浙江省杭州市临安区2017-2018学年第一学期八年级数学期末综合练习数学试卷(解析版)

浙江省杭州市临安区2017-2018学年第一学期八年级数学期末综合练
习数学试卷
一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项最符合题目要求．
1. 已知 a ＝3cm ，b ＝6cm ，则下列长度的线段中，能与 a ，b 组成三角形的是 ( )
A. 2cm
B. 6cm
C. 9cm
D. 11cm
【答案】B
【解析】设第三条边为c ，则3cm ＜c ＜9cm .
故选C.
点睛：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
2. 在平面直角坐标系中，点 M (a 2＋1，－3)所在的象限是( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
故选D.
3. 正比例函数 y ＝(k －2)x 中，y 随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是( )
A. k ≥2
B. k ≤2
C. k ＞2
D. k ＜2
【答案】D
【解析】由题意得：k －2＜0，即k ＜2.
故选D.
点睛：一次函数y =kx +b （k ≠0），当k ＞0时，y 随着x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随着x 的增大而减小. 4. 不等式 1－x ＞0 的解在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】1－x ＞0，即x ＜1.
故选A.
点睛：在数轴上表示不等式的解集注意实心点和空心点的区别.
5. 下列判断正确的是( )
A. 两边和一角对应相等的两个三角形全等
B. 一边及一锐角相等的两个直角三角形全等
C. 顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等
D. 三个内角对应相等的两个三角形全等
【答案】C
【解析】两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，A选项错误；
若一个三角形的直角边和斜边对应相等，那么这两个三角形必然不全等，B选项错误；
C选项正确；
三个内角对应相等的两个三角形相似，但是不一定全等，D选项错误.
故选C.
点睛：掌握三角形全等的判定定理.
6. 已知a＞b，则下列四个不等式中，不正确的是( )
A. a －3＞b －3
B. －a ＋2＞－b ＋2
C. a＞b
D. 1+4a＞1+4b
【答案】B
【解析】不等式左右两边同时减去同一个数，不等式符号不变，A选项正确；
因为a＞b，所以－a＜－b，所以－a＋2＜－b＋2，B选项错误；
因为a＞b，所以a＞b，C选项正确；
因为a＞b，所以4a＞4b，所以1+4a＞1+4b，D选项正确.
故选B.
点睛：掌握不等式的性质，尤其注意不等式左右两边同时乘以或者除以同一个不为0的数时，不等式的负号要改变.
7. 已知(－1，y1)，(1.8，y2)，(-, y3)是直线y = -3x + m (m 为常数)上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y3＞y1＞y2
B. y1＞y3＞y2
C. y1＞y2＞y3
D. y3＞y2＞y1
【答案】B
【解析】∵k=－3＜0，
∴y随着x的增大而减小，
∵－1＜－＜1.8，
∴y1＞y3＞y2.
故选B.
点睛：本题关键在于利用一次函数增减性比较函数值大小.
8. 如图，给出下列四个条件，AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，∠C＝∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF 的共有( )
A. 4 组
B. 3 组
C. 2 组
D. 1 组
【答案】B
【解析】能判断△ABC≌△DEF的组合有：
①AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；
②∠B＝∠E，∠C＝∠F，AB＝DE；
③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF.
故选B.
点睛：掌握三角形全等的判定定理.
9. 如图，直线y = 3x + 6 与x，y 轴分别交于点A，B，以OB 为底边在y 轴右侧作等腰△OBC，将点C 向左平移 5 个单位，使其对应点C′恰好落在直线AB 上，则点C 的坐标为( )
A. (3，3)
B. (4，3)
C. (－1，3)
D. (3，4)
【答案】B
【解析】令x=0，y=6，∴B（0，6），
∵等腰△OBC，∴点C在线段OB的垂直平分线上，
∴设C（a，3），则C '（a－5，3），
∴3=3（a－5）+6，解得a=4，
∴C（4，3）.
故选B.
点睛：掌握等腰三角形的性质、函数图像的平移.
10. 如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R。

若△PQR 周长最小，则最小周长是( )
A. 6
B. 12
C. 16
D. 20
【答案】B
【解析】
作点P关于OA的对称点点E，点P关于OB的对称点点F，连接EF分别交OA于点Q，交OB于点R，连=接OE、OF，
∵P、E关于OA对称，∴OE=OP=12，∠EOA=∠AOP，QE=QP，
同理可证OP=OF=12，∠BOP=∠BOF，RP=RF，
∴OE=OF=12，∠EOF=∠EOP+∠FOP=2∠AOB=60°，
∴△OEF是等边三角形，
∴EF=12，
∴C△PQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12.
