天津市蓟州等部分区高2019届高2016级高三上学期期末联考文科数学试题及试题解析

天津市蓟州等部分区高2016级高三上学期期末联考文科数学试题及详
细解析
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集,,,则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的交集、并集和补集的运算,即可求解.
【详解】由题意,全集,,,
则,则,故选A.
【点睛】本题主要考查了集合的混合运算问题,其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的运算是解答问题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
2.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）
A. 1
B. 2
C. 7
D. 8
【答案】C
【解析】
试题分析:作出可行域及目标函数线．如图:
平移目标函数线使之经过可行域,当目标函数线过点时纵截距最大,此时也最大．
由,则．故C正确．
考点:线性规划．
3.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为（）
A. 8
B. 4
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意,执行如图所示的程序框图,逐次计算,即可求得输出的结果,得到答案. 【详解】由题意,执行如图所示的程序框图,
第1次循环,不满足条件;
第2次循环,不满足条件;
第3次循环,不满足条件;
第4次循环,满足条件,此时输出,故选B.
【点睛】识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题:首先,要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构;第二,要识别运行算法框图,理解框图解决的问题;第三,按照框图的要求一步一步进行循环,直到跳出循环体输出结果,完成解答．近年框图问题考查很活,常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．
4.已知,则的大小关系为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【详解】解:,
,
,
,,的大小关系为:．
故选:．
【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识比较三个数的大小,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题．
5.设,则“”是“”的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由,解得或．．即可判断出结论．
【详解】解:由,则有,即“”是“”的必要条件,由,得或
．．即“”是“的不充分条件,即“”是“”的必要不充分条件．故选:．
【点睛】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件,考查了解三角方程,属简单题
6.在中,为的中点,,则（）
A. B.
C. 3
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性表示与数量积的定义,计算即可．
【详解】解:如图所示,
中,是的中点,
,
,
．
故选:．
【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的运算问题,是基础题．
7.函数（其中）的图象如图所示,为了得到函数的图象,只需将
的图象上所有点（）
A. 向右平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的最值求出,由周期求出,由五点法作图求出的值,可得的解析式,再根据的图象变换规律,可得结论．
【详解】解:由函数（其中,的图象可得,,求得．再根据
五点法作图可得,求得,函数．故把的图象向右平移个单位长度,可得函
数的图象,
故选:．
【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式,的图象变换规律,属于基础题．
8.已知双曲线的左、右焦点分别为,过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交
于两点,分别交轴于两点,若的周长为12,则当取得最大值时,该双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意,的周长为24,利用双曲线的定义,可得,进而转化,利用导数的方法,即可得出结论．【详解】解:由题意,的周长为24,
,
,,
,,
,,
,,,,
时,取得最大值,此时,即
渐近线方程为
故选:B.
【点睛】本题考查双曲线的定义,考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,知识综合性强．
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,满分30分,）
9.是虚数单位,复数__________．
【答案】
【解析】
试题分析:.
考点:复数的四则运算.
10.已知函数,是的导函数,则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
先求,再代入得解.
【详解】解:,（1）,
故答案为:1.
【点睛】本题考查型导函数求法,属于基础题.
11.已知长方体的长、宽、高分别为2,1,2,则该长方体外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意,长方体的长宽高分别为,所以其对角线长为,求得球的半径为,利用球的表面积公式,即可求解.
【详解】由题意,长方体的长宽高分别为,所以其对角线长为,
设长方体的外接球的半径为,则,即,
所以球的表面积为.
