2021-2022年高考数学必做黄金100题专题37三角形中的不等问题

第37题
三角形中的不等问题
一．题源探究·黄金母题海中一小岛，周围mile n 8.3内有暗礁，海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东70°，航行mile n 8以后，望见这岛在北偏东60°，如果这艘轮船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？
【解析】根据题意作出如图所示，其中设C 为岛所在位置，B A ,是该轮船航行前后的位置，过C 作AB CD ⊥于D ，根据题意知，在△ABC 中，8=AB ，︒=∠20CAB ，︒=∠150ABC ，
∴CAB ABC ACB ∠-∠-︒=∠180=10°，∠CBD=30°，由正弦定理得，ACB AB CAB BC ∠=∠sin sin ，∴ACB CAB AB BC ∠∠=sin sin =︒︒10sin 20sin 8≈15．7560，∴=∠=CBD BC CD sin ≈7．878＞3．8，
∴没有触礁的危险．
答：没有触礁的危险．【试题来源】人教版A 版必修5第24页复习参考题A 组第2题．
【母题评析】本题考查利用正余弦定理解与三角形有关的综合问题，是常考题型．
【思路方法】根据题意画出图形，C 为岛
所在位置，B A ,是该轮船航行前后的位
置，过C 作AB CD ⊥于D ，根据题意知，
在△ABC 中，8=AB ，︒=∠20CAB ，︒=∠150ABC ，要判断是否触礁，即需要计算C 点到直线AB 的距离CD ，在△ABC
中利用正弦定理计算出BC ，在通过解直角
三角形即可求出CD ．
二．考场精彩·真题回放
【2020年高考全国II 卷理数】ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．
（1）求A ；
（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．。