高考数学复习知识点讲解教案第26讲 函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用
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，
3
3
2π
2π
3
故 π = sin 4π −
= sin −
=− .
3
3
2
[总结反思]
根据三角函数图象求解析式,关键在于对, , 的理解,主要从以下三个方面考虑:
（1）根据最大值或最小值求出的值.
（2）根据最小正周期求出 的值.
（3）求 的常用方法如下:①代入法,把图象上的一个已知点的坐标代入（此时要
8
π
4
π
4
= sin 2 −
所以为了得到 的图象，只需将
3π
4
+
π
2
= cos 2 −
3π
4
= cos 2 −
3π
的图象向右平移 个单位长度.故选B.
8
3
π
8
，
（2）
[2023·重庆南开中学质检] 将函数 = sin +
π
3
+ sin 的图象向左
平移 > 0 个单位长度后所得图象关于轴对称，则实数的最小值为(
∈ .
3 9
−
2 2
13π
18
，得
9
13
9
2
4π
−
9
3
2
−
9
2
<
9
5
∈ ，
∈ ，故 = 0，
π
6
+ = 0，
（2）
−
已知函数 = 2cos + 的部分图象如图所示，则满足条件
4π
−
9
4π
− ,0
9
π
6
+ =
π
−
2
在函数 的图象上，∴ cos ×
3
2
+ 2π ∈ ,∴ = −
∴ 的最小正周期 =
10π
由题图可知
9<
<<
1
或
39
2π
=
2π
=
2π
=
<
2π
3 9
−
2 2
4π
的最小正周期为 .故选C.
3
∈ ,
π
4
π
4
的振幅为2，
2.［教材改编］
将函数 = 3sin 2 +
π
4
π
的图象向左平移 个单位长度后得到
3
11
3sin
2
+
π
函数 = 的图象，则 =_____________________.
12
[解析] = +
π
3
= 3sin2 +
π
3
π
4
+ = 3sin 2 +
π
，则
6
1
与曲
2
π =
3
−
2
______.
［思路点拨］设
2 − 1 =
1
1 ,
2
,
1
2 ,
2
2π
，从而得到
3
,依题可得2 − 1 =
的值，再根据
一个值，进而可得 ，从而求得 π .
2
π
3
π
，结合sin
6
=
1
的解可得
2
= 0以及 0 < 0，可得 的
1
1 ,
π
3
右
的图象,可以将函数 = 2sin 5的图象向____平
π
移_____个单位长度.
15
[解析] = 2sin 5 −
故将函数 = 2sin
π
3
= 2sin 5 −
π
15
,
π
5的图象向右平移 个单位长度即可得到
15
= 2sin 5 −
π
3
的图象.
5.若
π
8
= 2sin + + 对任意实数都有
4
+
3π
4
［思路点拨］由最大值、最小正周期以及 −1 = 0分别得到, , 的值，进而
得到函数 的解析式.
[解析]
由题图可知
2
解得 =
π
，所以
4
= 3 − −1 = 4， = 3，所以 =
= 3sin
由题图得 −1 = 3sin
解得 =
5π
4
π
−
4
π
4
2π
8，即
化的数学模型.
◆ 知识聚焦 ◆
1.用五点法画 = sin
+ > 0, > 0 在一个周期内的简图时,要找五个特
征点,如下表所示：
π−
_____
______
2π−
_______
+
0
___
π
___
2
π
___
3π
____
2
2π
____
= sin +
4
10 + = 2π ， ∈ ,0 < < π ，
= 10sin
π
8
+
3π
4
+ 20， ∈ [6,14].
题组二 常错题
◆ 索引：搞错，图象应平移多少个单位长度;不能正确理解三角函数图象对称性的
特征导致出错;不能准确确定函数解析式导致出错.
4.为了得到函数 = 2sin
5 −
π
3
− 2 =
2π
3
+
3
，
2
3
的图象.
2
+ 2π ， ∈ ，
5π
取得最小正值，最小正值为 .
6
[总结反思]
由 = sin 的图象变换到 = sin + 的图象,两种变换中平移的量的区别:先
平移再伸缩,平移的量是
个单位长度;先伸缩再平移,平移的量是
> 0 个单
位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对而言的,即本身加减多少值,而不
4
= sin 的图象，
故A正确，B错误；
对于C，将 = sin
可得 = sin2 +
π
π
2 − 的图象上所有点向左平移 个单位长度，
4
8
π
π
− = sin 2的图象，
8
4
将 = sin 2的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
可得 = sin 的图象，故C正确；
又 < π ，所以 =
所以 = 2 3sin
3π
4
π
，
8
∈ ，
3π
− ，
4
π
8
−
3
π
4
，所以 2 = 2 3sin
π
4
−
3π
4
= −2 3.
