《1.3.1 二阶矩阵的乘法》课件1-优质公开课-人教B版选修4-2精品
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1 x 2 y 3 2
1 0 则M=BA= 0 1
1 2 3 2
3 2 1 2
关于y轴的对称变换矩阵为： B
1 2 3 2 3 2 1 2
1 2 = 3 2
绕原点逆时针旋转90度的变换矩阵B=
则
0 1 1 0 0 1 M=BA= 1 0 1 0 0 1
变式训练
•先将梯形绕原点逆时针旋转90度，再将所得图 形作关于x轴的反射变换,求连续两次变换所对 应的变换矩阵M
0 1 M 1 0
建构数学
规定：矩阵乘法的法则是:
a b e f ae bg af bh c d g h ce dg cf dh
建构数学
矩阵的乘法的几何意义：
矩阵乘法MN的几何意义为：对向量连续 实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换. 当连续对向量实施n(n∈N*)次变换TM时， 记作：Mn=M· M· · · ·· M n个M
1 y0 x 0 2
即y (8 5 3) x
在数学中，一一对应的平面几何变换 都可以看做是伸压、反射、旋转、切变变 换的一次或多次复合，而伸压、反射、旋 转、切变等变换通常叫做初等变换，对应 的矩阵叫做初等变换矩阵。
本节小结
• 1.熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法. • 2.理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个 二阶矩阵,从几何变换角度看,它表示的原来 两个矩阵对应的连续两次变换. • 3.矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实 施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.
1 0 0 3 1 4 0 (1) 11 0 1 3 2 (1) 1 3 0 (1) 3 3 1 ( 1) 4 9 9 2 4 1 ( 1) 2 1 1 1 2 0 1 3 0 0 2 3 0 1 2 4 0 2 2 1
3 2 1 2
1 0 0 1
3y x 1 3 x 3 y0 0 x - x0 x 2 2 2 2 0 y 3x y y 3x 1y 1 0 y 0 0 0 2 2 2 2
(1)从上述问题中，我们发现将图形绕原点逆时针旋转 + 角 的旋转变换可以看成是将图形先绕原点逆时针旋转 角，再绕 原点逆时针旋转 角这两个变换复合而成.
(2)在数学中，一一对应的平面几何变换都可以看作是由恒等，伸 压，反射，旋转，切变变换一次或多次复合而成. 而恒等、伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换，对应的矩 阵叫初等变换矩阵.
数学运用
例1、(1)已知A=
1 2 1 2
1 2 1 2
,B=
1 2 1 2
1 2 1 2
,计算AB;
1 (2)已知A= 0
0 1 ,B= 2 2
4 ,计算AB，BA; 3
1 (3)已知A= 0
数学运用
cos sin cos sin ,B 例4、若A sin cos sin cos (1)求AB，BA 并对其几何意义给予解释。 sin 2 cos 2 sin n cos n
1 例3、已知直线l：y x绕原点逆时针旋转60，并将所 2 得的图形作关于y轴的对称变换，求变换后的直线方程.
解： 直线l绕原点逆时针旋转60的变换矩阵为:
cos 60 sin 60 A sin 60 cos 60
设P(x, y)为变换后图形上的任意一点，对应直线l 上的点P0 (x 0 ,y0 ),则有
• 课后思考： • 根据本节内容，能得出矩阵乘 法具有那些运算性质？不具有 那些运算性质？
矩阵乘法的概念
复习回顾
回忆我们学过的变换所对应的矩阵. 恒等 反射 旋转
k 伸压 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ， 0 1 ， 0 1 ， 1
cos sin sin cos
1 0 0 1
1 0 0 k 1 0 1 ， 0 1 0
0 1
投影
1 0 0 0 1 0 0 0, 0 1, 1 0
切变
1 k 1 0 0 1 , k 1
cos 2 (2)求A2 sin 2 cos n n (3)求A sin n
从几何角度讲，A,B分别表示绕原点逆时针旋转， 角的旋转 变换矩阵，对平面上的图形施加矩阵AB对应的变换，相当于将 图形先绕原点逆时针旋转 角，再绕原点逆时针旋转 角，它和 对图形绕原点逆时针旋转 + 角的旋转变换是一致的.
2 1 9 11
数学运用
例3、已知梯形 ABCD, A(0,0),B(3,0),C(2,2), D(1,2),先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图 形绕原点逆时针旋转90度， 求连续两次变换所对应的变换矩阵M;
0 1 1 0
1 0 解：关于x轴的反射变换矩阵A= 0 1
1 0 ,B= 0 0
0 1 ,C= 0 1
0 2
计算AB，AC;
1、在矩阵的乘法中， 一般情况下，AB
BA
2、在矩阵乘法中，AB=AC且A0 B=C 在矩阵的乘法中，不满足交换律，和约去律.
数学运用
1 0 3 1 例2、求矩阵A= 2 1 0 2 与B=
复习回顾 二阶矩阵与平面列向量的乘法法则为:
a11 a12 x0 a11 x0 a12 y0 a21 a22 y0 a21 x0 a22 y0
2 0 x 2 x x x 2 x 0 1 y y T : y y y
解：
1 0 3 C=AB= 2 1 0
4 1
4 1 2 1
1 1 0 3
0 3 的乘积AB 1 4
BA=?
