2013-2014学年宁波重点中学高三期中考(数学文)

2013-2014学年宁波重点中学高三期中考（数学文）
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的规定处填写学校、姓名、考号、科目等指定内容，并正确涂黑相关标记;
2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合{}(){}
,,,,,5,4,3,2,1A y x A y A x y x B A ∈-∈∈==
则B 中所含元素的个数为（ ▲ ）
A 、3
B 、6
C 、8
D 、10
2.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如图），试求第七个三角形数是（ ▲ ）
A ．27
B ．28
C ．29
D ．30
3．函数
1
1
ln
+=x y 的大致图像为（ ▲ ）
4.设数列}{n a 的通项公式n
n n n a n 21...312111+++++++=，那么n n a a -+1
等于（ ▲ ）
A ．
1
21+n
B ．
2
21+n
C ．2
211
21
++
+n n D ．2
211
21
+-+n n 5.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且
1,3,ABC a b S ∆=则=（ ▲ ）
A 2
B 3
C ．
32
D ．2
6.函数2sin (09)6
3x y x ππ⎛⎫
=-
≤≤
⎪⎝⎭
的最大值与最小值之和为（ ▲ ） A 、23 B 、0 C 、－1 D 、13-
7.若函数 ()(21)()
x f x x x a =+- 为奇函数,则a=（ ▲ ） A 、
23 B 、12 C 、 3
4
D 、 1 8．已知复数1z i =-，则21
z z =-（ ▲ ）
A ． 2
B ． －2
C ． 2i
D ． －2i
9.等差数列}{n a 中,若1201210864=++++a a a a a ,则15S 的值为（ ▲ ）
A ．180
B ．240
C ．360
D ．720
10.对实数a b 和，定义运算“⊗”：,1,, 1.
a a
b a b b a b -≤⎧⊗=⎨
->⎩设函2()(2)(1),f x x x x R =-⊗-∈.若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ▲ ）
A.(1,1]
(2,)-+∞ B.(2,1](1,2]-- C.(,2)(1,2]-∞-
D.[-2，-1]
第II 卷（选择题 共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共24分
11. 已知ln x π=，5log 2y =，
12
z e
-=，则x 、y 、z 三者比较为 ▲
12. 从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。

若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为 ▲ 。

13．若不等式组0
3434x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域被直线4y kx =+分成面积相等的两部分，则k
的值为 ▲ 。

14. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输入的结果是 ▲ 。

15．已知||1a =，||2b =，()a a b ⊥+，则a 与b 夹角的度数为 ▲ . 16. 设a,b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4-x 3+ax+b ≤(x 2-1)2,则ab 等于 ▲
17.若a 、b 、c 均为单位向量，且a ·b =0，（a-c ）·（b-c ）≤0，则丨a+b-c 丨=的最大值为 ▲
三、解答题
18.(本小题14分) 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .
(1)若sin(A ＋π
6
)＝2cos A ，求A 的值；
(2)若cos A ＝1
3，b ＝3c ，求sin C 的值．
19.(本小题14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2sin 2
B ＋
C 2－1
2cos 2A ＝7
4
． (1)求角A 的度数；
(2)若a ＝3，b ＋c ＝3(b >c )，求b 和c 的值．
20. (本小题14分)已知}{n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足16,557263=+=a a a a .
(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式： (Ⅱ）等比数列}{n b 满足：1,2211
-==a b a b ，若数列n n n b a c ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和
n S .
21. (本小题15分)已知数列}{n a 是等差数列,22 , 1063==a a ，数列}{n b 的前n 项和是n T ，且13
1
=+
n n b T . （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）求证：数列}{n b 是等比数列；（3）记n n n b a c ⋅=，求证：n n c c <+1.
22. (本小题15分)已知实数a 满足1-≤a ，函数)1()(2++=ax x e x f x ．
（1）当3-=a 时，求)(x f 的极小值； （2）若)(66)1(32)(23
R b bx x b x
x g ∈++++=的极小值点与)(x f 的极小值点相同，证
明：)(x g 的极大值大于等于7．
【参考答案】
一、单项选择题
1、D
2、B
3、D
4、D
5、C
6、A
7、B
8、B
9、C 10、B 二、填空题 11、
y z x << 12、3 13、3
17- 14、3 15、120 16、—1 17、1
三、解答题
18. 【答案】(1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π
6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，
tan A ＝3．因为0<A <π，所以A ＝π
3
．
(2)由cos A ＝13
，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2
，
故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2．所以sin C ＝cos A ＝1
3．
19. 【答案】(1)由2sin
2
B ＋
C 2－1
2cos 2A ＝7
4
及A ＋B ＋C ＝180°， 得2[1－cos(B ＋C )]－2cos 2A ＋1＝72
，4(1＋cos A)－4cos 2
A ＝5.
∴4cos 2
A －4cos A ＋1＝0.∴cos A ＝12
．∵0°<A <180°，∴A ＝60°.
(2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ．∵cos A ＝12．∴b 2＋c 2－a 22bc ＝12
．∴(b ＋c )2－a 2
＝3bc .
将a ＝3，b ＋c ＝3代入上式得bc ＝2.由⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＋
c ＝3，bc ＝2，及b >c ，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝2，
c ＝1.
20. 【答案】 (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题设d >0
由1672
=+a a .得12716a d += ① 由3655,a a ⋅=得11(2)(5)55a d a d ++= ②
由①得12167a d =-将其代入②得(163)(163)220d d -+=。

即22569220d -=
∴42
=d
,又2,0=∴>d d ,代入①得11=a , ∴122)1(1-=⋅-+=n n a n .
(Ⅱ）121
2,2,1-=∴==n n b b b ∴12)12(-⋅-=⋅=n n n n n b a c ,
1102)12(2321-⋅-++⋅+⋅=n n n S ， n n n S 2)12(2321221⋅-++⋅+⋅=
错位相减可得：n n n
n S 2)12(222222211210⋅--⋅++⋅+⋅+⋅=--
整理得：n n n n n n n S 2)12(4212)12(2
1)21(4111⋅---+=⋅----+=-+-n
n n 2)12(321⋅---=+
∴n n n n
n n S 2)32(322)12(31⋅-+=-⋅-+=+
21. 【答案】（1）由已知⎩⎨
⎧=+=+.
225,10211d a d a 解得 .4,21
==d a .244)1(2-=⨯-+=∴n n a n (2）由于n n b T 31
1-=， ① 令n =1，得.31111b b -= 解得431=b ，当2≥n 时，1131
1---=n n b T ②
② －②得n n n b b b 31311-=- ， 14
1
-=∴n n b b
又0431≠=
b , .4
11=∴-n n b b ∴数列}{n b 是以43为首项，41
为公比的等比数列. (3）由（2）可得.43
n n b =
n n n n n b a c 4
)24(3-=⋅= .436304)24(34]2)1(4[31
11+++-=---+=-n n n n n n
n n c c
1≥n ，故.01<-+n n c c .1n n c c <∴+
22. 解：（1）
]1)2([)(2/++++=a x a x e x f x ………………....................2分
当3-=a 时，)2()(2/--=x x e x f x
列表如下：
所以，)(x f 的极小值为
2)2(e f -=
（2）∵1-≤a ，∴11->--a ，又
)1)(1(]1)2([)(2/+++=++++=x a x e a x a x e x f x x ，
∴1)(--=a x x f 的极小值点是，从而)(x g 的极小值点也是1--=a x 又11))(1(6)(/
+=--=-∴++=a b ，a b b x x x g
即
故)(x g 的极大值73437)1(≥-=-=-a b g。