【精编】高中数学 1.2.2 高度问题课件 新人教A版必修5-精心整理

出 BC 的长,最后在△ABC 中求出 AB 即为塔高.
解:在△BCD 中,∠BCD=α,∠BDC=β,
∴∠CBD=180°-(α+β),
∴BC
������������������β
=
������������������[180°s -(α+β)],
题型一
题型二
即 BC
������������������β
=
������������������2640°=16
3米,
则
CD=
AD ������������������∠ADC
=
AD ������������������ 30°
=
16
3
3=32
米.
2
答案:32
123
3.如图所示,在高出地面 30 m 的小山顶上建造一座电视塔 CD,在距离 B 点 60 m 的地面上取一点 A,若测得∠CAD=45°,求此电视塔的高度.
题型一
题型二
解:在△ABC 中,∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α,
则 BC
������������������(α-β)
=
������������������(9A0B°+β),
∴AB=BC���������������������������������(���9(α0-°β)+β).
123
1.如图,从山顶 A 望地面上 C,D 两点,测得它们的俯角分别为 45°和 30°,已知 CD=100 米,点 C 位于 BD 上,则山高 AB 等于( )
A.100 米 C.50 2米
B.50 3米 D.50( 3+1)米
123
解析:在△ACD 中,CD=100 米,D=30°,∠DAC=∠ACB-D=45°-30°=15°,
第2课时 高度问题
1.复习巩固正弦定理、余弦定理. 2.能够用正弦定理、余弦定理解决高度问题.
1
2
3
1.正弦定理 (1)定理:在△ABC 中,若角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,则各边和它所对角
的正弦的比相等,即������������a������A
=
b ������������������B
2
3
2.余弦定理 (1)定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两 边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.
(2)推论:cos A=b2+2bc2c-a2,cos B=a2+2ca2c-b2,cos C=a2+2bab2-c2. (3)应用:余弦定理可以用来解决两类解三角形的问题: ①已知三角形的三边,求三角形的三个角; ②已知三角形的两边和它们的夹角,求三角形的第三边和其他两个角.
制作不易 尽请参考
解:设 CD=x m,∠BAC=α,
则 tan α=3600 = 12. 又∠DAB=45°+α,
∴tan∠DAB=tan(45°+α)=1���������-���������������������4������54°5°+������������������������������������αα=3.
=
������������c������C.
(2)应用:正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题: ①已知两角和任意一边,求另两边和另一角; ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求其他的边和角.
1
2
3
【做一做 1】 在△ABC 中,A=30°,B=45°,a= 2,则 b=
.
答案:2
1
又
tan∠DAB=
BD AB
=
x+6030,
∴x+6030=3,∴x=150.∴电视塔的高度为 150 m.
123
题型一
题型二
解决测量高度问题的步骤:
题型一
题型二
题型二
测量不能看到底部且不可到达的物体的高度
【例 2】 如图所示,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 α,在塔 底 C 处测得点 A 的俯角为 β,已知铁塔 BC 部分的高为 h,求山高 CD.
分析:根据已知条件,应该先设法计算出 AB 的值,再在 Rt△ABD 中解得 BD,最后求得山高 CD.
在△ABC 中,∠ACB=45°,∠ABC=90°,AC=������������������5105°米,∴AB=ACsin
45°=5���0������������������������������1��� 54° 5°=50( 3+1)米. 答案:D
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2.如图,线段 AB,CD 分别表示甲、乙两楼,AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部 A
关的实际问题的过程,贯穿了数学建模的思想.这种思想就是从实际出发,经 过抽象概括,把它转化为具体问题中的数学模型,然后通过推理演算,得出数 学模型的解,再还原成实际问题的解.上述思维过程可以用下图表示.
解斜三角形应用题的一般步骤是: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图,化实际问题为数学问 题; (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关 的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型; (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的 解; (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.
处测得乙楼顶部 C 的仰角为 α=30°,测得乙楼底部 D 的俯角 β=60°,已知甲
楼高 AB=24 米,则乙楼高 CD=
米.
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解析:ED=AB=24 米,在△ACD 中,∠CAD=α+β=30°+60°=90°,AE⊥
CD,DE=24 米,
则
AD=
DE ������������������β
1
2
3
(3)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线 的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫 俯角(如图所示).
(4)铅直平面:铅直平面是指与海平面垂直的平面. (5)基线:在测量上,根据测量需要适当确定的线段.
1.高度问题 剖析:测量底部不可到达的建筑物的高度问题,由于底部不可到达,这类
∴AC
������������������D
=
������������������C∠DDAC.
∴AC=������C���������D���∠���������D���������ADC
=
100������������������ 30° ������������������ 15°
=
������������������5105°.
在 Rt△ABD 中,BD=ABsin∠BAD
=BC���������������������(���9���������0���(°α-+β)β)������������������α = h������������������(���9������0���������°(α+-ββ))������������������α, ∴CD=BD-BC=������������������(90°+������������β������)(���α���������-���β���α)-������������������(α-β)h.

=
������������������(sα+β).∴BC=������������������������(������α������+β β)·s.
在△ABC 中,由于∠ABC=90°,∴ABBC=tan θ.
∴AB=BC·tan θ=������������������������������������β(α·������+���������β���θ)·s.
问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理或余弦定理计 算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角 三角形的问题.
在测量底部不可到达的建筑物的高度时,可以借助正弦定理或
余弦定理,构造两角(两个仰角或两个俯角)和一边或三角(两个方向角和仰 角)和一边,如下图.
2.利用解三角形解决实际问题 剖析:解斜三角形知识在生产实践中有着广泛的应用,解与斜三角形有
题型一
题型二
题型一
测量能看到底部但不可到达的物体的高度
【例 1】 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内
的两个测量点 C 和 D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点 C 测得塔顶
A 的仰角为 θ,求塔高 AB.
题型一
题型二
分析:先利用三角形内角和定理求出∠CBD 的度数,再利用正弦定理求
1
2
3
【做一做 2】 在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若
a=1,b= 7,c= 3,则 B=
.
答案:56������
1
2
3
3.测量中的有关概念
(1)坡角:坡面与水平面的夹角,如图所示,α 为坡角. (2)坡比:坡面的铅直高度与水平宽度之比,即 i=hl =tan α,如图所示.