杭州师范学院研究生试题

2009级B 班量子力学考试试题-杭州师范大学
姓名 武晓琳 得分
一、 填空题（18分）
1.写出含时薛定谔方程 。

2.完成位置和动量的对易关系：[]=x p
x ˆ, ，其位置动量不确定关系的公式是 。

3.量子力学中力学算符必须是 算符，以保证它的本征值为 数。

4.设()φθψ,,r nlm 设为氢原子的能量本征函数，完成以下积分：
τψψd L nlm V Z nlm ⎰*ˆ= ，τψψd L nlm V
nlm ⎰*2ˆ= 。

5.玻色子和费米子自旋的特点是 ，费米子服从 统计，玻色子服从 统计。

二、 简答题（28分）
1. 简述你对量子力学中微观波粒二象性概念的理解。

2. 叙述量子力学中物理量与厄米算符关系以及厄米算符与力学量测量值之间的
关系。

3. 当量子力学体系的势能与时间无关时，从薛定谔方程出发推导出定态薛定谔
方程。

4. 量子力学中微观粒子的状态对应希尔伯特（Hilbert ）空间的一个矢量，叙述
量子力学中的表象变换在希尔伯特空间对应什么？
5. 电子自旋角动量有什么特点？在S z 表象中，写出自旋角动量三个分量的矩阵
表示。

6. 什么是全同粒子，叙述全同粒子波函数 的性质。

7. （20分）设氦原子中的两个电子处于1s2p 态，两个电子的空间波函数分别
为100ψ，1）写出电子两个可能的空间波函数和四个可能的自旋波函数；2）
写出两个电子交换反对称的总波函数（同时考虑空间自由度和自旋自由度）。

三、（14分）泡利矩阵表示：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010,00,0110z y x i i σσσ，对任意方向：()θϕθϕθcos ,sin sin ,cos sin =n ，求n n ⋅=σσ的本征值及本征矢，验证不同本征
值对应的本征矢相互正交。

四、（15分）对()
Z L L ,2的共同本征态11Y ，证明
(1);0==y x L L
;022
==y x L L （3）求L x 的可能测量值及相应概率。

五、(15分)已知()
Z L L ,2的共同本征函数：
ϕ
ϕ
θπθπ
θπ
i i e Y Y e Y sin 83cos 43sin 83111011==-=-
考虑坐标轴围绕y 轴按右手螺旋方向转动2π，使新坐标系z y x O '''的z '轴与旧坐标系Oxyz 的x 轴重合。

求()
x L L ,2的共同本征函数,,,111011-φφφ，把它们表示为111011,,-Y Y Y 的线性叠加形式。

六、（10分）(1)将波函数()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=22
2exp a x C x ψ归一化，求归一化因子C （2）对归一化后的波函数计算22,,p p x x 和，并验证不确定关系()()4
2
22 ≥∆∆p x 。

（这里：p p p x x x -=∆-=∆）。