西南大学答案(数学)

高二年级2017-2018学年度第一学期期末数学试题答案
1．计算机执行下面的程序后，输出的结果是()
a＝1
b＝3
a＝a＋b
b＝a－b
PRINT a，b
END
A．1,3 B．4,1
C．0,0 D．6,0
解析本题考查了算法的基本语句．
∵a＝1，b＝3，∴a＝a＋b＝1＋3＝4.
∴b＝a－b＝4－3＝1.
答案 B
2．下面是2×2列联表：
则表中a，b
A．94,72 B．52,50
C．52,74 D．74,52
解析∵a＋21＝73，∴a＝52，又a＋22＝b，∴b＝74.
答案 C
3对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()
A ．p 1＝p 2<p 3
B ．p 2＝p 3<p 1
C ．p 1＝p 3<p 2
D ．p 1＝p 2＝p 3
解析 由随机抽样的原则可知简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p 1＝p 2＝p 3，故选D.
答案 D
4某地区高中分三类，A 类学校共有学生2 000人，B 类学校共有学生3 000人，C 类学校共有学生4 000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A 类学校中的学生甲被抽到的概率为( )
A.110
B.920
C.1
2 000
D.12
解析 利用分层抽样，每个学生被抽到的概率是相同的，故所求的概率为9002 000＋3 000＋4 000＝1
10
.
5（理科）在区间⎝
⎛
⎭
⎪⎫0，π2上随机取一个数x ，使得0＜tan x ＜1成立
的概率是( )
A.18
B.13
C.12
D.2π
解析 由0＜tan x ＜1，得0＜x ＜π
4， 故所求概率为π4π2＝1
2.
答案 C
（文科）“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 由(2x －1)x ＝0⇒x ＝0或x ＝1
2，所以应选B. 答案 B
解析 由逆否命题的含义知，D 正确． 答案 D
6对x ∈R ，关于x 的不等式f (x )>0有解”等价于( ) A ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)>0成立 B ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立 C ．∀x ∈R ，总有f (x )>0成立 D ．∀x ∈R ，总有f (x )≤0成立
解析 “对x ∈R ，关于x 的不等式f (x )>0有解”的意思就是∃x 0
∈R ，使得f (x 0)>0成立，故选A.
答案 A
7（理科）已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2
＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )
A ．2 3
B ．6
C ．4 3
D ．12
解析 由椭圆的定义知：|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a (F 是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a ＝4 3.
答案 C
（文科）已知中心在原点的双曲线
C 的右焦点为F (3,0)，离心率等
于3
2，则C 的方程是( )
A.x 24－y 2
5＝1
B.x 24－y 2
5＝1 C.x 22－y 2
5＝1
D.x 22－y 2
5
＝1
解析 由双曲线C 的右焦点为F (3,0)，知c ＝3. 由e ＝c a ＝3
2，则a ＝2，故b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5， 所以双曲线C 的方程为x 24－y 2
5＝1. 答案 B
8如果命题“p q ⌝
∨（）
”是假命题，那么正确的是( )
A ．p ，q 均为真命题
B ．p ，q 中至少有一个为真命题
C ．p ，q 均为假命题
D ．p ，q 中至多有一个为真命题 解析 由题意知，p ∨q 为真命题， 所以p ，q 中至少有一个为真命题． 答案 B
9已知圆
x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则
p 的值为( )
A ．1
B ．2 C.12
D ．4
解析 圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.
圆心到准线的距离为3－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－p 2＝4，解得p ＝2.
答案 B
10命题“若
a <0，则一元二次方程x 2＋x ＋a ＝0有实根”与其逆命
题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )
A ．0
B ．2
C ．4
D ．不确定
解析 当a <0时，Δ＝1－4a >0，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x 2＋x ＋a ＝0有实根，则a <0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a ≥0，所以a ≤1
4，
显然a <0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假．故正确的命题有2个．
答案 B
11（理科）方程(x －y )
2
＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( )
A ．一条直线和一条双曲线
B ．两条直线
C ．两个点
D ．4条直线
解析 由(x －y )2
＋(xy －1)2
＝0得⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＝0，xy －1＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝－1.
即方程表示两个点(1,1)和(－1，－1)． 答案 C
（文科）若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
解析 ∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN .∴点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆．
答案 A
12．平面直角坐标系中，已知两点
A (3,1)，
B (－1,3)，若点
C 满足
OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )
A ．直线
B ．椭圆
C ．圆
D ．双曲线
解析 设C (x ，y )，则OC
→＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2.
又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线． 答案 A
13．双曲线x 216－y 2
9＝1的两条渐近线的方程为________． 解析 本题考查双曲线的渐近线方程．
由a 2＝16，b 2＝9，得渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x . 答案 y ＝±34x
14．执行如图所示的程序框图，若输入
x ＝9，则输出y ＝________.
解析 x ＝9时，y ＝9
3＋2＝5，|y －x |＝|5
－9|＝4<1不成立；x ＝5，y ＝53＋2＝11
3，|y －x |＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪113－5＝43<1不成
立；x ＝113，y ＝119＋2＝299，|y －x |＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪299－113＝49<1成立，输出y ＝29
9.
