课标5年高考3年模拟A版20高考数学第五章平面向量2平面向量的数量积及平面向量的应用课件文2

课标5年高考3年模拟A版20高考数学第五章平面向量2平面向量的数量积及 平面向量的应用课件文2
2021/4/17
课标5年高考3年模拟A版20高考数学第五章平面向量2平面 向量的数量积及平面向量的应用课件文2
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高考文数（课标专用）
§5.2 平面向量的数量积及平面向量的应用
考点清单
考点一 平面向量的数量积
6
6
答案
6 2021/4/17
课标5年高考3年模拟A版
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一题多解
如图,设OA
=a,OB
=b,则
BA
=a-b,以a,b为邻边作平行四边形
OADB,则由题可知四边形OADB为菱形,且∠AOB=60°,故a与a+b的夹角
为∠AOD=30°.
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3.三角函数法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中,利用正、余弦定
理和三角形的面积公式等内容进行求解.
例2 (2019届河南豫北名校10月联考,14)已知a,b是两个非零向量,且|a|
=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为
.
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解题导引
解析 设a与a+b的夹角为θ,由|a|=|b|得|a|2=|b|2,又由|b|=|a-b|得|b|2=|a-b|2,
2
所以(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4×12+22+4×1 =10,
2
所以|2α+β|= 10 .
答案 10
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方法技巧
方法1 平面向量模长的求解方法
利用向量数量积求解长度问题是向量数量积的重要应用,要掌握此类问 题的处理方法: 1.a2=a·a=|a|2或|a|= a a . 2.|a±b|= (a b)2 = a2 2a b b2 . 3.若a=(x,y),则|a|= x2 y2 或|a|2=x2+y2.
解析 解法一:∵|a+b|= 10 ,∴a2+2a·b+b2=10. ①
又|a-b|= 6 ,∴a2-2a·b+b2=6. ②
①-②,得4a·b=4,即a·b=1,故选A.
解法二:记m=a+b,n=a-b,则|m|= 10 ,|n|= 6 ,且a=1 (m+n),b=1 (m-n),则a·b=
2
2
1 (m+n)·(m-n)= 1(|m|2-|n|2)=1.
则a·b=1 |a|2,∴|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,∴|a+b|= 3 |a|.
2
∴cos θ= (a b) a
=
a2 ab
3 | a |2
=2
=
3.
| a b | | a | | a b | | a | 3 | a |2 2
又知θ∈[0,π],
∴θ= ,即a与a+b的夹角为 .
x12 y12
x
2 2
y
2 2
(其中
θ为a与b的夹角).
(3)求线段长度问题,常利用向量的模长公式:|a|=
a2 =
x12
y12
或| AB |=
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(xB xA )2 (yB yA )2 .
2.向量中常用的结论 在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
∴cos<a,b>= 2 ,
2
∴<a,b>= ,故选B.
4
答案 B
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考向二 求平面向量的模
例3 已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是
.
解析 由α⊥(α-2β)得α·(α-2β)=α2-2α·β=0,
所以α·β=1 ,
1.定义法:利用向量数量积的定义知,cos θ= a b ,其中两个向量的夹角θ
| a || b |
∈[0,π],求解时应求出三个量:a·b,|a|,|b|或找出这三个量之间的关系.
2.坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a,b的夹角,则cos θ=
x1x2 y1 y2
.
x12 y12 x22 y22
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解析
解法一:由题意可知, AC
= AB
+ AD
, BE
=- 1
AB
+ AD
.
2
因为
AC
·BE
=1,所以(AB
+AD
)·
1 2
AB
AD
=1,
即
2
AD +
1
AB
·AD
-1
2
AB
=1.
①
2
2
因为|
AD
|=1,∠BAD=60°,
所以
AB
·AD
=1
|AB
|,
2
因此①式可化为1+
1
|
AB
|-
1
|
AB
|2=1.
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方法3 用向量法解决平面几何问题
1.用向量法解决平面几何问题的基本步骤:①建立平面几何与向量的联
系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量的
问题;②通过向量运算研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
③把运算结果转化成几何关系.
2.用向量法解平面几何问题,主要是通过建立平面直角坐标系将问题坐
4
2
解得|
AB
|=0(舍去)或|
AB
|=
1
,
2
所以AB的长为 1 .
2
解法二:以A为原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系,过D
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作DM⊥AB于点M.
由AD=1,∠BAD=60°,可知AM= 1 ,DM= 3 ,
2
2
∴D
1 2
,
3 2
.
设|
AB
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考向突破
考向一 求平面向量的夹角
例2 已知|a|=1,|b|= 2 ,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为 ( )
A. B. C. D. 2
6
4
3
3
解析 ∵a⊥(a-b),∴a·(a-b)=a2-a·b=0.
∵|a|=1,∴a·b=a2=1,
又知a·b=|a||b|cos<a,b>,|b|= 2 ,
设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).
所以
PA
+3
PB
=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),
所以| PA+3 PB |= 25 (3b 4 y)2 (0≤y≤b),
所以当y=
3 4
b时,|
PALeabharlann +3PB|取得最小值5.
答案 5
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方法2 平面向量夹角的求解方法
2021/4/17
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例1 (2018河南安阳调研,15)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=
90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA +3PB |的最小值为
.
解题导引
2021/4/17
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解析 建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),
2
故AB的长为
1 2
.
答案 1
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|=m(m>0),则B(m,0),C
m
1 2
,
3 2
,
因为E是CD的中点,所以E
m 2
1 2
,
3 2
.
所以
BE
=
1 2
1 2
m,
3 2
,
AC
=
m
1 2
,
3 2
.
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由
AC
·BE
=1可得
m
1 2
1 2
1 2
m
+
3 4
=1,
即2m2-m=0,所以m=0(舍去)或m=1 .
若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,|a|=⑨ x2 y2 .
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考向突破 考向 求平面向量的数量积 例1 (2014课标Ⅱ,4,5分)设向量a,b满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则a·b= () A.1 B.2 C.3 D.5
4
4
答案 A
2021/4/17
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考点二 平面向量数量积的应用
考向基础 1.向量数量积的应用 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件,a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
ab
x1x2 y1y2
(2)求解夹角问题,常利用夹角公式:cos θ= | a || b | =
考向基础 1.两向量夹角的定义和范围
2021/4/17
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3
2.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 3.平面向量的数量积
2021/4/17
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4.向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则 (1)e·a=a·e=⑤ |a|·cos θ . (2)当a与b同向时,⑥ a·b=|a||b| ;当a与b反向时,⑦ a·b=-|a||b| . 特别地,a·a=⑧ |a|2 . (3)|a·b|≤|a|·|b|. 5.坐标表示
(1)在
AI
=λ
|
AB
AB
|
|
AC
AC
|
的条件下,存在λ使得I为△ABC的内心;
a
PA
+b
PB
+c
PC
=0⇔P为△ABC的内心.
(2)|
PA
|=|
PB
|=|
PC
|⇔P为△ABC的外心.
(3)
GA
+
GB
+
GC
=0⇔G为△ABC的重心.
(4) PA ·PB
=PB
·PC
=PC
·PA
⇔P为△ABC的垂心.
标化,然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题,这样可以避免繁杂
的逻辑推理,同时加强了数形结合思想在解题中的应用.
例3
在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若
AC
·
BE =1,则AB的长为
.
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解题导引
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