探究点一 函数 = + 的图象变换
例1（1）
（多选题）[2023·重庆巴蜀中学模拟]
只需将 = sin 2 −
π
=
1
sin
2
2 +
3
2
1 + cos 2 = sin 2 +
π
3
故将 的图象向右平移 > 0 个单位长度得到 = sin 2 + − 2 +
由 = cos 2 +
解得 =
故选A.
π
−
6
π
6
+
3
2
= sin 2 +
2π
3
+
3
π
，令
2
3
− π ， ∈ ，当 = −1时，
= 8，
+ .
+ =
π
0，所以−
4
+ = π + 2π , ∈ ，
+ 2π , ∈ ，
又 < π ，所以 =
3π
− ，所以
4
= 3sin
π
4
−
3π
4
，故选A.
（2）
[2023·新课标Ⅱ卷] 已知函数
= sin( + )，如图，，是直线 =
线 = 的两个交点，若 =
11
π
12
.
3.[教材改编]
如图，某地一天6～14时的温度变化曲线为函数 = sin + +
> 0, > 0,0 < < π 的图象的一部分，则这段曲线的
π
3π
=
10sin
+
+
20，
∈
[6,14]
函数解析式为__________________________________________.
π
6
π
6
.由题得函数 的图象关于轴对称，则 0 = ± 3,
∴ sin +
π
6
π
2
又 > 0,∴
π
实数的最小值为 .故选C.
3
π
3
= ±1,∴ + = + π ∈ ,∴ = + π ∈ ，
探究点二 函数 = + 的图象与解析式
例2（1）
注意该点的位置）或把图象的最高点或最低点的坐标代入；②五点法,确定 的
值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
变式题（1）
设函数 = cos +
π
6
在
[−π ，π]的图象大致如图所示，则 的最小正周
期为(
10π
A.
9
C
)
7π
B.
6
4π
C.
3
3π
D.
2
[解析] ∵ 点
∴
是依赖于加减多少值.
变式题（1）
[2023·辽宁阜新联考] 为了得到函数 = sin 2 −
只需将函数 = cos 2的图象(
3π
B.向右平移 个单位长度
8
π
C.向左平移 个单位长度
8
π
D.向右平移 个单位长度
8
[解析] 因为 = sin 2 −
的图象，
B )
3π
A.向左平移 个单位长度
π
8
+ =
π
8
− ,且
= −3,则实数 =___________.
−1或−5
[解析] 由
故当 =
π
8
+ =
π
时,函数
8
π
8
− 得，直线 =
π
为函数
8
的图象的一条对称轴,
取得最大值或最小值,则−2 + = −3或2 + = −3,
解得 = −1或 = −5.
π
A.
6
π
B.
4
[解析] = sin cos
π
3
π
C.
3
+ cos
π
sin
3
+ sin =
C )
π
D.
2
3
sin
2
+
3
cos
2
= 3sin +
π
6
，
将函数 的图象向左平移 > 0 个单位长度后所得图象对应的函数记为 ，
则 = 3sin + +
6.已知函数
= sin + > 0, > 0, < π
−2 3
的部分图象如图所示，则 2 =________.
[解析] 由题图可得 = 2 3，又 = 2 × [6 − −2 ] = 16，所以 =
π
所以
8
× 6 + = 2π ∈ ，得 = 2π −
8
4
[解析] 从题图中可以看出，
6～14时的温度变化曲线是函数 = sin + + 在半个周期内的图象，
1
2
1
2
所以 = × 30 − 10 = 10， = × 30 + 10 = 20，
1
又
2
×
2π
所以 =
= 14 − 6，所以 =
π
π
.又 ×
8
8
3π
，所以所求解析式为
4
2
［思路点拨］根据三角函数的图象变换规则，逐项判断，即可求解.
[解析] 将 = sin 2 −
得到 = sin −
π
4
π
4
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
的图象，又 = sin +
所以将 = sin −
π
4
π
4
π
4
− = sin ，
π
的图象向左平移 个单位长度可得
频率
1
2π
= =____
相位
初相
+
________
___
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1π
π
2,
,
1.［教材改编］ 函数 = 2sin 2 + 4 的振幅、频率和初相分别为________.
