x )＝－(－x )2－(－x )－1＝－x 2＋x －1＝－(x 2－x ＋1)＝－f (x )；
当x ＜0时，有f (x )＝－x 2－x －1，－x ＞0，
∴f (－x )＝(－x )2－(－x )＋1
＝x 2＋x ＋1＝－(－x 2－x －1)
＝－f(x)．
综上可得，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)是奇函数．
12．0点拨：∵函数f(x)是R上的偶函数，
∴f(－1)＝f(1)．
令x＝－1，由f(x＋2)＝xf(x)得
f[(－1)＋2]＝(－1)×f(－1)，
即f(1)＝－f(1)，∴f(1)＝0.
13．－10点拨：∵奇函数f(x)的定义域为R，∴f(0)＝0，又∵f(x)在区间[1,4]上是增函数，∴f(2)＝－1，f(3)＝8，f(－3)＝－f(3)＝－8.∴2f(2)＋f(－3)＋f(0)＝－10.
14．－0.5点拨：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)
＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)
＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)
＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)．
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－0.5)＝－f(0.5)．
而当0＜x≤1时，f(x)＝x，
∴f(7.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
15．解：(1)∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴对任意的x∈R都有f(－x)＝f(x)成立，
∴当x＞0时，－x＜0，
即f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＋3＝x2－4x＋3，
∴f(x)＝
2
2
43,0,
43,0. x x x
x x x
⎧-+>⎨
++≤⎩
(2)图像如图所示，函数f(x)的单调递增区间为[－2,0]和[2，＋∞)．(写成开区间也可以)
16．解：(1)∵函数f(x)对一切a，b都有f(ab)＝bf(a)＋af(b)，
∴令a＝b＝0得f(0×0)＝0×f(0)＋0×f(0)，
即f(0)＝0.
(2)证明：令a＝b＝1得，f(1×1)＝1×f(1)＋1×f(1)，即f(1)＝0.
令a＝b＝－1得，f[(－1)×(－1)]＝(－1)×f(－1)＋(－1)×f(－1)，即f(－1)＝0.
令a＝－1，b＝x得，f[(－1)×x]＝xf(－1)＋(－1)f(x)，
即f(－x)＝xf(－1)－f(x)，
∵f(－1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)∵f(x)是奇函数，
∴f(－5)＝－f(5)．
∵F(x)＝af(x)＋bx5＋cx3＋2x2＋dx＋3，且F(－5)＝7，
∴af (－5)＋b ×(－5)5＋c ×(－5)3＋2×(－5)2＋d ×(－5)＋3＝7， 即af (5)＋b ×55＋c ×53＋d ×5＝46.
∴F (5)＝af (5)＋b ×55＋c ×53＋2×52＋d ×5＋3＝46＋50＋3＝99.
17．解：(1)∵f (x )＝21ax b
x ++是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f (x )在x ＝0处有意义，且f (0)＝0. ∴20010a b
⨯+=+，即b ＝0. 又∵12
25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴210
2
25112a +=⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，
∴a ＝1.故f (x )＝21x
x +.
(2)任取x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0，x 1x 2＜1. ∴f (x 1)－f (x 2)＝1
2121222221212
()(1)11(1)(1)x x x x x x x x x x ---=+++⋅+＜0，
即f (x 1)＜f (x 2)．
由单调函数的定义可知，函数f (x )在(－1,1)上是单调增函数．
(3)由f (m －1)＋f (m )＜0得，f (m －1)＜－f (m )．
∵函数f (x )是奇函数，∴f (－m )＝－f (m )，
∴f (m －1)＜f (－m )．
∵f (x )是(－1,1)上的单调增函数，
∴1<1<1111m m m m --⎧
⎪-<<⎨⎪-<-⎩，
，，
解得0＜m ＜1
2.。