8位移法1恢复 共75页
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l2
3i l
3i l2
0
二、由荷载求固端反力
mAB
q
EI
Q AB
l
表7-1
Q BA
mAB f
ql 2
8
Q
f AB
5 8
q
l
Q
f BA
3 8
q
l
q
EI
Q AB
l
mBA
Q BA mBA f
ql 2
8
Q
f AB
3 8
q
l
Q
f BA
5 8
q
l
8
40
2m 4m
3I0
D
3I0
mBCF
ql2
12
41.7
E
F
mCBF 41.7
4m
5m
4m
计算线性刚度i，设EI0=1，则
iABElAAIBBE44I0 1
iBC 1,iCD 1,iBE 4 3,iCF 1 2
梁
M B A 3 iA B B m B A F 3 B 4 0 M C B4C2B4.7 1
EAi li
sin i
EAi li
sin 2 i
P
几何条件
Ni sini P
平衡条件
EliAi sin2i P
P
EAi li
sin2 i
1 2 34 5
A
P
ui
Ni
EAi li
ui
M A0, F Y0
位移法基本要点: （1）基本未知量是结点位移； （2）基本方程的是静力平衡条件； （3）建立基本方程分两步——单杆分析（拆分）求得各杆件刚 度性质； 整体分析（组合）建立位移方向的平衡方程， 解方程求出基本未知量。 （4）由杆件的刚度方程求出杆件内力。
衡前方规程定统！一使1 用。同内理力可得图仍按以B61iMAB31iMBA
MAB
A
MAB
A
EI
l
B
B
MBA MBA
A31iMAB61iMBA
B61iMAB31iMBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A
B
l
以上两过程的叠加
A3 1iMAB 6 1iMBA l
种刚架称 为无侧移刚架。
P=20kN
q=2kN/m
1、基本未知量B
2、固端弯矩
A
EI B B EI
3m 3m
6m
MAB
EI
P B
MBC
q
C m BAFP 8l208 615kNm
mABF15kNm
mBCF
ql2
8
9kNm
MBA
B EI
3、列杆端转角位移方程
设i
第7章
位移法
N EA l l
§7-1 位移法的基本概念
i
1 2 34 5
B B
P
A i
Ai ,li B
ui
B N i
B
ui sini
i B
B
选择 基本 未知 量
物N理i 条E件lAi i ui
ui sini
变形条件
Ni
EAi s
li
ini
Ni
M BC 4 B2 C4.7 1
MCD3C
M B A 3 iAB B m B A 3B 40 MCD3C
梁
M BC 4 B2 C4.7 1
M C B4 C2 B4.7 1
MBE443B 3B
柱
MEB243B1.5B
MCF412C2C MFC212C C
3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括 外力矩。
P
q
Mq
A
B
C
D
M
MCB
MCD
C 4、讨论B点有竖向位移0.2时的计算。
作业 7-2 d e 7-6
7-2其它在教材上练习
位移法基本步骤: 1、确定基本未知量。 2、写出杆端力表达式。（转角位移方程） 3、列平衡方程。 4、求解基本位移。 5、计算杆端力。 6、作内力图。
MAD4iA
M B A4iB2iA
MBE
3iB
3 ql2 16
MBF
iB
3ql2 8
MFB
iB
1ql2 8
例1、试用位移法分析图示刚架。 （1）基本未知量 B、 C
q=20kN/m
（2）杆端弯矩Mi j
A 4I0 B 5I0 C 4I0
mBAF
ql2
8
2042
X1
12
EI l3
X2 0
M M 1X 1M 2X 2
6EI l2
M
6EI l2
EI
l
X1
X2
l/2
X1 1
M1
1
M2
X2 1