π4
[解析] 由振幅、频率和初相的定义可知，函数 = 2sin 2 +
1
π
频率为 ，初相为 .
[2023·江苏扬州中学模拟] 已知函数
= sin + > 0, > 0, < π 的部分图象如
图所示，则 的解析式为(
A. = 3sin
π
4
C. = 3sin
π
4
−
3π
4
−
π
4
A
)
B. = 3sin
π
4
D. = 3sin
π
4
+
π
2
1
π
[解析] 依题意设
, 2 , ，则2 − 1 = ，
2
6
2π
π
2π
因为2 + − 1 + = ，即 = ，所以 = 4，
3
6
3
2π
8π
又 + = 2π ， ∈ ，所以 = − + 2π ， ∈ ，
3
3
2π
2π
不妨取 = − ，则 = sin 4 −
对于D，将 = sin 2 −
可得 = sin 2 −
将 = sin 2 −
3π
4
得到 = sin 4 −
3π
4
π
4
π
的图象上所有点向右平移 个单位长度，
3
3
2π
2π
3
故 π = sin 4π −
= sin −
=− .
3
3
2
[总结反思]
根据三角函数图象求解析式,关键在于对, , 的理解,主要从以下三个方面考虑:
（1）根据最大值或最小值求出的值.
（2）根据最小正周期求出 的值.
（3）求 的常用方法如下:①代入法,把图象上的一个已知点的坐标代入（此时要
8
π
4
π
4
= sin 2 −
所以为了得到 的图象，只需将
3π
4
+
π
2
= cos 2 −
3π
4
= cos 2 −
3π
的图象向右平移 个单位长度.故选B.
8
3
π
8
，
（2）
[2023·重庆南开中学质检] 将函数 = sin +
π
3
+ sin 的图象向左
平移 > 0 个单位长度后所得图象关于轴对称，则实数的最小值为(
∈ .
3 9
−
2 2
13π
18
，得
9
13
9
2
4π
−
9
3
2
−
9
2
<
9
5
∈ ，
∈ ，故 = 0，
π
6
+ = 0，
（2）
−
已知函数 = 2cos + 的部分图象如图所示，则满足条件
4π
−
9
4π
− ,0
9
π
6
+ =
π
−
2
在函数 的图象上，∴ cos ×
3
2
+ 2π ∈ ,∴ = −
∴ 的最小正周期 =
10π
由题图可知
9<
<<
1
或
39
2π
=
2π
=
2π
=
<
2π
3 9
−
2 2
4π
的最小正周期为 .故选C.
3
∈ ,
π
4
π
4
的振幅为2，
2.［教材改编］
将函数 = 3sin 2 +
π
4
π
的图象向左平移 个单位长度后得到
3
11
3sin
2
+
π
函数 = 的图象，则 =_____________________.
12
[解析] = +
π
3
= 3sin2 +
π
3
π
4
+ = 3sin 2 +
π
，则
6
1
与曲
2
π =
3
−
2
______.
［思路点拨］设
2 − 1 =
1
1 ,
2
,
1
2 ,
2
2π
，从而得到
3
,依题可得2 − 1 =
的值，再根据
一个值，进而可得 ，从而求得 π .
2
π
3
π
，结合sin
6
=
1
的解可得
2
= 0以及 0 < 0，可得 的
1
1 ,
π
3
右
的图象,可以将函数 = 2sin 5的图象向____平
π
移_____个单位长度.
15
[解析] = 2sin 5 −
故将函数 = 2sin
π
3
= 2sin 5 −
π
15
,
π
5的图象向右平移 个单位长度即可得到
15
= 2sin 5 −
π
3
的图象.
5.若
π
8
= 2sin + + 对任意实数都有
4
+
3π
4
［思路点拨］由最大值、最小正周期以及 −1 = 0分别得到, , 的值，进而
得到函数 的解析式.
[解析]
由题图可知
2
解得 =
π
，所以
4
= 3 − −1 = 4， = 3，所以 =
= 3sin
由题图得 −1 = 3sin
解得 =
5π
4
π
−
4
π
4
2π
8，即
化的数学模型.
◆ 知识聚焦 ◆
1.用五点法画 = sin
+ > 0, > 0 在一个周期内的简图时,要找五个特
征点,如下表所示：
π−
_____
______
2π−
_______
+
0
___
π
___
2
π
___
3π
____
2
2π
____
= sin +
4
10 + = 2π ， ∈ ,0 < < π ，
= 10sin
π
8
+
3π
4
+ 20， ∈ [6,14].