故选B.
点睛：本题关键在于利用轴对称的性质确定△PQR 周长最小时点Q、R的位置，再结合等边三角形的判定求出△PQR 的周长.
二、填空题：本题有 6 个小题，每小题 4 分，共24 分．
11. 命题“如果a = b ，那么|a| = |b| ”的逆命题是______________命题．(填写“真”或“假”)
【答案】假
【解析】“如果a=b，那么|a|= |b|”逆命题是：如果|a|=|b|，那么a=b，该命题为假命题.
故答案为假.
12. 如图，在平面直角坐标系中，点P(－1，2)关于直线x＝1 的对称点的坐标为______________．
【答案】(3，2)
【解析】对称点的纵坐标与点P的纵坐标相等，为2，
对称点与直线x=1的距离和P与直线x=1的距离相等，所以对称点的横坐标为3，
所以对称点的坐标为（3，2）.
点睛：掌握轴对称图形的性质.
13. 如图，∠C＝∠D＝90º，添加一个条件：______________(写出一个条件即可)，可使Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．
【答案】AC＝AD 等(答案不唯一)
【解析】已知条件有：∠C=∠D=90°，AB=AB，
所以添加条件AC＝AD可以根据HL判定Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．
故答案为AC＝AD.
点睛：掌握直角三角形全等的判定定理.
14. 已知点M(4－2t，t－5)，若点M 在x 轴的下方、y 轴的右侧，则t 的取值范围是______________．【答案】t ＜2
【解析】由题意得：，
解得t＜2.
故答案为t＜2.
点睛：本题关键在于根据M点的位置判断出点M的横纵坐标的正负，进而列出关于t的不等式组，解出t 的范围.
15. 如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离为1cm，若等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在l1上，另两个顶点A、B 分别在l1、l2上，则AB 的长是______________．
【答案】
【解析】
作AD⊥l1交l1于点D，作BF⊥l1交l1于点E，
∴AD=2，BE=1，
........................
∴∠DAC=∠BCE，
∵等腰直角△ABC，
∴AC=BC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD=BE=1，
∴AC=，
∴AB=.
故答案为.
点睛：本题关键在于通过作垂线构造全等三角形解题.
16. 如图，已知直线y=x＋3 与x 轴、y 轴分别交于点A、B，线段AB 为直角边在第一内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90º．点P 是x 轴上的一个动点，设P(x，0)．
(1)当x ＝______________时，PB＋PC 的值最小；
(2)当x ＝______________时，|PB－PC|的值最大．
【答案】(1). 3(2). -21
【解析】试题分析：（1）作点B关于x轴的对称点点B'，连接B'C交x轴与点P，此时PB＋PC 的值最小，作CD⊥x轴交于点D，要求点P的横坐标即要求直线B'C的解析式，即要求点B'、C的坐标，B'坐标不难求，C的坐标通过△AOB≌△CDA全等可以求得；（2）延长CB交x轴于点P，此时|PB－PC|的值最大，要求点P横坐标，即要求直线BC的解析式，求出直线BC的解析式，令y=0，求出点P的坐标即可.
试题解析：
（1）作点B关于x轴的对称点点B'，连接B'C交x轴与点P，此时PB＋PC 的值最小，作CD⊥x轴交于点D，
令x=0，y=3，B（0，3）；令y=0，x=4，A（4，0），
∴B'（0，－3），AO=4，BO=3，
∵等腰Rt△ABC，∴∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
在△AOB和△CDA中，
，
∴△AOB≌△CDA，
∴AO=CD=4，BO=AD=3，
∴OD=7，
∴C（7， 4），
设直线B'C的解析式为：y=kx+b，
，解得，
∴y=x－3，
令y=0，x=3；
（2）延长CB交x轴于点P，此时|PB－PC|的值最大，
设直线BC解析式为：y=kx+b，
，解得，
∴y=x+3，
令y=0，x=－21.
点睛：本题关键在于利用轴对称的性质以及三角形三边关系确定P点的位置.
三、解答题：本题有7 小题，共66 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解不等式组：.
【答案】−1≤x＜2.
