2022年四川省乐山市永福镇中学高二数学文上学期期末试题含解析

2022年四川省乐山市永福镇中学高二数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 直线（为参数）被曲线截得的弦长为（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
2. 当时，下面的程序段输出的结果是--------------------------------------（）
IF THEN
else
PRINT y
A B C D
参考答案：
D
略
3. 过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B,交其准线于点C.若
则此抛物线的方程为（）
A．B．C．D．
参考答案：B
如图，分别过点A,B作准线的垂线，分别交准线于点E,D，设，则由已知得，由定义得，故，在直角三角形中，
，从而得，求得，因此抛物线方程为，故选B.
4. 已知命题R，R，给出下列结论：①命题
“”是真命题；②命题“”是假命题；③命题“”是真命题④命题
“”是假命题, 其中正确的是( )
A.②④
B.②③
C.③④
D.①②③
参考答案：
B
5. 法向量为的直线，其斜率为（）
A B C
D
参考答案：
A
6. 若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
参考答案：
C
【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．
【分析】先根据正弦定理及题设，推断a：b：c=5：11：13，再通过余弦定理求得cosC的值小于零，推断C为钝角．
【解答】解：∵根据正弦定理，
又sinA：sinB：sinC=5：11：13
∴a：b：c=5：11：13，
设a=5t，b=11t，c=13t（t≠0）
∵c2=a2+b2﹣2abcosC
∴cosC===﹣＜0
∴角C为钝角．
故选C
7. 已知x，y之间的一组数据：则y与x的回归方程必经过（）
A．（2，2） B．（1，3） C．（1.5，4）D．(2，5)
参考答案：
C
试题分析：,所以回归中心为
考点：回归方程
8. 在数列中，则的值为（）
A．49 B． 50 C． 51 D．52
参考答案：
D
略9. 如图，正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，则?=（）
A．﹣B．﹣C．D．
参考答案：
D
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．
【解答】解：∵正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，
∴?=（+）?
=?+?=×1×1×+×1×1×=，
故选：D．
【点评】本题主要考查向量的数量积运算，要求熟练掌握数量积的公式．
10. 设随机变量的分布列如下表所示，且，则=（）.
Ｘ
A．0.5 B．0.3 C． D．-0.2
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：交于A、C与B、D，则四边形ABCD 面积最小值为．
参考答案：
略
12. 正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的外接球表面积为
参考答案：
试题分析： 由正三棱柱的底面边长为2，易得底面所在平面截其外接圆O 的半径
,又由正三
棱柱的高为2，则球心到圆O 的球心距
,根据球心距，截面圆半径，球半径构成直
角三角形， 满足勾股定理，我们易得球半径R 满足：
故外接球的表面积
考点：棱柱的几何特征及球的体积和表面积 13. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表, 的导函数的图象如图所
示.
下列关于的命题：
①函数的极大值点为，； ②函数在
上是减函数； ③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④当时，函数
有个零点；
⑤函数
的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号
是
．
参考答案：
①②⑤
14. 函数的零点所在的区间是，则正整数的值为 .
参考答案：
4
15. 我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为 平方里．
参考答案：
84
【考点】正弦定理．
【分析】由题意画出图象，并求出AB 、BC 、AC 的长，由余弦定理求出cosB ，由平方关系求出
sinB 的值，代入三角形的面积公式求出该沙田的面积． 【解答】解：由题意画出图象： 且AB=13里，BC=14里，AC=15里，
在△ABC 中，由余弦定理得，
cosB===，
所以sinB=
=
，
则该沙田的面积：即△ABC 的面积S=AB?BC?sinB==84．
故答案为：84．
16. 已知数列{a n }中，a 1=1且
=
+1（n∈N*），则a n = ．
参考答案：
【考点】等差数列的性质．
【分析】由数列递推式可知数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，由此求得数列{a n}的通项公式，则答案可求．
【解答】解：由=+1（n∈N*），得
﹣=1（n∈N*），
因为a1=1，
所以=1，
所以数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，
所以=1+（n﹣1）×1=n，
所以a n=．
故答案是：．
【点评】本题考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是基础题．
17. 已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于____.
参考答案：
6
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的左右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于
的动点，直线分别交直线于两点.证明：当点在椭圆上运动时，
恒为定值.
参考答案：
解：（1）由题意可知，，而，且. 解得，
所以，椭圆的方程为
.
（2）.设，
，
……………6分
直线的方程为，令，则，
即
；
直线的方程为，令，则，
即
；
而，即，代入上式，
∴，所以为定值.
略
19. 已知，，分别为三个内角，，的对边，向量，
且．
（1）求角的大小；
（2）若，且面积为，求边的长．
参考答案：
（1）；（2）．
（1）因为，
在三角形中有，
从而有，即，则．
（2）由，结合正弦定理知，
又知，
根据余弦定理可知：，解得．
20. ）
已知在锐角中，内角所对的边分别是，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，的面积等于，求的大小．
参考答案：
解：（1）由得……………………………2分
又…………………5分
（2）由已知得………………………………………8分
又
∴………………………………………………………11分
解得∴、的值都是2. …………………………13分
略
21. 已知函数，．
（1）若，求证：函数是上的奇函数；
（2）若函数在区间上没有零点，求实数的取值范围．
参考答案：
解：（1 ）定义域为关于原点对称．
因为，
所以函数是定义在上的奇函数
（2）是实数集上的单调递减函数（不说明单调性扣2分）又函数的图象不间断，在区间恰有一个零点，有
即解之得，故函数在区间没有零点时，实数的取值范
围是 14分
略
22. 已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，顺次连接椭圆四个顶点所得四边形的面积为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线l与椭圆相交于M，N两点，O为原点，若点O在以MN为直径的圆上，试求点O 到直线
l的距离．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可知：e==，得a=c，2ab=2，a2﹣c2=b2，即可求得a和b的值，求得椭圆的标准方程；
（2）当直线l的斜率不存在时，点O在以MN为直径的圆上，O M⊥ON．求得M和N的坐标，即可求得原点O到直线l的距离为，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由韦达定理求得x1x2=，y1y2=，由?=0，则x1x2+y1y2═0，求得m2=，原点O到直线l的距离为d，则d===．
【解答】解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），焦距为2c．
由e==，得a=c，①
∵椭圆顶点连线四边形面积为2，即2ab=2，②
又∵a2﹣c2=b2，③
联立①②③解得c=1，a=，b=1．
故椭圆的方程为：；…
（2）当直线l的斜率不存在时，点O在以MN为直径的圆上，
∴OM⊥ON．
根据椭圆的对称性，可知直线OM、ON的方程分别为y=x，y=﹣x，
可求得M（，），N（，﹣）或M（﹣，﹣），N（﹣，），此时，原点O到直线l的距离为．…（6分）
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，点M（x1，y1），N（x2，y2），
由，整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，…（8分）
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2?﹣km（﹣）+m2=．∵OM⊥ON，
∴?=0，即x1x2+y1y2═+==0，
即3m2﹣2k2﹣2=0，变形得m2=．
设原点O到直线l的距离为d，则d====．
综上，原点O到直线l的距离为定值．…（10分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，点到直线距离公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．。