甘肃省白银市二中2018届高三数学下学期第二次模拟试题 文练习

甘肃省白银市二中2018届高三数学下学期第二次模拟试题 文练
习
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的． 1．[2018·江西联考]设集合1
02x A x x ⎧
⎫+=⎨⎬-⎩⎭
≥，{}1,0,1,2B =-，则A B =（ ）
A ．{}1,0,1-
B ．{}0,1,2
C ．{}1,0,1,2-
D ．{}1,2
2．[2018·马鞍山期末]已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）
A ．30
B ．31
C ．32
D ．33
3．[2018·菏泽联考]设x ，y 满足约束条件01
0 30y x y x y -++⎧
⎪
⎨⎪-⎩
≥≥≤，则43z x y =-的最大值为（ ） A ．3
B ．9
C ．12
D ．15
4．[2018·渭南质检]一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
23
D ．1
5．[2018·济宁期末]已知0a >，0b >，并且1a ，12，1
b
成等差数列，则9a b +的最小值为（ ） A ．16
B ．9
C ．5
D ．4
6．[2018·濮阳一模]函数()2
2
111
222
x x f x +-⎛⎫
⎛⎫=+-
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
7．[2018·武邑中学]12倍，纵
()2:C y g x =，则()g x 在[],0-π上的单调递增区间是（ ）
A B C D 8．[2018·厦门期末]习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．下
图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ）
A ．44
B ．68
C ．100
D ．140
9．[2018·闽侯八中]正项等比数列{}n a 中的1a ，4031a 是函数()3
214633
f x x x x =-+-的极值点，则2016
=（ ）
A ．1
B ．2
C ．1-
D 10．[2018·玉林联考]若自然数n 使得作竖式加法()()12n n n ++++均不产生进位现象，则称n 为“开心数”．例如：32是“开心数”．因323334++不产生进位现象；23不是“开心数”，因232425++产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ） A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
11．[2018·乌鲁木齐一诊]，若不等式()0f x ≤有正实数解，则实数a 的最小值为（ ） A ．3
B ．2
C ．2
e D ．e
12．[2018·通州期末]如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -，M ，N 分别为线段1A B ，1BC 上的动点，若点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交，点O 为MN 中点，则O 点的轨迹的长度是（ ）
A B C ．1 D 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2018·南通调研]i 为虚数单位，则复数z 的实部为_________．
14．[2018·临川一中]已知圆Ω过点()5,1A ，()5,3B ，()1,1C -，则圆Ω的圆心到直线
l ：210x y -+=的距离为__________．
15．[2018·嘉兴期末]在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2C B =，则
c
b
的取值范围是________． 16．[2018·晋城一模]已知1F ，2F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点，点
P 在双曲线的右支上，如果(]()121,3PF t PF t =∈，则双曲线经过一、三象限的渐近线
的斜率的取值范围是__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．
17．[2018·辽师附中]已知c o s m ⎛= ，3sin n ⎛= ，设函数()f
x m n =
⋅．
（1）求函数()f x 的单调增区间；
（2）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数
列，求()f B 的取值范围．
18．[2018·临川一中]海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名．现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量，具体数据如表：
的概率；
（2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为i x ，i y （1,2,3,4,5,6i =），现从该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间点满足i i x y >的概率．
19．[2018·云师附中]在三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，侧棱1AA ⊥平面ABC ，且D E ，分别是棱1111A B A A ，的中点，点F 在棱AB 上，且
1
4
A F A
B =
．
（1）求证：EF ∥平面1BDC ； （2）求三棱锥1D BEC -的体积．
20．[2018·沧州质检]对于椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>，有如下性质：若点()00,x y 是椭
圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为
00221x x y y
a b
+=．利用此结论解答下列问题．点31,2Q ⎛⎫
⎪⎝⎭是椭圆2222C :1(0)x y a b a b +=>>上的点，并且椭圆在点Q 处的切线斜率为
1
2
-． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若动点P 在直线3x y +=上，经过点P 的直线m ，n 与椭圆C 相切，切点分别为
M ，N ．求证：直线MN 必经过一定点．
21．[2018·陕西一模]已知函数()()e 1x f x a x =--，其中0a >，e 为自然对数底数． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）已知b ∈R ，若函数()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值．