【解析】分析：根据一元一次不等式求解方法，分别求解不等式，并在数轴上表示，重合的部分即为不等式组解集在数轴上的表示.
本题解析：
，
解不等式①得，x≥-1，
解不等式②得，x<2，
在数轴上表示如下：
所以不等式组的解集是−1≤x<2. 不等式组的整数解为 -1,0，1，2.
18. 已知：如图，点E，F 在BC 上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠BED＝∠AFC，AF 与DE交于点O．
求证：OA＝OD．
【答案】见解析
【解析】试题分析：由BE=CF可得出BF=CE，由∠BED＝∠AFC可得出∠AFB＝∠CED，又因为∠A=∠D，所以△ABF≌△DCE，所以AF=DE，因为∠AFB＝∠CED，所以OE＝OF，所以OA＝OD.
试题解析：
解：∵BE＝CF，∠BED＝∠AFC，
∴BF＝CE，∠AFB＝∠CED，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABF≌△DCE(AAS)，
∴AF＝DE，
∵∠AFB＝∠CED，∴OE＝OF，
∴AF－OF＝DE－OE，
即OA＝OD.
点睛：本题主要掌握角角边证明三角形全等的方法.
19. 为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了
A、B 两种型号家用净水器160 台，A 型号家用净水器进价是1500 元/台，售价是2100 元/
台，B 型号家用净水器进价是3500 元/台，售价是4300 元/台．为保证售完这160 台家用净水器的毛利润不低于116000 元，求A 型号家用净水器最多能购进多少台？(注：毛利润＝售价－进价)
【答案】A 型号家用净水器最多能购进60 台．
【解析】试题分析：设能购进A型号家用净水器x台，则B型号家用净水器（160－x）台，每台A型号家用净水器的毛利润为600元，每台B型号家用净水器的毛利润为800元，则x台A型号家用净水器的毛利润为600x元，（160－x）台B型号家用净水器毛利润为800（160－x）元，由题意可列不等式600x+ 800(160 - x) ≥ 116000，解不等式即可.
试题解析：
解：设能购进A型号家用净水器x台．
600x+ 800(160 - x) ≥ 116000
解得x≤ 60 ．
答：A型号家用净水器最多能购进60 台．
点睛：掌握不等式的实际应用，我们在设出未知数后根据题目中的不等量关系列不等式求解.
20. 已知一次函数y＝kx＋4(k≠0)．
(1)当x＝－1 时，y＝2，求此函数的表达式；
(2)函数图象与x 轴、y 轴的交点分别为A、B，求出△AOB 的面积；
(3)利用图象求出当y≤3 时，x 的取值范围．
【答案】(1)y=2x+4 ； (2)4
【解析】试题分析：将x=－1，y=2代入直线解析式求出k即可；（2）令y=0，求出A点的坐标，令x=0，求出B点的坐标，再根据三角形面积公式计算出△AOB 的面积即可；（2）当y=3时，x=－，由图像可得出x≤－.
试题解析：
解：(1)2＝－k＋4，k=2，y=2x+4；
(2) 令y=0，x=－2,；令x=0，y=4，
∴A(－2 ，0) ，B(0 ，4)，
∴AO=2，BO=4，
∴S△AOB=×2×4＝4；
(3) 当y=3时，x=－，
∴x≤－.
点睛：本题关键在于第（3）问将不等式与函数图像结合起来，利用一次函数图像的性质求出不等式的解集.
21. 如图，平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0，3)，点B( ，0)，连接AB．若对于平面内一点C，当△ABC 是以AB 为腰的等腰三角形时，称点C 是线段AB 的“等长点”
(1)在点C1 (－2，)，点C2 (0，－2)，点C3 (，)中，线段AB 的“等长点”是点
______________；
(2)若点D( m ，n )是线段AB 的“等长点”，且∠DAB＝60º，求m 和n 的值．
【答案】C1 ，C3
【解析】试题分析：（1）利用勾股定理分别求出三角形的三条边长，判断是否是以AB为腰的等腰三角形；（2）分两类情况讨论：①当点D在y轴左侧时，②当点D在y轴右侧时，结合等长点的定义分别求出两种情况m、n的值即可.