§7-2 等截面杆件的刚度方程
一、由杆端位移求杆端弯矩
杆端力和杆端位移的正负规定
MAB
EI
①杆端转角θ A、θ B ，弦转角
β＝Δ/l 都以顺时针为正。
因B = 0，代入(1)式可得
M AB
4i
A
6i l
M BA
2i A
6i l
因MBA = 0，代入(1)式可得
MAB3iA 3li
Q A BQ 因B A B 6 li0 A ,Q A 6 liB B Q 1 B l2 i A 2 0 (2 )
已知杆端弯矩求剪力：取杆 件为隔离体建立矩平衡方程：
QABMAB lMBAQA 0 B
MAB
QAB MAB
Q’‘ AB
注：1、MAB,MBA绕杆端顺时
针转向为正。
Q0
AB
2、
Q0 AB
是简支梁的剪力。
P
MBA
+
P
QBA MBA
Q’‘ BA
Q0 BA
方法二：用力法求解单跨超静定梁
Δ
11X112X21CA 21X122X22CB
9
M图 kNm
15.85
结构计算的三个条件在位移法中体现:
(1)变形连续条件:在确定基本未知量时得到满足； (2)物理条件: 即刚度方程； (3)平衡条件: 即位移法基本方程。
P
A θA
C
θA
影响结构内力的因素包括： 已知载荷：P；
B
M
MAB4iAB
AB
A
A A
结点位移效应：θA
P A
4i
A
2i B
6i l
X2
2i A
4i B
6i l
Δ
可以将上式写成矩阵形式
M AB
4i
M
BA
2i
2i 4i
6i
l 6i
l
A B
QAB
6i l
6i l
q
A
B
C
D
如果已知各杆线刚度ｉ，及Ａ、Ｂ、Ｃ等点转角位移，
画出ＡＢ、ＢＣ杆的弯矩图。
M
AB
4i A
2i B
Pl 8
M BA
2i A
4i B
Pl 8
M BC
4i B
2i C
ql 2 12
M CB
2i B
4i C
ql 2 12
§7-3 无侧移刚架的计算
如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这
12i l 2
(7-7)
几种不同远端支座的刚度方程
（1）远端为固定支座
MAB
A
EI l
（2）远端为固定铰支座
MAB
A
EI l
（3）远端为定向支座
MAB
A
EI
l
MBA
MAB4iA 2iB MBA2iA 4iB
6i 6i
l (1) l
MB 0
MBAMBC0
4 iB 1 5 3 iB 9 0
B
6 7i
M AB 2i7 6i1 51.7 6k2N m
M BA 4i7 6i1 51.5 1k7N m
16.72
11.57 M BC 3i7 6i91.5 1k7N m
EI 6
MAB2iB15
MBC3iB3limBCF
4、位移法基本方程（平衡条件）
MBA4iB15 MBC3iB9
MAB
EI
P B MBC q MBA B EI
MBA
MBC
3、列杆端转角位移方程
MAB2iB15
MBA4iB15 MBC3iB9
4、位移法基本方程（平衡条件） 5、各杆端弯矩及弯矩图
A
②杆端弯矩对杆端以顺时针为正
l
B
MBA
对结点或支座以逆时针为正。
MAB
A
A MAB
1
方法一：由杆端弯矩
M A和 BM B引 A 起 A和 的 B
利用单位荷载法可求得
仅M对AB杆<0B端弯M矩MBA符BAE设 线号I刚规ElI度定，Ai 便EE1l于II1213平MM MBAAAA>BB031l16iM M 32BAABM BBA61ilM 13BA
C
M AC A
MAC
3iACA
3 Pl 16
A
M AC
MABMAC0
B
M AB
4iABA3iACA136Pl0
写出杆端弯矩表达式
q
A
B
4m
FP
D
C
EI=常数
4m
基本未知量： D
4m
i EI /4
MDA
3iD
q42 8
MDB 4iD
MDC
iD
3 8FP4
M
4 EI l
EI
l
X1
X2
l/2
X1 1
M1
1
M2
X2 1
iC RiC
例. 求图示梁由于支座移动引起的内力.
