工程流体力学3.3流体运动的连续性方程-录像

故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的
第三节 流体流动的连续性方程
【例3-5】 有一不可压缩流体平面流动，其速度分布 规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否连续。
【解】 根据式（3-29）
所以
u 2x sin y v 2x sin y
x
y
u v 2x sin y (2x sin y) 0 x y
V2
V1

d1 d2
2

2 0.5 2 1

0.5(m/s)
第三节 流体流动的连续性方程
图 3-14 输水管道
u v w 0
t x y z
第三节 流体流动的连续性方程
可压缩流体非定常三维流动的连续性方程
u v w 0
t x y z

0 t
可压缩流体定常三维流动的连续性方程
u v w 0
第三节 流体流动的连续性方程
知识点（一）
直角坐标系下连续性微元 方程式
第三节 流体流动的连续性方程
流体连续地充满所占据的空间，当流体流动时在其内部不 形成空隙，这就是流体运动的连续性条件。
质量守恒定律(conservation of mass) ： 连续性方程
若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量 不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以 便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；
如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。 在管路和明渠等流体力学计算中得到极为广泛的应用。
第三节 流体流动的连续性方程
一、连续性微分方程推导
图 3-12 流场中的微元平行六面体
第三节 流体流动的连续性方程
先分析 轴X 方向
u u(x, y, z, t) (x, y, z, t)
t 2 t 2
上述两者之差为在dt时间内沿x轴方向流体质量的变化，即 t
u dx u dxdydzdt (u)dxdydzdt
x
x
x
同理可得，在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分 别为：
(v)dxdydzdt (w)dxdydzdt
经简化得到??????0????????????zwyvxut????第三节流体流动的连续性方程????????????0????????????????????????zwyvxut????????0???t?????????????0??????????????????zwyvxu??????0??????????????????zwyvxu?可压缩流体非定常三维流动的连续性方程?可压缩流体定常三维流动的连续性方程const?不可压缩流体三维流动的连续性方程第三节流体流动的连续性方程0??????????????????zwyvxu?不可压缩流体三维流动的连续性方程物理意义
y,
z,t)
u t
dx 2
dydzdt
dx u u dx dydzdt
t 2 t 2
第三节 流体流动的连续性方程
同理可得在dt时间内从右边微元面积dydz流出的流体质量为
dx u u dx dydzdt
不可压缩流体二维流动的连续性方程 u v 0 x y
适用范围：不论是对理想流体还是实际流体都适用。
第三节 流体流动的连续性方程
知识点（二）
微元流束和总流的连续性 方程
第三节 流体流动的连续性方程
二、微元流束和总流的连续性方程 研究对象： 在管道中流动的流体
一维流动的问题
1、在流场中取一微元流束 2、假定流体的运动是连续的、定常的
第三节 流体流动的连续性方程
1V1 A1 2V2 A2
物理意义：
当流动为可压缩流体定常流体动时，沿流动方向的 质量流量为一个常数。
不可压缩流体一维定常 流动的总流连续性方程
V1 A1 V2 A2
在同一总流上，
流通截面积大的截面上流速小，在流通截面积小截面上流 速大。
第三节 流体流动的连续性方程
在单位时间内通过微元流管的任一有效截面的流体质量都应相等，即
1V1dA1 2V2dA2 VdA const
dA1 、dA2 — 分别为1、2两个有效截面的面积，m2； V1 、V2 — 分别为dA1和dA2上的流速，也称为真实流速，m/s； ρ 1 、ρ 2— 分别为dA1和dA2处的流体密度，kg/m3。
故此流动是连续的。
第三节 流体流动的连续性方程
【例3-6】 有一输水管道，如图3-14所示。水自截面
1-1流向截面2-2。测得截面1-1的水流平均流速V 2m/s，
已知d1=0.5m，
d2=1m，试求截面2-2处的平均流速
V
为
2
多少？
【解】 由式（3-33）得
V1

4
d 12
V2

4
d
2 2
根据泰勒级数展开式，略去高于一阶的无穷小量，得在dt 时间内，沿x轴方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为
x dx , y, z, t u x dx , y, z, t dydzdt
2
2


( x,
y,
z, t)


t
dx 2
u(
x,
图 3-13 流场中的微元流束
第三节 流体流动的连续性方程
【例3-4】 假设有一不可压缩流体三维流动，其速度 分布规律为）U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。试分 析该流动是否连续。
【解】 根据式（3-28）
所以
u 3 x
v 4 y
w 2 z
u v w 9 0 x y z
(x, y, z, t dt) dt
t
第六面体内因密度的变化而引起的 质量变化为
dt dxdydz dxdydz dxdydzdt
t
t
根据连续性条件，因此上式应和在dt时间内经过微元 六面体的流体质量总变化相等。经简化得到
y
z
第三节 流体流动的连续性方程
因此，在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为


u
x

v
y

w
z
dxdydzdt
由于流体是作为连续介质来研究的，所以上式所表示 的六面体内流体质量的总变化，唯一的可能是因为六 面体内流体密度的变化而引起的。
设开始瞬时流体的密度为 ，经过dt时间后的密度为
x y
z
ρ＝const
不可压缩流体三维流动的连续性方程
u v w 0 x y z
第三节 流体流动的连续性方程
不可压缩流体三维流动的连续性方程 u v w 0 x y z
物理意义：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流 量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出 的体积流量相等。
第三节 流体流动的连续性方程
1V1dA1 2V2dA2 VdA const
流体在管道中的流动（总流流动）
1V1dA1 2V2dA2 VdA 常数
A1
A2
A
一维流动积分形式 总流的连续性方程
V1 V2 有效截面l和2上的平均流速
1V1A1 2V2 A2