试题解析：
解：(1) C1 (－2，3+2)，AO=3，BO=，
作C1D⊥x轴交于点D，作C1E⊥y轴交于点E，
∴C1D=3+2，C1E=2，
由勾股定理可得：AB=2，AC1=2，
∴C1是线段AB的等长点；
同理可证：C3是线段AB的等长点；
（2）如图1，
在Rt△AOB中，OA=3，OB=，
∴AB=2，tan∠OAB=，
∴∠OAB＝30°，
①当点D在y轴左侧时，
∵∠DAB＝60°，
∴∠DAO＝∠DAB－∠BAO= 30°，
∵点D( m，n )是线段AB的“等长点”，
∴AD=AB，
∴D（，0），
∴m=，n=0；
②当点D在y轴右侧时，
∵∠DAB＝60°，
∴∠DAO＝∠BAO+∠DAB= 90°，
∴n=3,
∵点D( m，n )是线段AB的“等长点”，
∴AD=AB=2，
∴m=2.
∴m=2，n=3.
点睛：本题关键在于掌握“等长点”的定义，结合等腰三角形的性质求解.
22. 在直线上顺次取A，B，C 三点，分别以AB，BC 为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E．
(1)如图①，连结CD，AE，求证：CD＝AE；
(2)如图②，若AB＝1，BC＝2，求DE 的长；
(3)如图③，将图②中的正三角形BCE 绕B 点作适当的旋转，连结AE，若有DE2＋BE2＝AE2，试求∠DEB 的度数．
【答案】见解析
【解析】试题分析：（1）由△ABD和△ECB都是等边三角形可得
AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，所以∠ABE=∠DBC，所以△ABE≌△DBC，即可证明
AE=DC；（2）
如图②中，取BE中点F，连接DF，由题意不难得出BF=EF=1=BD，再结合∠DBF=60°可得△DBF是等边三角形，进而推出∠EDB=90°，再由勾股定理可求出DE的长；（3）如图③中，连接DC，由已知条件不难证明△ABE≌△DBC，所以AE=DC，因为DE2+BE2=AE2，BE=CE，所以DE2+CE2=CD2，所以∠DEC=90°，因为∠BEC=60°，所以∠DEB=∠DEC－∠BEC=30°．
试题解析：
（1）证明：如图①中，
∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=DC；
（2）如图②中，取BE中点F，连接DF，
∵BD=AB=1，BE=BC=2，∠ABD=∠EBC=60°，
∴BF=EF=1=BD，∠DBF=60°，
∴△DBF是等边三角形，
∴DF=BF=EF，∠DFB=60°，
∵∠BFD=∠FED+∠FDE，
∴∠FDE=∠FED=30°，
∴∠EDB=180°－∠DBE－∠DEB=90°，
∴DE=；
（3）如图③中，连接DC，
∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=DC．
∵DE2+BE2=AE2，BE=CE，
∴DE2+CE2=CD2，
∴∠DEC=90°，
∵∠BEC=60°，
∴∠DEB=∠DEC－∠BEC=30°．
点睛：本题关键在于利用等边三角形的性质证明三角形全等.
23. 如图①，已知直线y = -2x + 4 与x 轴、y 轴分别交于点A、C，以OA、OC 为边在第一象限内作长方形OABC．
(1)求点A、C 的坐标；
(2)将△ABC 对折，使得点A 与点C 重合，折痕交AB 于点D，求直线CD 的解析式(图②)；
(3)在坐标平面内，是否存在点P(除点B 外)，使得△APC 与△ABC 全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）C（0,4）；（2）y=-0.75x+4；（3）P1（0,0）P2（3.2,1.6）P3（-1.2,2.4）
【解析】试题分析：（1）已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后即可求出CD的解析式；（3）将点P在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P 的坐标．
试题解析：（1）A（2，0）；C（0，4）
（2）由折叠知：CD=AD．设AD=x，则CD=x，BD=4-x，
根据题意得：（4-x）2+22=x2解得：x=
此时，AD=，D(2，)
设直线CD为y=kx+4，把D(2，)代入得=2k+4
解得：k=-
∴该直线CD解析式为y=-x+4．
（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）②当点P在第一象限时，如图，
由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，
AD=，PD=BD=4-=，AP=BC=2
由AD×PQ=DP×AP得：PQ=3
∴PQ=
∴x P=2+=，
把x=代入y=-x+4得y=
此时P(，)
（也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）
③当点P在第二象限时，如图
同理可求得：CQ=
∴OQ=4-=
此时P(-，)
综合得，满足条件的点P有三个，
分别为：P1（0，0）；P2(，)；P3(-，)．考点：一次函数综合题．。