【点睛】本题主要考查了球的表面积和球的组合体问题,其中解答中根据长方体的对角线长等于其外接球的直径,求得球的半径是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
12.已知直线与圆相交于两点,且线段的中点P坐标为,则直线的方程为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
把圆的标准化为标准方程,找出圆心的坐标,由垂径定理得到圆心与弦的中点连线与弦垂直,根据圆
心的坐标及的坐标求出半径所在直线的斜率,根据两直线垂直时斜率的乘积为,求出直线的斜率,再根据的坐标及求出的斜率写出直线的方程即可．
【详解】解:把圆的方程化为标准方程得:,
可得圆心,直线的斜率为1,
直线的斜率为,
则直线的方程为:,即．
故答案为:．
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:垂径定理,两直线垂直时斜率满足的关系,直线斜率的求法,以及直线方程求法,灵活运用垂径定理是解本题的关键．
13.已知,且,若恒成立,则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件,转化为,然后得到,再结合基本不等式确定其最值即可．
【详解】解:,,恒成立,且,
=
因为恒成立,
．
故答案为:．
【点睛】本题重点考查了基本不等式及其灵活运用,注意基本不等式的适应关键:一正、二定（定值）、三相
等（即验证等号成立的条件）,注意给条件求最值问题,一定要充分利用所给的条件,作出适当的变形,然后巧妙的利用基本不等式进行处理,属于基础题．
14.已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解,则实数的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用分段函数,求出的零点,然后在求解时的零点,即可得到答案.
【详解】由题意,函数,
当时,方程,可得,解得,函数由一个零点,
当时,函数只有一个零点,即在上只有一个解,
因为函数开口向上,对称的方程为,
所以函数在为单调递减函数,所以,即,解得,
即实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了分段函数的零点的应用,以及二次函数的图象与性质的应用,其中解答中把函数的零点问题转化为二次函数问题,借助二次函数的图象与性质求解是解答的关键,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力.
三、解答题（本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.为维护交通秩序,防范电动自行车被盗,天津市公安局决定,开展二轮电动自行车免费登记、上牌照工作.电动自行车牌照分免费和收费(安装防盗装置)两大类,群众可以自愿选择安装.已知甲、乙、丙三个不同类型小区的人数分别为15000,15000,20000.交管部门为了解社区居民意愿,现采用分层抽样的方法从中抽取10人进行电话访谈.
（Ⅰ）应从甲小区和丙小区的居民中分别抽取多少人?
（Ⅱ）设从甲小区抽取的居民为,丙小区抽取的居民为.现从甲小区和丙小区已抽取的居民中随机抽取2人接受问卷调查.
（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
（ⅱ）设为事件“抽取的2人来自不同的小区”,求事件发生的概率.
【答案】（Ⅰ）甲小区抽取3人、丙小区抽取4人．（Ⅱ）(i)见解析(ii)．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个不同类型小区中分别抽取得3人,3人,4人．（Ⅱ）（ⅰ）从甲小区抽取的3位居民为,丙小区抽取的4人分别为利用列举法能求出所有可能结果．
（ⅱ）由（ⅰ）可得基本事件总个数,为事件“抽取的2人来自不同的小区”利用列举法能求出事件发生的概率．
【详解】（Ⅰ）因为三个小区共有50000名居民,所以运用分层抽样抽取甲、丙小区的人数分别为:甲小区:（人）;
丙小区:（人）.
即甲小区抽取3人、丙小区抽取4人．
（Ⅱ）(i)设甲小区抽取的3人分别为,丙小区抽取的4人分别为,
则从7名居民中抽2名居民共有21种可能情况:
,
(ii)显然,事件包含的基本事件有:
共12种,
所以.
故抽取的2人来自不同的小区的概率为．
【点睛】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．
16.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知．
1求角C的大小
2若,的面积为,求的周长．
【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式可得值,结合范围,即可得解的值．
（Ⅱ）利用正弦定理及面积公式可得,再利用余弦定理化简可得值,联立得从而解得周长．【详解】（Ⅰ）由正弦定理,得
,
在中,因为,所以
故,
又因为0＜C＜,所以．
（Ⅱ）由已知,得.
又,所以.
由已知及余弦定理,得,
所以,从而.即
又,所以的周长为.
