2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析(1215)

南涧彝族自治县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解
析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知变量,x y 满足约束条件20
170
x y x x y -+≤⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
，则y x 的取值范围是（ ）
A ．9[,6]5
B ．9(,][6,)5
-∞+∞ C ．(,3][6,)-∞+∞ D ．[3,6]
2． 有一学校高中部有学生2000人，其中高一学生800人，高二学生600人，高三学生600人，现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ）
A ．15，10，25
B ．20，15，15
C ．10，10，30
D ．10，20，20
3． 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，则CD 1与EF 所成角为（ ）
A ．0°
B ．45°
C ．60°
D ．90° 4． 过抛物线y=x 2
上的点
的切线的倾斜角（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．135°
5． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则
sin :sin C A =（ ）
A ．2︰3
B ．4︰3
C ．3︰1
D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力． 6． 设函数f （x ）
=，则f （1）=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7． 定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x+3）=f （x ），当0＜x ≤1时，f （x ）=2x ，则f （2015）=（ ） A ．2 B ．﹣2 C
．﹣ D
．
8． 已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么∁I （A ∩B ）等于（ ）
A ．{3，4}
B ．{1，2，5，6}
C ．{1，2，3，4，5，6}
D ．∅
9． △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，已知a =b =6
A π
∠=
，
则
B ∠=（ ）111]
A ．4π
B ．4π或34π
C ．3
π或23π
D ．3
π
10．下列关系正确的是（ ）
A ．1∉{0，1}
B ．1∈{0，1}
C ．1⊆{0，1}
D ．{1}∈{0，1}
11．记
,那么
A
B C D
12．若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为，则这个圆的方程是（ ）
A ．()()2
2
210x y -++= B ．()()2
2
214x y -++= C ．()()2
2
218x y -++= D ．()()2
2
2116x y -++=
二、填空题
13．方程（x+y ﹣1）
=0所表示的曲线是 ．
14．向量=（1，2，﹣2），=（﹣3，x ，y ），且∥，则x ﹣y= ．
15．已知实数x ，y 满足，则目标函数z=x ﹣3y 的最大值为
16．设集合 {}{}
22|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,满足
A B =∅,{}|52A B x x =-<≤,求实数a =__________.
17．已知tan β=，tan （α﹣β）=，其中α，β均为锐角，则α= ．
18．设平面向量()1,2,3,
i a i =，满足1i
a =且120a a ⋅=，则12a a += ，
123a a a ++的最大值为 .
【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识，意在考查运算求解能力.
三、解答题
19．设f （x ）=ax 2﹣（a+1）x+1 （1）解关于x 的不等式f （x ）＞0；
（2）若对任意的a ∈[﹣1，1]，不等式f （x ）＞0恒成立，求x 的取值范围．
20．（本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，将曲线1cos :sin x C y θ
θ
=⎧⎨=⎩，（α为参
数），经过伸缩变 换32x x
y y
'=⎧⎨
'=⎩后得到曲线2C ．
（1）求曲线2C 的参数方程；
（2）若点M 的在曲线2C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．
21．（本题满分15分）
若数列{}n x 满足：
111
n n
d x x +-=（d 为常数， *n N ∈），则称{}n x 为调和数列，已知数列{}n a 为调和数列，且11a =，12345
11111
15a a a a a +
+++=. （1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）数列2{}n
n
a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ≥？若存在，求出n
的取值集合；若不存在，请说明理由.
【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.