AB有意义，但是BA没有意义，故 要注意相乘顺序。（AB≠BA）
1 0 则M=BA= 0 1
1 2 3 2
3 2 1 2
关于y轴的对称变换矩阵为： B
1 2 3 2 3 2 1 2
1 2 = 3 2
绕原点逆时针旋转90度的变换矩阵B=
则
0 1 1 0 0 1 M=BA= 1 0 1 0 0 1
变式训练
•先将梯形绕原点逆时针旋转90度，再将所得图 形作关于x轴的反射变换,求连续两次变换所对 应的变换矩阵M
0 1 M 1 0
建构数学
规定：矩阵乘法的法则是:
a b e f ae bg af bh c d g h ce dg cf dh
建构数学
矩阵的乘法的几何意义：
矩阵乘法MN的几何意义为：对向量连续 实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换. 当连续对向量实施n(n∈N*)次变换TM时， 记作：Mn=M· M· · · ·· M n个M
1 y0 x 0 2
即y (8 5 3) x
在数学中，一一对应的平面几何变换 都可以看做是伸压、反射、旋转、切变变 换的一次或多次复合，而伸压、反射、旋 转、切变等变换通常叫做初等变换，对应 的矩阵叫做初等变换矩阵。
本节小结
• 1.熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法. • 2.理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个 二阶矩阵,从几何变换角度看,它表示的原来 两个矩阵对应的连续两次变换. • 3.矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实 施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.
1 0 0 3 1 4 0 (1) 11 0 1 3 2 (1) 1 3 0 (1) 3 3 1 ( 1) 4 9 9 2 4 1 ( 1) 2 1 1 1 2 0 1 3 0 0 2 3 0 1 2 4 0 2 2 1
3 2 1 2
1 0 0 1
3y x 1 3 x 3 y0 0 x - x0 x 2 2 2 2 0 y 3x y y 3x 1y 1 0 y 0 0 0 2 2 2 2
(1)从上述问题中，我们发现将图形绕原点逆时针旋转 + 角 的旋转变换可以看成是将图形先绕原点逆时针旋转 角，再绕 原点逆时针旋转 角这两个变换复合而成.
(2)在数学中，一一对应的平面几何变换都可以看作是由恒等，伸 压，反射，旋转，切变变换一次或多次复合而成. 而恒等、伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换，对应的矩 阵叫初等变换矩阵.
数学运用
例1、(1)已知A=
1 2 1 2
1 2 1 2
,B=
1 2 1 2
1 2 1 2
,计算AB;
1 (2)已知A= 0
0 1 ,B= 2 2
4 ,计算AB，BA; 3
1 (3)已知A= 0
数学运用
cos sin cos sin ,B 例4、若A sin cos sin cos (1)求AB，BA 并对其几何意义给予解释。 sin 2 cos 2 sin n cos n
1 例3、已知直线l：y x绕原点逆时针旋转60，并将所 2 得的图形作关于y轴的对称变换，求变换后的直线方程.
解： 直线l绕原点逆时针旋转60的变换矩阵为:
cos 60 sin 60 A sin 60 cos 60
设P(x, y)为变换后图形上的任意一点，对应直线l 上的点P0 (x 0 ,y0 ),则有
• 课后思考： • 根据本节内容，能得出矩阵乘 法具有那些运算性质？不具有 那些运算性质？
矩阵乘法的概念
复习回顾
回忆我们学过的变换所对应的矩阵. 恒等 反射 旋转
k 伸压 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ， 0 1 ， 0 1 ， 1
cos sin sin cos
1 0 0 1
1 0 0 k 1 0 1 ， 0 1 0
0 1
投影
1 0 0 0 1 0 0 0, 0 1, 1 0
切变
1 k 1 0 0 1 , k 1
cos 2 (2)求A2 sin 2 cos n n (3)求A sin n
从几何角度讲，A,B分别表示绕原点逆时针旋转， 角的旋转 变换矩阵，对平面上的图形施加矩阵AB对应的变换，相当于将 图形先绕原点逆时针旋转 角，再绕原点逆时针旋转 角，它和 对图形绕原点逆时针旋转 + 角的旋转变换是一致的.
2 1 9 11
数学运用
例3、已知梯形 ABCD, A(0,0),B(3,0),C(2,2), D(1,2),先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图 形绕原点逆时针旋转90度， 求连续两次变换所对应的变换矩阵M;
0 1 1 0
1 0 解：关于x轴的反射变换矩阵A= 0 1
1 0 ,B= 0 0
0 1 ,C= 0 1
0 2
计算AB，AC;
1、在矩阵的乘法中， 一般情况下，AB
BA
2、在矩阵乘法中，AB=AC且A0 B=C 在矩阵的乘法中，不满足交换律，和约去律.
数学运用
1 0 3 1 例2、求矩阵A= 2 1 0 2 与B=
复习回顾 二阶矩阵与平面列向量的乘法法则为:
a11 a12 x0 a11 x0 a12 y0 a21 a22 y0 a21 x0 a22 y0
2 0 x 2 x x x 2 x 0 1 y y T : y y y
解：
1 0 3 C=AB= 2 1 0
4 1
4 1 2 1
1 1 0 3
0 3 的乘积AB 1 4
BA=?
AB有意义，但是BA没有意义，故 要注意相乘顺序。（AB≠BA）