2020届高三数学4月调研考试试题理

2020届高三数学4月调研考试试题理
全卷满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷选择题（共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)
1.已知集合，，，则的取值范围是
A. B. C. D.
2.若复数满足，其中为虚数单位，则复数的模为
A. B. C. D.
3.已知平面，则“”是“”成立的
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
4.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为A. 720 B. 768 C. 810 D. 816
5.函数的图象的大致形状是
6.设数列为等差数列，为其前项和，若
，，，则的最大值为
A. 3
B. 4
C.
D.
7.已知: ，则的取值范围是
A. B. C. D.
8.已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足
，的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率（）
A． B． C． D ．
9.将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值可能为（）
A. B. C. D.
10.已知函数，若，且
，则
A. B. C. D. 随值变化
11.已知是双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，与双曲线交于点，且均在第一象限，当直线时，双曲线的离心率为，若函数，则
A. 1
B.
C. 2
D.
12.已知定义在上的函数的导函数为，且
，，则的解集为
A. B. C. D.
第II卷非选择题（共90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是__________．
14.已知实数，满足约束条件则的最小值是
_________.
15.已知集合，从集合中取出个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则的最大值为____．
16.类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念.已知球的一个内接四面体中，，过球心，若该四面体的体积为1，且，则球的表面积的最小值为
______.
三、解答题(本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

)
17. （本题满分12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，点，是线段的两个三等分点，，，求的值．
18. （本题满分12分）如图，在边长为4的正方形中，点
分别是的中点，点在上，且，将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.
试判断与平面的位置关系，并给出证明；
求二面角的余弦值.
19. （本题满分12分）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上各取两个
点，其坐标分别是，，，．
（1）求，的标准方程；
（2）是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交于不同的两点且满足？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．
20. （本题满分12分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取4000名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示.
（1）求这4000名考生的半均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）由直方图可认为考生考试成绩z服从正态分布，其中分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么抽取的4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？
（3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求.（精确到0.001）
附：①；
②，则；
③.
21. （本题满分12分）已知函数.
（1）当时,讨论函数的单调性；
（2）当时,若不等式在时恒成立,求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线的极坐标方程为
，曲线的极坐标方程为（）.
（Ⅰ）设为参数，若，求直线的参数方程；
（Ⅱ）已知直线与曲线交于，，设，且
，求实数的值.
23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若对任意，都存在，使得成立，试求实数的取值范围.
2020届高三数学4月调研考试试题理
全卷满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷选择题（共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)
1.已知集合，，，则的取值范围是
A. B. C. D.
2.若复数满足，其中为虚数单位，则复数的模为
A. B. C. D.
3.已知平面，则“”是“”成立的
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
4.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为
A. 720
B. 768
C. 810
D. 816
5.函数的图象的大致形状是
6.设数列为等差数列，为其前项和，若，，，则的最大值为
A. 3
B. 4
C.
D.
7.已知: ，则的取值范围是
A. B. C. D.
8.已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的
任一点，为内一点，满足，的内心为，且有
（其中为实数），则椭圆的离心率（）
A． B． C． D．
9.将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值可能为（）
A. B. C. D.
10.已知函数，若，且
，则
A. B. C. D. 随值变化
11.已知是双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，与双曲线交于点，且均在第一象限，当直线时，双
曲线的离心率为，若函数，则
A. 1
B.
C. 2
D.
12.已知定义在上的函数的导函数为，且，，则
的解集为
A. B. C. D.
第II卷非选择题（共90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是__________．
14.已知实数，满足约束条件则的最小值是_________.
15.已知集合，从集合中取出个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则的最大值为____．
16.类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念.已知球的一个内接四面体中，，过球心，若该四面体的体积为1，且，则球的表面积的最小值
为______.
三、解答题(本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

)
17. （本题满分12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且
．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，点，是线段的两个三等分点，，，求的值．
18. （本题满分12分）如图，在边长为4的正方形中，点分别是的中点，点在
上，且，将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.
试判断与平面的位置关系，并给出证明；
求二面角的余弦值.
19. （本题满分12分）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是
，，，．
（1）求，的标准方程；
（2）是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交于不同的两点且满足？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．
20. （本题满分12分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取4000名考生的成
绩，频率分布直方图如下图所示.
（1）求这4000名考生的半均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）由直方图可认为考生考试成绩z服从正态分布，其中分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么抽取的4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？
（3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求.（精确到0.001）
附：①；
②，则；
③.
21. （本题满分12分）已知函数.
（1）当时,讨论函数的单调性；
（2）当时,若不等式在时恒成立,求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为（）.（Ⅰ）设为参数，若，求直线的参数方程；
（Ⅱ）已知直线与曲线交于，，设，且，求实数的值.
23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若对任意，都存在，使得成立，试求实数的取值范围.。