（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）
22．[2018·广元一模]选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2
4sin x a y a =+=⎧⎨⎩
（a 为参数），以O 为
极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6
θρπ
=∈R ． （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值．
23．[2018·会宁一中]选修4—5:不等式选讲
已知(0)x y z ∈+∞，，，
，3x y z ++＝． （1）求
111
x y z
++的最小值 （2）证明：2
2
2
3x y z ≤＋＋．
文科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的． 1．【答案】A
【解析】由题意得{}1
10=01222x x A x
x x x x x ⎧
⎫⎧⎫++==-<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭
≥≤≤，∴
{}1,0,1A B =-．选A ．
2．【答案】B
【解析】阅读茎叶图可知乙组的中位数为：3234
332+=，结合题意可知：甲组的中位数为33，即3m =，则甲组数据的平均数为：243336
313
++=．本题选择B 选项．
3．【答案】C
【解析】所以，过()3,0时，43z x y =-取得最大值为12．故选C ．
4．【答案】B
【解析】根据题意得到原图是底面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥，故得到体积为：
B ． 5．【答案】A 【解析】∵
1a ，12，1b 成等差数列，∴11
1a b
+=．
当且仅当9a b b a =
且111a b +=，即4a =，4
3
b =时等号成立．选A ． 6．【答案】C
【解析】()()2
2
2
2
111111
222222
x x x x f x f x -+---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-
= ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，所以函数是
偶函数，关于y 轴对称，排除A 、D ，当2x =B ，故选C ． 7．【答案】B
，，1k =-时，
B ．
8．【答案】C
【解析】第1次运行，1n =，21
02
n a -==，000S =+=，不符合n m ≥，继续运行；
第2次运行，2
2,2,0222n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第3次运行，21
3,4,4262
n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第4次运行，2
4,8,86142n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第5次运行，21
5,12,1412262
n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第6次运行，2
6,18,2618442n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第7次运行，21
7,24,2444682n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第8次运行，2
8,32,68321002n n a S ====+=，符合n m ≥，退出运行，输出100S =；
故选C ． 9．【答案】A 【
解
析
】
令
()2860
f x x x =-+='，故
121
8x x a a
+==+，2
12140312016
6x x a a a ⋅==⋅=，故22016620166
log log 61a ===． 10．【答案】D
【解析】根据题意个位数需要满足要求：∵()()1210n n n ++++<，即23n <．，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：310n <，∴33n <．
，∴十位可以取0，1，2，3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4=12个．故选：D ． 11．【答案】D
【解析】原问题等价于()
2
e 33x a x x -+≥，令()(
)
2
e 33x
g x x x =-+，则
()m i n
a g x ⎡⎤⎣⎦≥，而()()2
e x g x x x '=-，由()0g x '>可得：()(),01,x ∈-∞+∞，由
()0g x '<可得：()0,1x ∈，据此可知，函数()g x 在区间()0,+∞上的最小值为()1e g =，综上可得：实数a 的最小值为e ．本题选择D 选项．
12．【答案】B 【解析】由题意，
点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交，则MN ∥平面11ACC A ，过M 作1MQ AA ∥交AB 于Q ，过Q 作QH AC ∥，连结NH ，得1NH BB ∥，
11BB AA ∥，NH MQ ∥，
则平面MQHN ∥平面11ACC A ，则MN ∥平面11ACC A ，因为M 为线段1A B 上的动点，所以这样的MN 有无数条，其中MN 中点O 的轨迹的长度等于底面正ABC △
，故选B ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】32
-
z 的实部为3
2-． 14
【解析】由题知，圆心坐标为
()2,2
，则d
==． 15．【答案】
【解析】因为2C B =，所以sin sin22sin cos C B B B ==，2cos c b B ∴=，
2cos c
B b
=，
因为锐角
ABC
△，所以
02
B π<<
，
022
C B π<=<
，
032
A C
B B π<=π--=π-<，
64
B ππ∴
<<
，
cos B ∴∈⎝⎭
，
c b
∈．
16
．【答案】(
又
，所
以
，整理
得
∵13t <≤
12e <≤
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．
17．【答案】（1，k ∈Z ；（2
）⎛ ⎝⎦
． 【
解
析
】
（
1
）
cos m n ⎛⎫=⋅= ⎪⎭3sin 4⎛ ⎝分
2262x πππ-
+π+≤，则4，k ∈Z ， 所以函数()f x ，k ∈Z ．·······6分
（2）由2
b a
c =可当且仅当a c =时取等号），·······8分
所以03B π<≤
，6263B πππ<+≤，()1f B <，
综上()f B 的取值范围为⎛
⎝⎦
．·······12分 18．【答案】（1）
13；（2）815