22．如图，边长为2的正方形ABCD 绕AB 边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF 的位置．
（Ⅰ）求证：CE ∥平面ADF ；
（Ⅱ）若K 为线段BE 上异于B ，E 的点，
CE=2．设直线AK 与平面BDF 所成角为φ，
当30°≤φ≤45°时，求BK 的取值范围．
23．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道（不重复）．
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
24．已知双曲线过点P（﹣3，4），它的渐近线方程为y=±x．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1||PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．
南涧彝族自治县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解
析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A 【解析】
试题分析：作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），
y
x
表示点(,)x y 与原点连线的斜率，易得59(,)22
A ，(1,6)
B ，9
9
2552
OA
k ==，661OB k ==，所以965y x ≤≤．故选A ．
考点：简单的线性规划的非线性应用． 2． 【答案】B
【解析】解：每个个体被抽到的概率等于=
，则高一、高二、高三年级抽取的人
数分别为 800×
=20，600×
=15，600×
=15，
故选B ．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．
3． 【答案】C 【解析】解：连结A 1D 、BD 、A 1B ，
∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，∴EF ∥A 1D ，
∵A 1B ∥D 1C ，∴∠DA 1B 是CD 1与EF 所成角， ∵A 1D=A 1B=BD ， ∴∠DA 1B=60°． ∴CD 1与EF 所成角为60°．
故选：C ．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
4． 【答案】B
【解析】解：y=x 2
的导数为y ′=2x ，
在点
的切线的斜率为k=2×=1，
设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），
由k=tan α=1， 解得α=45°． 故选：B ． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的求法，考查运算能力，
属于基础题．
5． 【答案】C
【解析】由已知等式，得3cos 3cos c b C c B =+，由正弦定理，得
sin 3(sin cos sin cos )C B C C B =+，则sin 3sin()3sin C B C A =+=，所以
sin :sin 3:1C A =，故选C ．
6． 【答案】D
【解析】解：∵f （x ）=，
f （1）=f[f （7）]=f （5）=3．
故选：D ．
7． 【答案】B
【解析】解：因为f （x+3）=f （x ），函数f （x ）的周期是3， 所以f （2015）=f （3×672﹣1）=f （﹣1）；
又因为函数f （x ）是定义R 上的奇函数，当0＜x ≤1时，f （x ）=2x
，
所以f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2，
即f （2015）=﹣2． 故选：B ．
【点评】本题主要考查了函数的周期性、奇偶性的运用，属于基础题，解答此题的关键是分析出f （2015）=f （3×672﹣1）=f （﹣1）．
8． 【答案】B 【解析】解：∵A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，
∴A ∩B={3，4}，
∵全集I={1，2，3，4，5，6}， ∴∁I （A ∩B ）={1，2，5，6}，
故选B ．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
9． 【答案】B 【解析】
试题分析：由正弦定理可得
:
(),sin 0,,sin 24
sin
6
B B B B πππ
=
∴=∈∴= 或34
π
，故选B. 考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数. 10．【答案】B
【解析】解：由于1∈{0，1}，{1}⊆{0，1}，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．
11．【答案】B
【解析】【解析1】,
所以
【解析2】，
12．【答案】B
【解析】
考点：圆的方程.1111]
二、填空题
13．【答案】两条射线和一个圆．
【解析】解：由题意可得x2+y2﹣4≥0，表示的区域是以原点为圆心的圆的外部以及圆上的部分．
由方程（x+y﹣1）=0，可得x+y﹣1=0，或x2+y2=4，
故原方程表示一条直线在圆外的地方和一个圆，即两条射线和一个圆，
故答案为：两条射线和一个圆．
【点评】本题主要考查直线和圆的方程的特征，属于基础题．
14．【答案】﹣12．
【解析】解：∵向量=（1，2，﹣2），=（﹣3，x，y），且∥，
∴==，
解得x=﹣6，y=6，
x﹣y=﹣6﹣6=﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目．
15．【答案】5
【解析】解：由z=x﹣3y得y=，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=，
由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最大，
由，解得，即C（2，﹣1）．
代入目标函数z=x﹣3y，
得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，
故答案为：5．
16．【答案】
7
,3
2
a b
=-=
【解析】
考点：一元二次不等式的解法；集合的运算.
【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了转化
与化归思想的应用，其中一元二次不等式的求解是解答的关键.