解：
11X112X21C 0 21X122X22C 0
12210
11
l3 12 EI
22
l EI
1C
2C 0
θA
X1
θB
X2
11E 1I2l 3 23E l I22 12E 12 Il1 36E l I21
1C
l
2C
l 3EI
X1
l 6EI
X2
l
A
l 6EI
X1
l 3EI
X2
l
B
令 i EI l
X1=1
1
M1
1/l
1
M2
X2=1 1/l
X1
»在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角
位移方程）：
MAB
4iA
2iB
6i l
mAB
f
MBA
2iA
4iB
6i l
mBAf
6 i
Q A B l
A 6 li B 1 l2 2 i Q A B f
荷载引起的杆端内力称为载常数.（固端力）
P
MBD2iD
MCD
iD
1 8FP4
位移法基本方程：
M D M D A M D B M D C 0
先写出每个杆端的弯矩 再讨论结点力矩平衡
q
C
l
F ql
A
B
l/2
DE
l
A , B
M A0 , M B0
M AC
1 2
ql 2
M A B4iA2iB
MBA
代入（2）式可得
l
1 2
A
M A B iA M B A iA
由单位杆端位移引起的杆端力称为 形常数。- 刚度系数
单跨超静定梁简图
θ=1
A
B
A
θ=1
A A
θ=1
A
B1
B
B
1
B
MAB
4i
6i l
3i
3i l
i
MBA
2i
6i l
0 0
－i
QAB= QBA
6i l 12 i
A B
我们的任务是要由杆端位移求杆端力， 变换上面的式子可得：
B6 1iMAB 3 1iM BA l
MAB4iA MBA2iA
2iB 4iB
6i 6i
l (1) l
Q A BQ B A 6 li A 6 li B 1 l2 i 2 (2 )
2m 4m
(3)位移法方程
M B0 M C0
M BA M BC M BE 0 M CB M CD M CF 0
A
10B 2C 1.70 2B 9C 41.70
q=20kN/m D
4I。B 5I。 C 4I。 3I。 3I。
E
F
4m 5m
4m
(4) 解方程
B 1.15 C 4.89 (相对值)
(5)杆端弯矩及弯矩图
梁
M MB BA C34iAB B 2BCm B4A1F.734B1.4105321.145.89404413.7.5kN 46m .9kNm
........................................................................
例. 求图示梁由于支座移动引起的内力.
解： 11X112X21C 0
21X122X22C 0
12210
11
l3 12 EI
22
l EI
l
1C 2
X1
6
EI
l2
2C
X2
EI
l
M M 1X 1M 2X 2
2 EI l
柱 MBE443B3B31.153.45kNm
MCF412C2C2(4.89)9.8kNm
43.5 46.9
24.5 14.7
A
3.45 B
C 9.8 D
M图 (kNm)
1.7
E
4.89 F
小结
1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；
2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；
3i l
3i l2
0
二、由荷载求固端反力
mAB
q
EI
Q AB
l
表7-1
Q BA
mAB f
ql 2
8
Q
f AB
5 8
q
l
Q
f BA
3 8
q
l
q
EI
Q AB
l
mBA
Q BA mBA f
ql 2
8
Q
f AB
3 8
q
l
Q
f BA
5 8
q
l
8
40
2m 4m
3I0
D
3I0
mBCF
ql2
12
41.7
E
F
mCBF 41.7
4m
5m
4m
计算线性刚度i，设EI0=1，则
iABElAAIBBE44I0 1
iBC 1,iCD 1,iBE 4 3,iCF 1 2
梁
M B A 3 iA B B m B A F 3 B 4 0 M C B4C2B4.7 1
EAi li
sin i
EAi li
sin 2 i
P
几何条件
Ni sini P
平衡条件
EliAi sin2i P
P
EAi li
sin2 i
1 2 34 5
A
P
ui
Ni
EAi li
ui
M A0, F Y0
位移法基本要点: （1）基本未知量是结点位移； （2）基本方程的是静力平衡条件； （3）建立基本方程分两步——单杆分析（拆分）求得各杆件刚 度性质； 整体分析（组合）建立位移方向的平衡方程， 解方程求出基本未知量。 （4）由杆件的刚度方程求出杆件内力。
衡前方规程定统！一使1 用。同内理力可得图仍按以B61iMAB31iMBA