． 【解析】（1）事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有8点、10点两个时间点，总共有6个时间点，所以所求概率为21
63
P =
=；·······6分 （2）依题意，i i x y >有4个时间点，记为A ，B ，C ，D ；i i x y <有2个时间点，记为
a ，
b ；
故从6个时间点中任取2个，所有的基本事件为(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A a ，
(),A b ，(),B C ，(),B D ，(),B a ，(),B b ，(),C D ，(),C a ，(),C b ，(),D a ，
(),D b ，(),a b 共15种，······9分
其中满足条件的为(),A a ，(),A b ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),D a ，(),D b 共8种，
·······11分
故所求概率8
15
P =
．·······12分
19．【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）取AB 的中点O ，连接1AO ，
1
4
AF AB =
， F ∴为AO 的中点，又E 为1AA 的中点，
1EF AO ∴∥，
112A D =
1
2
BO AB =，AB ∥＝11A B
1A D ∴∥＝
BO ·······2分
∴四边形1A DBO 为平行四边形，·······3分
1AO BD ∴∥，·······4分
EF BD ∴∥，又EF ⊄平面1BDC ，BD ⊂平面1BDC ， EF ∴∥平面1BDC ．·······6分
()
12AA ⊥平面111A B C ，1C D ⊂平面111A B C ，
11AA C D ∴⊥，
1111112AC B C A B D ===，为11A B 的中点，
1111C D A B C D ∴⊥=，，
又1AA ⊂平面11AA B B ，11A B ⊂平面11AA B B ，1111AA
A B A =，
1C D ∴⊥平面11AA B B ，·······8分
12AB AA ==，D ，E 分别为11A B ，1AA 的中点，
分
20．【答案】（1）22143x y +=（2）直线MN 必经过一定点4,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】（1）∵椭圆C 在点Q 处的切线方程为
22
312x y
a b +=， 其斜率为2221
32
b a -=-，
∴2
2
34a b =．·······1分 又点Q 在椭圆上， ∴
22
1914a b +=．·······2分 解得2
4a =，2
3b =．
∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=；·······4分
（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ， 则切线11:
143x x y y m +=，切线22:143
x x y y n +=．·······6分 ∵,m n 都经过点P ， ∴
1010143x x y y +=，2020143
x x y y +=． 即直线MN 的方程为
00143
x x y y
+=．·······7分 又003x y +=，·······8分 ∴
()003143
x y
x x -+=， 即()03412120x y x y -+-=．·······10分
令340, 12120,x y y =-=⎧⎨⎩-得4, 31.
x y ⎧==⎪⎨⎪⎩
∴直线MN 必经过一定点4,13⎛⎫
⎪⎝⎭
．·······12分 21．【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为
(),ln a -∞．（2
【解析】（1）因为
()e x f x a
'=-
，因为0a >，由()0f x '=得ln x a =，·······1分
所以当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增．
综上可得，函数()f x 的单调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为
(),ln a -∞．····4分
（2）因为0a >，由函数()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，得()min b f x ≤， 因为()()min ln 2ln f x f a a a a ==-，所以2ln b a a a -≤．·······6分 所以2
2
2ln ab a a a -≤，
设()222ln (0)g a a a a a =->，
所以()()42ln 32ln g a a a a a a a a =--+=-'，·······8分
由0a >，令()0g a '=
时，()0g a '>，()g a 单调递增；
时，()0g a '<，()g a 单调递减．·······10分
ab
3
21e 2
b =．·······12分 （二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）
22．【答案】（1）2
4cos 120ρρθ--=（2）6AB = 【解析】（1）将方程4cos 24sin x a y a
=+=⎧⎨
⎩消去参数a 得22
4120x y x +--=，
∴曲线C 的普通方程为2
2
4120x y x +--=，·······12分 将2
2
2
x y ρ+=，cos x ρθ=代入上式可得2
4cos 12ρρθ-=， ∴曲线C 的极坐标方程为：2
4cos 120ρρθ--=．·······5分 （2）设,A B 两点的极坐标方程分别为1,
6ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6ρπ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
由24cos 12
6ρρθθ-=π
=⎧⎪
⎨⎪
⎩
消去θ
得2120ρ--=，·······7分 根据题意可得1ρ，2ρ
是方程2120ρ--=的两根，
∴12ρρ+=1212ρρ=-， ∴
126AB ρρ=-=
=．·······10分
23．【答案】（1）3；
（2）证明见解析．
【解析】（1）因为0x y z ++>≥
，
1110x y z ++>，
所以()1119x y z x y z ⎛⎫++++
⎪⎝⎭
≥,即111
3x y z ++≥，
当且仅当1x y z ===时等号成立，此时
111
x y z
++取得最小值3．·······5分 （2）222
x y z ++()()()
2222222223
x y z x y y z z x ++++++++=
()22223
x y z xy yz zx +++++≥
()2
33
x y z ++=
=．·······10分。