2019-2020学年江苏省苏州市高二上学期期末学业质量阳光指标调研考试数学试题

2019-2020学年江苏省苏州市高二上学期期末学业质量阳光指标调研考试数学试题
苏州市2019-2020学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学
注意事项：
1.填写准考证号和姓名，涂黑试卷类型A后的方框。

2.选择题用2B铅笔涂黑答案，非选择题用签字笔直接答在答题卡上。

3.选考题先涂黑题号，再用签字笔写答案。

4.保持卡面清洁，不使用涂改液、胶带纸、修正带等。

5.考试结束后，将试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）
1.下列不等式中成立的是
A。

若a>b，则ac>bc
B。

若a>b，则a>b
C。

若a<b<c，则a<bc<b
D。

若a<b<c，则a<b<c
2.不等式x(4-x)<3的解集为
A。

x3
B。

x4
C。

1<x<3
D。

0<x<4
3.双曲线$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{5}=1$离心率为3，焦点为$\left(\pm\sqrt{34},0\right)$。

该双曲线的渐近线方程为A。

$y=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}x$
B。

$y=\pm\sqrt{10}x$
C。

$y=\pm\frac{2\sqrt{10}}{5}x$
D。

$y=\pm\frac{5\sqrt{10}}{2}x$
4.椭圆的两个焦点分别为$F_1(-8,0)$，$F_2(8,0)$，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的标准方程为A。

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$
B。

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$
C。

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$
D。

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$
5.等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=1$，且$4a_1$，$2a_2$，$a_3$成等差数列，则$S_4=$
A。

7
B。

8
C。

15
D。

16
6.已知正方体$ABCD$-$A_1B_1C_1D_1$中，$E$是
$CD$的中点，直线$A_1E$与平面$B_1C_1D_1$所成角的正弦
值为
A。

$\frac{1}{\sqrt{3}}$
B。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D。

1
祝考试顺利！
7.中国古诗词中有一道数学名题叫做“八子分绵”，题意是
将996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，相邻两个儿子中，年龄小的比年龄大的多分到17斤绵，求第8个儿子分到的绵数。

经过计算，得到答案为D.174斤。

8.对于不等式(ax-1)<x，若恰有两个整数解，则实数a的
取值范围是 C.[-2332/3443,-2233/3443)U(2233/3443,2332/3443]。

9.正确的判断是D.若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该动点的轨迹是一条抛物线。

10.已知向量(a·b)c=b·c=(1,2,3)，b=(3,-1)，c=(-1,5,-3)，则正确的等式是B.(a+b)·c=a·(b+c)。

11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2(an-a)（其中a 为常数），则正确的说法是B.数列{an}可能是等差数列。

12.已知方程mx^2+ny^2=mn和mx+ny+p=0（其中mn≠0且m，n∈R，p＞0），它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是两个相交的圆。

注：文章中的编号和题目不对应，已按照题目重新编号。

同时，第7题和第8题的题干有误，已进行修改。

13.已知向量a=(1,4,3)。

b=(-2,t,-6)，且a∥b，则t的值为多少？
14.已知正实数x，y满足x+4y=1，求f(x,y)=11/(xy)的最小值。

15.早在一千多年之前，我国就开始使用溢流孔来减轻桥身重量和水流对桥身的冲击。

现在有一个桥拱，上面有4个溢
流孔，它们的轮廓线都是抛物线的一部分，并且相同。

根据图中的尺寸，在平面直角坐标系xOy中，桥拱所在抛物线的方
程为什么？溢流孔与桥拱交点B的坐标是多少？（第一空2
分，第二空3分）
16.已知一族双曲线En：x-y=22*(n∈N，且n≤2020)，直
线x=2与En在第一象限内的交点为An，由An向En的两条
渐近线作垂线，垂足分别为Bn，Cn。

记△ABC的面积为an，则a1+a2+a3+。

+a2020=？
17.解下列不等式：（1）x-4x-12≤0；（2）2(x+2)<2(x-3)。

18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且
S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列。

（1）求数列{an}的通
项公式；（2）已知数列{bn}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn。

19.如图1，一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图2，其结构为上、下两栏，下栏为两个
完全相同的矩形，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均
为8(cm)，上栏和下栏的框内矩形高度（不含铝合金部分）比
为1：2，此铝合金窗占用的墙面面积为(cm²)，设该铝合金窗
的宽和高分别为a(cm)和b(cm)，铝合金的透光部分的面积为
S(cm²)（外推窗框遮挡光线部分忽略不计）。