MAB
A
MAB
A
EI
l
B
B
MBA MBA
A31iMAB61iMBA
B61iMAB31iMBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A
B
l
以上两过程的叠加
A3 1iMAB 6 1iMBA l
种刚架称 为无侧移刚架。
P=20kN
q=2kN/m
1、基本未知量B
2、固端弯矩
A
EI B B EI
3m 3m
6m
MAB
EI
P B
MBC
q
C m BAFP 8l208 615kNm
mABF15kNm
mBCF
ql2
8
9kNm
MBA
B EI
3、列杆端转角位移方程
设i
第7章
位移法
N EA l l
§7-1 位移法的基本概念
i
1 2 34 5
B B
P
A i
Ai ,li B
ui
B N i
B
ui sini
i B
B
选择 基本 未知 量
物N理i 条E件lAi i ui
ui sini
变形条件
Ni
EAi s
li
ini
Ni
M BC 4 B2 C4.7 1
MCD3C
M B A 3 iAB B m B A 3B 40 MCD3C
梁
M BC 4 B2 C4.7 1
M C B4 C2 B4.7 1
MBE443B 3B
柱
MEB243B1.5B
MCF412C2C MFC212C C
3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括 外力矩。
P
q
Mq
A
B
C
D
M
MCB
MCD
C 4、讨论B点有竖向位移0.2时的计算。
作业 7-2 d e 7-6
7-2其它在教材上练习
位移法基本步骤: 1、确定基本未知量。 2、写出杆端力表达式。（转角位移方程） 3、列平衡方程。 4、求解基本位移。 5、计算杆端力。 6、作内力图。
MAD4iA
M B A4iB2iA
MBE
3iB
3 ql2 16
MBF
iB
3ql2 8
MFB
iB
1ql2 8
例1、试用位移法分析图示刚架。 （1）基本未知量 B、 C
q=20kN/m
（2）杆端弯矩Mi j
A 4I0 B 5I0 C 4I0
mBAF
ql2
8
2042
X1
12
EI l3
X2 0
M M 1X 1M 2X 2
6EI l2
M
6EI l2
EI
l
X1
X2
l/2
X1 1
M1
1
M2
X2 1
§7-2 等截面杆件的刚度方程
一、由杆端位移求杆端弯矩
杆端力和杆端位移的正负规定
MAB
EI
①杆端转角θ A、θ B ，弦转角
β＝Δ/l 都以顺时针为正。
因B = 0，代入(1)式可得
M AB
4i
A
6i l
M BA
2i A
6i l
因MBA = 0，代入(1)式可得
MAB3iA 3li
Q A BQ 因B A B 6 li0 A ,Q A 6 liB B Q 1 B l2 i A 2 0 (2 )
已知杆端弯矩求剪力：取杆 件为隔离体建立矩平衡方程：
QABMAB lMBAQA 0 B
MAB
QAB MAB
Q’‘ AB
注：1、MAB,MBA绕杆端顺时
针转向为正。
Q0
AB
2、
Q0 AB
是简支梁的剪力。
P
MBA
+
P
QBA MBA
Q’‘ BA
Q0 BA
方法二：用力法求解单跨超静定梁
Δ
11X112X21CA 21X122X22CB
9
M图 kNm
15.85
结构计算的三个条件在位移法中体现:
(1)变形连续条件:在确定基本未知量时得到满足； (2)物理条件: 即刚度方程； (3)平衡条件: 即位移法基本方程。
P
A θA
C
θA
影响结构内力的因素包括： 已知载荷：P；
B
M
MAB4iAB
AB
A
A A
结点位移效应：θA
P A
4i
A
2i B
6i l
X2
2i A
4i B
6i l
Δ
可以将上式写成矩阵形式
M AB
4i
M
BA
2i
2i 4i
6i
l 6i
l
A B
QAB
6i l
6i l
q
A
B
C
D
如果已知各杆线刚度ｉ，及Ａ、Ｂ、Ｃ等点转角位移，
画出ＡＢ、ＢＣ杆的弯矩图。
M
AB
4i A
2i B
Pl 8
M BA
2i A
4i B
Pl 8
M BC
4i B
2i C
ql 2 12
M CB
2i B
4i C
ql 2 12
§7-3 无侧移刚架的计算
如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这
12i l 2
(7-7)
几种不同远端支座的刚度方程
（1）远端为固定支座
MAB
A
EI l
（2）远端为固定铰支座
MAB
A
EI l
（3）远端为定向支座
MAB
A
EI
l
MBA
MAB4iA 2iB MBA2iA 4iB
6i 6i
l (1) l
MB 0
MBAMBC0
4 iB 1 5 3 iB 9 0
B
6 7i
M AB 2i7 6i1 51.7 6k2N m
M BA 4i7 6i1 51.5 1k7N m