答案 299
15.已知两定点
A (－1,0)，
B (2,0)，动点P 满足|P A ||PB |＝1
2，则P 点的
轨迹方程是__________．
解析 设P (x ，y )，则根据两点间距离公式，得 |P A |＝(x ＋1)2＋y 2，|PB |＝(x －2)2＋y 2， 又∵|P A ||PB |＝1
2，∴(x ＋1)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12. 整理，得(x ＋2)2＋y 2＝4即为所求． 答案 (x ＋2)2＋y 2＝4
16.从班委会
5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱
委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
解析 第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法．
第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法．
由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)． 答案 36
17.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪
⎪⎪
y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．条件p ：x ∈A ，条件q ：x ∈B ，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．
解 化简集合A ，由y ＝x 2
－3
2x ＋1，得y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －342＋716. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴y min ＝7
16，y max ＝2.
∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
716，2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫y ⎪⎪⎪
716≤y ≤2.
化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}． ∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B . ∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34.
∴实数m 的取值范围是⎝
⎛⎦
⎥⎤－∞，－34∪⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫
34，＋∞.
18.某校为了比较“传统式教学法”与该校所创立的“三步式教学
法”的教学效果．共选100名学生随机分成两个班，每班50名学生，其中一班采取“传统式教学法”，二班实行“三步式教学法”．
(1)若全校共有学生2 000名，其中男生1 100名，现抽取100名学生对两种教学法的受欢迎程度进行问卷调查，应抽取多少名女生？
(2)表1,2分别为实行“传统式教学法”与“三步式教学法”后
的数学成绩：
表1
的前提下认为这两种教学法有差异．
参考公式：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，其中n ＝a ＋b ＋c
＋d .
参考数据：
解 (1)设抽取女生x 人，则2 000－1 100＝x ，
解得x ＝45，所以女生抽取45人． (2)列联表如下：
K 2的观测值k ＝80×20×50×50
＝6.25，
由此可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为这两种教学法有差异，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这两种教学法有差异．
19．已知椭圆的两焦点为
F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且
2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解 (1)依题意得|F 1F 2|＝2，又2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，
∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a .∴a ＝2，c ＝1，b 2＝3. ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)设P 点坐标为(x ，y )，∵∠F 2F 1P ＝120°， ∴PF 1所在直线的方程为y ＝(x ＋1)·tan120°， 即y ＝－3(x ＋1)．
解方程组⎩⎨⎧
y ＝－3(x ＋1)，x 24＋y 2
3＝1，
并注意到x <0，y >0，可得⎩⎨⎧
x ＝－85，
y ＝33
5.
∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·335＝33
5.
20.某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：
(1)
一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人
中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为5
39，求x，y的值．
解(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5 样
本，设抽取学历为本科的人数为m，∴30
50＝
m
5，解得m＝3.
抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.
从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，
B 3)，(B 2，B 3)．
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)．
∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为7
10. (2)由题意，得10N ＝5
39，解得N ＝78.
∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20， ∴
4880＋x ＝2050＝10
20＋y
，解得x ＝40，y ＝5. 即x ，y 的值分别为40,5.
21．已知抛物线
y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长AB ＝35，
(1)求m 的值；
(2)设P 是x 轴上的一点，且△ABP 的面积为9，求P 的坐标．
解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
＝4x y ＝2x ＋m
⇒4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0，
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 2
4， |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22
(1－m )2－4·m
2
4＝5(1－2m ).
由|AB |＝35，即5(1－2m )＝35⇒m ＝－4. (2)设P (a,0)，P 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝|2a －0－4|22＋(－1)2＝2|a －2|
5，
又S △ABP ＝1
2|AB |·d ， 则d ＝2·S △ABP |AB |，
2|a －2|5＝2×9
35⇒|a －2|＝3⇒a ＝5或a ＝－1， 故点P 的坐标为(5,0)或(－1,0)．
22．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，一曲线E 过C 点，动点P 在曲线E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变．
(1)建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；
(2)直线l ：y ＝x ＋t 与曲线E 交于M ，N 两点，求四边形MANB 的面积的最大值．
解 (1)以AB 为x 轴，以AB 中点为原点O 建立直角坐标系，∵|P A |＋|PB |＝|CA |＋|CB |
＝22＋
22
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫222
＝22>|AB |，
∴动点P 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，从而b ＝1. ∴曲线E 的方程为x 22＋y 2
＝1.
(2)将y ＝x ＋t 代入x 22＋y 2
＝1，得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＝16t 2－4×3×(2t 2－2)>0， ①
x 1
＋x 2
＝－4t 3， ②
x 1x 2
＝2t 2
－23， ③
由①得t 2<3，
∴S 四边形MANB ＝1
2|AB ||y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝|x 1－x 2| ＝236－2t 2≤263.
所以四边形MANB 的面积最大值是26
3.。