（1）试用a，b
表示S；（2）若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？
20.已知抛物线x=4y，过点P(4,2)作斜率为k的直线l与抛物线交于不同的两点M，N。

（1）求k的取值范围；
21.已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=t，M是线段EF的中点。

1) 证明: AM平行于平面BDE。

证明：由于平面ABCD和平面ACEF互相垂直，所以它
们的法向量分别为n1=(0,0,1)和n2=(1,0,0)。

则它们的向量积
n=n1×n2=(0,-1,0)。

又因为M是EF的中点，所以向量
AM=0.5(EF+EA)。

向量AM在n的方向上的投影为0，因此
AM与n垂直，即AM平行于平面BDE。

2) 若t=1，求二面角ADF-B的大小。

解：由于正方形ABCD和矩形ACEF在同一平面内，所
以它们的法向量必定共线。

又因为AM平行于平面BDE，所
以AM也与它们的法向量共线。

因此，ADF和B的法向量分别为n1=(0,0,1)和n2=(1,0,0)，它们的夹角为90度。

同理，ABF和D的法向量分别为n3=(0,0,-1)和n4=(-1,0,0)，它们的夹角也为90度。

因此，ADF和B以及ABF和D都是直角。

所以，二面角ADF-B的大小为180度。

3) 若线段AC上总存在一点P，使得PF垂直于BE，求t 的最大值。

解：连接BF并延长交AC于点Q。

则由题意得，
∠PFQ=90度，∠QBE=90度，因此，P、F、Q、B共面。

又因为ABCD为正方形，所以∠ABF=45度，∠AFB=135度。

因此，∠BFQ=45度，∠QFC=90度-∠BFQ=45度。

又因为AC=2√2，所以AQ=QC=√2.因此，FC=t-√2.由勾股定理得，BF=√2t。

在△BFP中，由正弦定理得，sin∠BFP=BF/FP。

又因为∠BFP=45度，所以sin∠BFP=1/√2.因此，
FP=BF/sin∠BFP=√2t。

在△AFP中，由勾股定理得，
AP=√(AF^2+FP^2)=√(t^2+2t)。

因为PF垂直于BE，所以PF是BE的高，所以PF≤BE=2.因此，√(t^2+2t)≤2，解得t的最大值为2-√2.
22.已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，左、右焦点分别
为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，P为椭圆上在第一象
限内一点。

1) 若SVPF1F2=SVPAAF2=SVPBF1，求椭圆的离心率e
和直线PF1的斜率。

解：由于F1和F2是椭圆的焦点，所以它们的坐标为F1(-c,0)和F2(c,0)，其中c=√(a^2-b^2)。

因为右顶点A的坐标为(a,0)，所以c0，y>0.设直线PF1的斜率为k，则PF1的斜率为
-1/k。

由于SVPF1F2=SVPAAF2=SVPBF1，所以三角形PF1F2、PAAF2和PBF1的面积相等。

因此，
PF1×F2/2=AA2×AF2/2=BB1×BF1/2.因为F1和F2的坐标为(-
c,0)和(c,0)，所以F1F2=2c=2√(a^2-b^2)。

因为A的坐标为(a,0)，所以AA2=a-b。

因为B的坐标为(0,b)，所以BB1=b-c。

因此，PF1×√(a^2-b^2)=a-b×c和PF1×√(a^2-b^2)=b-c×c。

解得
PF1=√(a^2-b^2)/(1+k^2)。

因此，直线PF1的斜率为k=-√(a^2-
b^2)/PF1=-(a^2-b^2)/b。

2) 若SVPAAF2，SVPF1F2和SVPBF1成等差数列，且
∠F1BO≤30度，求直线PF1的斜率的取值范围。

解：由于SVPAAF2，SVPF1F2和SVPBF1成等差数列，
所以PF1×F2=AA2×AF2=BB1×BF1.因为∠F1BO≤30度，所以
F1B≥√3×F1O，即b-c≥√3×a/2.因为F1F2=2c，所以PF1=√(a^2-b^2)/(1+k^2)≤√(a^2-b^2)/3.因此，-(a^2-b^2)/b≤k≤-b/(a^2-b^2)。