16.72
11.57 M BC 3i7 6i91.5 1k7N m
EI 6
MAB2iB15
MBC3iB3limBCF
4、位移法基本方程（平衡条件）
MBA4iB15 MBC3iB9
MAB
EI
P B MBC q MBA B EI
MBA
MBC
3、列杆端转角位移方程
MAB2iB15
MBA4iB15 MBC3iB9
4、位移法基本方程（平衡条件） 5、各杆端弯矩及弯矩图
A
②杆端弯矩对杆端以顺时针为正
l
B
MBA
对结点或支座以逆时针为正。
MAB
A
A MAB
1
方法一：由杆端弯矩
M A和 BM B引 A 起 A和 的 B
利用单位荷载法可求得
仅M对AB杆<0B端弯M矩MBA符BAE设 线号I刚规ElI度定，Ai 便EE1l于II1213平MM MBAAAA>BB031l16iM M 32BAABM BBA61ilM 13BA
C
M AC A
MAC
3iACA
3 Pl 16
A
M AC
MABMAC0
B
M AB
4iABA3iACA136Pl0
写出杆端弯矩表达式
q
A
B
4m
FP
D
C
EI=常数
4m
基本未知量： D
4m
i EI /4
MDA
3iD
q42 8
MDB 4iD
MDC
iD
3 8FP4
M
4 EI l
EI
l
X1
X2
l/2
X1 1
M1
1
M2
X2 1
iC RiC
例. 求图示梁由于支座移动引起的内力.
解：
11X112X21C 0 21X122X22C 0
12210
11
l3 12 EI
22
l EI
1C
2C 0
θA
X1
θB
X2
11E 1I2l 3 23E l I22 12E 12 Il1 36E l I21
1C
l
2C
l 3EI
X1
l 6EI
X2
l
A
l 6EI
X1
l 3EI
X2
l
B
令 i EI l
X1=1
1
M1
1/l
1
M2
X2=1 1/l
X1
»在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角
位移方程）：
MAB
4iA
2iB
6i l
mAB
f
MBA
2iA
4iB
6i l
mBAf
6 i
Q A B l
A 6 li B 1 l2 2 i Q A B f
荷载引起的杆端内力称为载常数.（固端力）
P
MBD2iD
MCD
iD
1 8FP4
位移法基本方程：
M D M D A M D B M D C 0
先写出每个杆端的弯矩 再讨论结点力矩平衡
q
C
l
F ql
A
B
l/2
DE
l
A , B
M A0 , M B0
M AC
1 2
ql 2
M A B4iA2iB
MBA
代入（2）式可得
l
1 2
A
M A B iA M B A iA
由单位杆端位移引起的杆端力称为 形常数。- 刚度系数
单跨超静定梁简图
θ=1
A
B
A
θ=1
A A
θ=1
A
B1
B
B
1
B
MAB
4i
6i l
3i
3i l
i
MBA
2i
6i l
0 0
－i
QAB= QBA
6i l 12 i
A B
我们的任务是要由杆端位移求杆端力， 变换上面的式子可得：
B6 1iMAB 3 1iM BA l
MAB4iA MBA2iA
2iB 4iB
6i 6i
l (1) l
Q A BQ B A 6 li A 6 li B 1 l2 i 2 (2 )
2m 4m
(3)位移法方程
M B0 M C0
M BA M BC M BE 0 M CB M CD M CF 0
A
10B 2C 1.70 2B 9C 41.70
q=20kN/m D
4I。B 5I。 C 4I。 3I。 3I。
E
F
4m 5m
4m
(4) 解方程
B 1.15 C 4.89 (相对值)
(5)杆端弯矩及弯矩图
梁
M MB BA C34iAB B 2BCm B4A1F.734B1.4105321.145.89404413.7.5kN 46m .9kNm
........................................................................
例. 求图示梁由于支座移动引起的内力.
解： 11X112X21C 0
21X122X22C 0
12210
11
l3 12 EI
22
l EI
l
1C 2
X1
6
EI
l2
2C
X2
EI
l
M M 1X 1M 2X 2
2 EI l
柱 MBE443B3B31.153.45kNm
MCF412C2C2(4.89)9.8kNm
43.5 46.9
24.5 14.7
A
3.45 B
C 9.8 D
M图 (kNm)
1.7
E
4.89 F
小结
1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；
2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；