【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理的应用,考查了转化思想和数形结合思想,属于基础题．17.如图,四棱锥中,底面四边形为菱形,,为等边三角形.
（Ⅰ）求证:;
（Ⅱ）若,求直线与平面所成的角.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）取中点E,连结,,由已知可得,,又,即可证平面,从而可
得．
（Ⅱ）先证明,可得平面,由线面角定义即可知即为所求．
【详解】（Ⅰ）因为四边形为菱形,且
所以为等边三角形．
取线段的中点,连接,
则.
又因为为等边三角形,所以．
因为平面,平面,且,
所以直线平面,
又因为,所以．
（Ⅱ）因为为等边三角形,且其边长为,所以,
又,所以,所以.
因为,
所以面,
所以为直线与平面所成的角.
在中,,所以
故直线和平面所成的角为.
【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质及线面角求法,属于基础题．
18.已知数列是等比数列,数列是等差数列,且,,.
（1）求和的通项公式;
（2）设,求数列的前项和.
【答案】（1）;（2）
【解析】
【分析】
（1）设等比数列的公比为,等差数列的公差为,列出方程组,求得的值,即可得到数列的通项公式;
（2）由（1）得, 利用乘公比错位相减法,即可求解数列的和.
【详解】（1）设等比数列的公比为,等差数列的公差为,
依题意有,即,
解得或（舍）
∴,
∴数列的通项公式为,数列的通项公式为
（2）由（1）得,
∴ ①
∴=,②
①－②得
∴
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”,此类题目是数列问题中的常见题型,对考生计算能力要求较高,解答中确定通项公式是基础,准确计算求和是关键,易错点是在“错位”之后求和时,弄错等比数列的项数,能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.
19.已知函数,其中.
（Ⅰ）讨论的单调性;
（Ⅱ）当时,证明:;
（Ⅲ）求证:对任意正整数,都有 (其中为自然对数的底数). 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先求,再对进行讨论即可.
（Ⅱ）由题知即证,构造新函数设,利用导数只需即得证. （Ⅲ）由（Ⅱ）知,累加作和即得证.
【详解】（Ⅰ）易得,函数,
①当时,,所以在上单调递增
②当时,令,解得．
当时,,所以,
所以在上单调递减;
当时,,所以,
所以在上单调递增．
综上,当时,函数在上单调递增;
当时,函数在上单调递减,在上单调递增.
（Ⅱ）当时,.
要证明,
即证,即. 即.
设则
令得,.
当时,,
当时,.
所以为极大值点,也为最大值点
所以.
即.
故.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知,.
令,
则,
所以
,
即
所以.
【点睛】本题考查函数的单调性,考查分类讨论的数学思想及不等式的证明,考查数学分析法的运用,综合性强,属于中档题．
20.已知椭圆的焦距为8,其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形.
（1）求的方程;
(2)设为的左焦点,为直线上任意一点,过点作的垂线交于两点.
（ⅰ）证明:平分线段(其中为坐标原点);
（ⅱ）当取最小值时,求点的坐标.
【答案】（1）;（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知,根据椭圆的焦距为8,其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形,求得的值,即可求得
椭圆的方程;
（2）（ⅰ）设点的坐标为,验证当时,平分显然成立;当由直线的方程和椭圆的方程联立方程组,求解中点的坐标,即可得到结论;
（ⅱ）由（ⅰ）可知,求得和,得到,利用基本不等式,即可求解.
【详解】（1）由已知,得. 因为,易解得.
所以,所求椭圆的标准方程为
（2）设点的坐标为
当时,与轴垂直为的中点平分显然成立
当由已知可得:
则直线的方程为:
设
消去得:
,
中点的坐标为
又在直线上.
综上平分线段
当时,则
当时,由可知
(当且仅当,即时等号成立),
∴点的坐标为
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目,通常利用的关系,确定椭圆,通过联立直线方程与椭圆方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.。