2020学年高中数学第二章函数2.1.1函数第1课时变量与函数的概念课件新人教B版必修1

求值域时的注意事项 (1)求值域时一定要注意定义域的影响，如函数 y＝x2－2x＋3 的值域与函数 y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)的值域是不同的． (2)在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元 取值范围的变化．
1．下列函数 f(x)与 g(x)表示同一函数的是( ) A．f(x)＝x0 与 g(x)＝1 B．f(x)＝xx2与 g(x)＝x C．f(x)＝|x|与 g(x)＝(及注意点 (1)方法：判断两个函数是否为同一函数，关键是看这两个函 数的定义域和对应法则是否都相同，只有当两个函数的定义 域和对应法则分别相同时，这两个函数才是同一函数，也就 是说：定义域不同，两个函数不同；对应法则不同，两个函 数也不同．
(2)注意点：即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它 们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一 确定函数的对应法则，如 y＝x 与 y＝2x 的定义域和值域都为 R，但它们的对应法则不同，所以它们不是同一函数． [注意] 因为函数是两个数集中数之间的对应法则，所以至于 用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的， 如 f(x)＝3x＋5 与 f(t)＝3t＋5 表示同一函数．
3．判定两个变量之间是否具有函数关系
4．区间的概念
(1)设 a，b∈R，且 a<b
定义
名称
{x|a≤x≤b}
闭区间
{x|a<x<b}
开区间
{x|a≤x<b} 半开半闭区间
{x|a<x≤b} 半开半闭区间
符号 [a，b] (a，b) [a，b) (a，b]
数轴表示
(2)无穷大概念及无穷区间 ①实数集 R 也可用区间表示为__(_－__∞__，__＋__∞__)____，“∞” 读作_无___穷__大__，“－∞”读作_负__无__穷__大___，“＋∞”读作 _正__无__穷__大___．
函数的概念 下列对应是否是从 A 到 B 的函数？ (1)A＝R，B＝{x|x＞0}，对应法则 f：x→|x|； (2)A＝Z，B＝N，对应法则 f：A→B，平方； (3)A＝Z，B＝Z，对应法则 f：A→B，求算术平方根； (4)A＝N＋，B＝Z，对应法则 f：A→B，求平方根； (5)A＝[－2，2]，B＝[－3，3]，对应法则 f：A→B，求立方．
【解】 本题详细分析见表：
题号
详细分析
结论
(1)
A 中的元素 0 在 B 中无元素与它对应
不是
(2)
符合函数的定义
是
A 中的负数没有算术平方根，故 B 中无元素与
(3)
不是
它们对应
题号
详细分析
结论
A 中的每一个元素都有 2 个平方根，所以 B 中
(4)
不是
有 2 个元素和它对应
集合 A 中的一些元素，如 2，立方后不在集合
系叫做集合 A 上的一个函数，记作 ____y_＝__f_(x_)_，__x_∈__A________．
2．函数的定义域和值域 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，_x__叫做自变量，__自__变__量__取值的
范围(数集 A)叫做这个函数的定义域．如果自变量取值 a，则 由法则 f 确定的值 y 称为函数在 a 处的_函__数__值___，记作 _______y_＝__f_(_a_)或__y_|_x＝__a ________ ． 所 有 函 数 值 构 成 的 集 合 _____{_y_|y_＝__f_(_x_)，__x_∈__A__}__________叫做这个函数的值域．
2．函数 y＝1x的值域是________． 答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) 3．用区间表示下列数集： (1){x|5<x≤8}＝________； (2){x|x<3 且 x≠0}＝________； (3)R＝________． 答案：(1)(5，8] (2)(－∞，0)∪(0，3) (3)(－∞，＋∞)
4．试判断以下各组函数是否表示同一函数： (1)f(x)＝ x2，g(x)＝3 x3； (2)f(x)＝( x)2，g(x)＝ x2．
解：(1)由于 f(x)＝ x2＝|x|，g(x)＝3 x3＝x，故它们的对应法 则不相同，所以它们不表示同一函数． (2)由于函数 f(x)＝( x)2 的定义域为{x|x≥0}，而 g(x)＝ x2的 定义域为{x|x∈R}，它们的定义域不同，所以它们不表示同 一函数．
求下列函数的值域： (1)y＝2xx－＋31； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)； (3)y＝2x－ x－1．
解：(1)(观察法)y＝2xx－＋31＝2＋x－7 3． 因为 x≠3， 所以x－7 3≠0，所以 y≠2． 故所求函数的值域为{y|y≠2}．
(2)(配方法)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2． 因为 1≤x<5，结合二次函数的图象可得函数的值域为 {y|2≤y<11}． (3)(换元法)设 t＝ x－1， 则 t≥0，且 x＝t2＋1． 所以 y＝2(t2＋1)－t＝2t－142＋185． 因为 t≥0，所以 y≥185． 故函数 y＝2x－ x－1的值域为{y|y≥185}．
3．f(x)＝1＋1 x，g(x)＝x2－1，则 f(2)＝________，f[g(2)]＝
________．
解析：f(2)＝1＋1 2＝13，
g(2)＝22－1＝3，
所以 f[g(2)]＝f(3)＝1＋1 3＝14．
答案：13
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D．f(x)＝x 与 g(x)＝3 x3 解析：选 D．由函数的三要素：定义域、对应法则、值域来 判断．
