完整版向量公式汇总

向量公式汇总
平面向量
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则AB+BC=AC 。

a+b=(x+x' ，y+y')。

a+0=0+a=a 。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a ；结合律：
(a+b)+c=a+(b+c) 。

2、向量的减法
如果a、b 是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0 的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').
3、数乘向量
实数入和向量a的乘积是一个向量，记作入a且I X al = I XI ?l a I。

当入〉0时，Xa与a同方向；
当XV 0时，Xa与a反方向；
当X =0时，X a=0方向任意。

当a=0时，对于任意实数人都有X a=0
注：按定义知，如果X a=0那么X =0或a=0。

实数X叫做向量a的系数，乘数向量Xa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当I XI > 1时，表示向量a的有向线段在原方向(X>0)或反方向(XV0) 上伸长为原来的I XI倍；
当I XI V 1时，表示向量a的有向线段在原方向(X>0)或反方向(XV0) 上缩短为原来的I XI倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：( X a)?b= X (a?b)=(a?。

X b)
向量对于数的分配律(第一分配律)：(X + 11 )a= X a+ !i a. 数对于向量的分配律(第二分配律)：X(a+b)= X a+X b.
数乘向量的消去律：① 如果实数入工且X a=X，那么a=b。

② 如果a^0且X a= 1，!那么X =1
4、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定O w〈a,b〉<n
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。

若a、b不
共线，贝U a?b=|a|?|b|?cos〈 a, b〉；若a、b 共线，则a?b=+- I a ll b I。

向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y。

'
向量的数量积的运算律
a?b=b?a（交换律）；
（入a）?b=入（a?关于数乘法的结合律）;
（a+b）?c=a?c+b?c （分配律）；
向量的数量积的性质
a?a=|a |的平方。

a丄b 〈=〉a?b=O。

|a?b| w |a|?4b|
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即: （a?b）?c丰a?（b?（例如：（a?b）A2丰a A2?b^2
2、向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c （a工，）推不出b=c。

3、|a?b| 工|a|?|b|
4、由|a|=|b| ，推不出a=b 或a=-b。

5、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作axb o若a、b 不共线，则axb的模是：l axb I =|a|?|b|?sin〈a，b> ；axb的方向是：垂直于a和b，且a、b和axb按这个次序构成右手系。

若a、b共线，则aXb=0。

向量的向量积性质：
I ad I是以a和b为边的平行四边形面积。

a X a=0。

a II b〈二〉a>b=0。

向量的向量积运算律
axb=-b >a；
（入a x b= （a>b）=a x （入b ；
（a+b）xc=a x c+b x c.
注：向量没有除法，向量AB/向量CD”是没有意义的。

向量的三角形不等式
1、II a I-I b IIwI a+b IwI a I+I b I；
①当且仅当a、b 反向时，左边取等号；
②当且仅当a、b 同向时，右边取等号。

2、II a I-I b IIwI a-b IwI a I+I b I。

① 当且仅当a 、b 同向时，左边取等号;
② 当且仅当a 、b 反向时，右边取等号。

6. 定比分点
定比分点公式（向量 P1P=X?向量PP2 ）
设P1、P2是直线上的两点，P 是I 上不同于P1、P2的任意一点。

则存在一 个实数 入，使 向量P1P=X?向量PP2 ,入叫做点P 分有向线段P1P2所成的比。

若 P1 （x1,y1），P2（x2,y2），P （x,y ），则有
0P=（0P1讯0P2）（1+入）；（定比分点向量公式）
x=（x1+ 入 x2）/（1+ 入）,
y=（y1+入y2）/（1+。

入（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段 P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=X 0A +卩0B ，且入+卩=1则A 、B 、C 三点共线
三角形重心判断式
在厶ABC 中，若GA +GB +GC=0,则G ABC 的重心
［编辑本段］向量共线的重要条件
若b M0,则a//b 的重要条件是存在唯一实数 入，使a=Xb
a//b 的重要条件是xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

［编辑本段］向量垂直的充要条件
a 丄
b 的充要条件是 a?b=0。

a 丄
b 的充要条件是xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.
空间向量
令 a =（a 1,a 2,a 3）, b 匕也亠），则
(a ’ 6忌 b 2,a 3 b 3)
a ( a i , a 2, a 3)( R) a
b a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3
共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合
如果三个向量a,b, c 不共面:那么对空间任一向量 P ，存在一个唯一的有序实数组
使 p xa yb zc .// a 1 6忌 b 2,a 3 b 3( R) a b 1 a_2 b a 3
b 3
X 、y 、Z ，
推论：设0、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P,都存在唯一的有序实数组
X 、y 、z 使 OP xOA yOB
向量垂直 a b a 1 b 1 a 2b 2 空间两个向量的夹角公式 a b cos a,b |a 1 |b 1 J a j a ； a f （bj b 2 bj
（a = （a i ,a ；,a 3）, b = Qbb ））。

空间两点的距离公式：
d .（X ； x i ）2 （y ； y i ）； （z ； z i ）2 .
利用法向量求点到面的距离 ：
如图，设n 是平面 的法向量，AB 是平面 的一条射线，其中A ，则点B 到平面 l AB d
的距离为
|n|
.异面直线间的距离
uur in
r
d |C D n l （i i ,i ；是两异面直线，其公垂向量为n , C 、D 分别是l i ,l ；上任一点，d 为
|n| l i ,l ；间的距离）.
B 到平面的距离
uui in
I AB n | r
d r （ n 为平面 的法向量，AB 是经过面 的一条斜线， A ）. |n|
直线AB 与平面所成角
uur ur 厂
arcs in UUB m （
m 为平面 的法向量）•
|AB||m| 利用法向量求二面角的平面角 ：
ir r nr m n m n n* r
arccos ―l 或
arccos ―l （ m , n 为平面 , 的法向量）
|m|| n| |m|| n| zOC （这里隐含x+y+z 丰
1）
a 〔
b [ a ； b ； a 3b 3。