17．【答案】 ．
【解析】解：∵tan β=，α，β均为锐角，
∴tan （α﹣β）==
=，解得：tan α=1，
∴α=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了两角差的正切公式，掌握公式是关键，属于基础题．
18．【答案】2，21+. 【解析】∵22
2
12112221012a a a a a a +=+⋅+=++=，∴122a a +=，
而
2
2
2123121233123()2()2221cos ,13a a a a a a a a a a a a ++=+++⋅+=+⋅⋅<+>+≤+，
∴12321a a a ++≤
，当且仅当12a a +与3a 方向相同时等号成立，1.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）＞0，即为ax 2
﹣（a+1）x+1＞0，
即有（ax ﹣1）（x ﹣1）＞0，
当a=0时，即有1﹣x ＞0，解得x ＜1；
当a ＜0时，即有（x ﹣1）（x ﹣）＜0，
由1＞可得＜x ＜1；
当a=1时，（x ﹣1）2
＞0，即有x ∈R ，x ≠1；
当a ＞1时，1＞，可得x ＞1或x ＜；
当0＜a ＜1时，1＜，可得x ＜1或x ＞． 综上可得，a=0时，解集为{x|x ＜1}；
a ＜0时，解集为{x|＜x ＜1}； a=1时，解集为{x|x ∈R ，x ≠1}；
a＞1时，解集为{x|x＞1或x
＜}；
0＜a＜1时，解集为{x|x＜1或x
＞}．
（2）对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，即为ax2﹣（a+1）x+1＞0，
即a（x2﹣1）﹣x+1＞0，对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．设g（a）=a（x2﹣1）﹣x+1，a∈[﹣1，1]．
则g（﹣1）＞0，且g（1）＞0，
即﹣（x2﹣1）﹣x+1＞0，且（x2﹣1）﹣x+1＞0，
即（x﹣1）（x+2）＜0，且x（x﹣1）＞0，
解得﹣2＜x＜1，且x＞1或x＜0．
可得﹣2＜x＜0．
故x的取值范围是（﹣2，0）．
20．【答案】（1）
3cos
2sin
x
y
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
（为参数）；（2
【解析】
试题解析：
（1）将曲线
1
cos :
sin x
C
y
α
α=
⎧
⎨
=
⎩
（α为参数），化为
221
x y
+=，由伸缩变换
3
2
x x
y y
'=
⎧
⎨'
=
⎩
化为
1
3
1
2
x x
y y
⎧'
=
⎪⎪
⎨
⎪'
=
⎪⎩
，
代入圆的方程
2
11
1
32
x y
⎛⎫⎛⎫
''
+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，得到
()()
22
2
:1
94
x y
C
''
+=，
可得参数方程为
3cos
2sin
x
y
α
α
=
⎧
⎨
=
⎩
；
考点：坐标系与参数方程． 21．【答案】（1）1
n a n
=
，（2）详见解析.
当8n =时911
872222015S =⨯+>>，…………13分
∴存在正整数n ，使得2015n S ≥的取值集合为{}
*
|8,n n n N ≥∈，…………15分
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：正方形ABCD 中，CD BA ，正方形ABEF 中，EF BA ．…
∴EF
CD ，∴四边形EFDC 为平行四边形，∴CE ∥DF ．…
又DF ⊂平面ADF ，CE ⊄平面ADF ，∴CE ∥平面ADF ． … （Ⅱ）解：∵BE=BC=2，CE=，∴CE 2
=BC 2+BE 2
．
∴△BCE 为直角三角形，BE ⊥BC ，…
又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA⊂平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD．…
以B为原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标
系，则B（0，0，0），F（0，2，2），A（0，2，0），=（2，2，0），=（0，2，
2）．
设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．
由，，得可取=（1，﹣1，1），…
又=（0，﹣2，m），于是sinφ==，
∵30°≤φ≤45°，∴，即…
结合0＜m＜2，解得0，即BK的取值范围为（0，4﹣]．…
【点评】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．
23．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（1）甲、乙两人从5道题中不重复各抽一道，共有5×4=20种抽法
记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，
则事件A含有的基本事件数为3×2=6…（4分）
∴，
∴甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是…（6分）
（2）记“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”为事件B，
其对立事件为“甲、乙二人都抽到判断题”，记为事件C，
则事件C含有的基本事件数为2×1=2…（8分）
∴，
∴，…（11分）
∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是．…（12分）
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件、对立事件概率计算公式的合理运用．
24．【答案】
【解析】解：（1）设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），
代入点P（﹣3，4），可得λ=﹣16，
∴所求求双曲线的标准方程为
（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1d2=41，
又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6，
∴d12+d22﹣2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=118，
又|F1F2|=2c=10，
∴|F1F2|2=100=d12+d22﹣2d1d2cos∠F1PF2
∴cos∠F1PF2=
【点评】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P的情况下求它的标准方程，并依此求∠F1PF2的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．。