2．函数 f(x)＝ x－1＋(x－2)0 的定义域为( ) A．[1，＋∞) B．[1，2)∪(2，＋∞) C．(1，＋∞) D．(1，2)∪(2，＋∞) 解析：选 B．要使函数有意义，x 需满足xx－ －12≥ ≠00， 解得 x≥1 且 x≠2，故选 B．
求函数值及值域问题 已知 f(x)＝2－1 x(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)． (1)求 f(1)，g(1)的值； (2)求 f[g(x)]．
【解】 (1)f(1)＝2－1 1＝1，g(1)＝1＋4＝5． (2)f[g(x)]＝f(x＋4)＝2－（1x＋4）＝－21－x＝－x＋1 2(x∈R， 且 x≠－2)．
(1)求函数值的方法 ①先要确定出函数的对应关系 f 的具体含义，②然后将变量 取值代入解析式计算，对于 f[g(x)]型的求值，按“由内到外” 的顺序进行，要注意 f[g(x)]与 g[f(x)]的区别． (2)求函数值域的常用方法 ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得 到；
②配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把 函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法； ③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式 转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； ④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的 函数，从而求得原函数的值域．
第二章 函 数
2．1 函 数
2．1．1 函 数
第1课时 变量与函数的概念
第二章 函 数
1．理解函数的概念，了解构成函数的三要 素． 2．掌握函数定义域、值域的求法．
1．函数的定义 设集合 A 是一个非空的数集，对 A 中的__任__意__数__x__，按照确 定的法则 f，都有__唯__一__确__定__的数 y 与它对应，则这种对应关
求下列函数的定义域： (1)y＝ x－2· 5－x－3； (2)y＝ x＋2＋|x|－1 3．
解：(1)由x5－－2x≥≥00，，得 2≤x≤5． 所以 y＝ x－2· 5－x－3 的定义域为[2，5]． (2)由x|x＋|≠23≥，0， 得 x≥－2 且 x≠±3． 所以函数 y＝ x＋2＋|x|－1 3的定义域为 {x|x≥－2 且 x≠3}．
②无穷区间的表示 定义
{x|x∈R} {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}
符号 (－∞，＋∞)
[a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
1．函数 y＝ x1－1的定义域是(
)
A．[0，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(1，＋∞)
解析：选 D．由 x－1>0，得 x>1，故选 D．
)
A．[2，3) B．(3，＋∞) C．[2，3)∪(3，＋∞) D．(2，3)∪(3，＋∞)
【解析】 要使函数式有意义，x 需满足xx－ －23≥ ≠00， 解得 x≥2 且 x≠3，即函数的定义域为[2，3)∪(3，＋∞)． 【答案】 C
求函数定义域的常用方法 (1)若 f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若 f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若 f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实 数集合． (4)若 f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分 定义域的交集． (5)若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际 问题有意义．
2．用解析式法表示的函数定义域的求法 (1)实质：求函数的定义域，其实质就是以使函数的解析式所 含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组求其解集的过 程． (2)准则： ①分式中分母不为零； ②偶次根式中被开方数非负；
③零的零次幂没有意义； ④整式中定义域为实数集 R； ⑤由实际问题确定的函数，其定义域由实际意义确定． [注意] 在求函数定义域之前，一般不对函数解析式进行变形， 否则可能引起函数定义域的变化．
(5)
不是
B 中，所以在 B 中无元素与它对应
判断从集合 A 到集合 B 的对应法则是否为函数，一定要以函 数概念为准则．要注意对应法则对于 A 中元素是否有意义， 同时要注意特殊值的分析．
判断下列各组函数是否为同一个函数？ (1)f(x)＝x2＋1，g(x)＝|x|＋1； (2)f(x)＝x2－x＋1，g(t)＝t2－t＋1．
解：(1)函数 f(x)的定义域是 R，值域为[1，＋∞)，函数 g(x) 的定义域是 R，值域为[1，＋∞)，但两函数的对应法则不同， 因而不是同一个函数． (2)两个函数虽表示自变量的字母不同，但定义域、对应法则 均相同，因而是同一个函数．
求函数的定义域
函数 f(x)＝ x－2＋x－1 3的定义域是(
1．在本例条件下，求 g[f(1)]的值及 f(2x＋1)的表达式． 解：g[f(1)]＝g(1)＝1＋4＝5． f(2x＋1)＝2－（21x＋1）＝－2x1－1x∈R，且x≠12．
2．若将本例 g(x)的定义域改为{0，1，2，3}，求 g(x)的值域． 解：因为 g(x)＝x＋4，x∈{0，1，2，3}， 所以 g(0)＝4，g(1)＝5，g(2)＝6，g(3)＝7． 所以 g(x)的值域为{4，5，6，7}．