题组二 常错题
◆ 索引：搞错，图象应平移多少个单位长度;不能正确理解三角函数图象对称性的
特征导致出错;不能准确确定函数解析式导致出错.
4.为了得到函数 = 2sin
5 −
π
3
− 2 =
2π
3
+
3
，
2
3
的图象.
2
+ 2π ， ∈ ，
5π
取得最小正值，最小正值为 .
6
[总结反思]
由 = sin 的图象变换到 = sin + 的图象,两种变换中平移的量的区别:先
平移再伸缩,平移的量是
个单位长度;先伸缩再平移,平移的量是
> 0 个单
位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对而言的,即本身加减多少值,而不
4
= sin 的图象，
故A正确，B错误；
对于C，将 = sin
可得 = sin2 +
π
π
2 − 的图象上所有点向左平移 个单位长度，
4
8
π
π
− = sin 2的图象，
8
4
将 = sin 2的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
可得 = sin 的图象，故C正确；
又 < π ，所以 =
所以 = 2 3sin
3π
4
π
，
8
∈ ，
3π
− ，
4
π
8
−
3
π
4
，所以 2 = 2 3sin
π
4
−
3π
4
= −2 3.
探究点一 函数 = + 的图象变换
例1（1）
（多选题）[2023·重庆巴蜀中学模拟]
只需将 = sin 2 −
π
=
1
sin
2
2 +
3
2
1 + cos 2 = sin 2 +
π
3
故将 的图象向右平移 > 0 个单位长度得到 = sin 2 + − 2 +
由 = cos 2 +
解得 =
故选A.
π
−
6
π
6
+
3
2
= sin 2 +
2π
3
+
3
π
，令
2
3
− π ， ∈ ，当 = −1时，
= 8，
+ .
+ =
π
0，所以−
4
+ = π + 2π , ∈ ，
+ 2π , ∈ ，
又 < π ，所以 =
3π
− ，所以
4
= 3sin
π
4
−
3π
4
，故选A.
（2）
[2023·新课标Ⅱ卷] 已知函数
= sin( + )，如图，，是直线 =
线 = 的两个交点，若 =
11
π
12
.
3.[教材改编]
如图，某地一天6～14时的温度变化曲线为函数 = sin + +
> 0, > 0,0 < < π 的图象的一部分，则这段曲线的
π
3π
=
10sin
+
+
20，
∈
[6,14]
函数解析式为__________________________________________.
π
6
π
6
.由题得函数 的图象关于轴对称，则 0 = ± 3,
∴ sin +
π
6
π
2
又 > 0,∴
π
实数的最小值为 .故选C.
3
π
3
= ±1,∴ + = + π ∈ ,∴ = + π ∈ ，
探究点二 函数 = + 的图象与解析式
例2（1）
注意该点的位置）或把图象的最高点或最低点的坐标代入；②五点法,确定 的
值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
变式题（1）
设函数 = cos +
π
6
在
[−π ，π]的图象大致如图所示，则 的最小正周
期为(
10π
A.
9
C
)
7π
B.
6
4π
C.
3
3π
D.
2
[解析] ∵ 点
∴
是依赖于加减多少值.
变式题（1）
[2023·辽宁阜新联考] 为了得到函数 = sin 2 −
只需将函数 = cos 2的图象(
3π
B.向右平移 个单位长度
8
π
C.向左平移 个单位长度
8
π
D.向右平移 个单位长度
8
[解析] 因为 = sin 2 −
的图象，
B )
3π
A.向左平移 个单位长度
π
8
+ =
π
8
− ,且
= −3,则实数 =___________.
−1或−5
[解析] 由
故当 =
π
8
+ =
π
时,函数
8
π
8
− 得，直线 =
π
为函数
8
的图象的一条对称轴,
取得最大值或最小值,则−2 + = −3或2 + = −3,
解得 = −1或 = −5.
π
A.
6
π
B.
4
[解析] = sin cos
π
3
π
C.
3
+ cos
π
sin
3
+ sin =
C )
π
D.
2
3
sin
2
+
3
cos
2
= 3sin +
π
6
，
将函数 的图象向左平移 > 0 个单位长度后所得图象对应的函数记为 ，
则 = 3sin + +
6.已知函数
= sin + > 0, > 0, < π
−2 3
的部分图象如图所示，则 2 =________.
[解析] 由题图可得 = 2 3，又 = 2 × [6 − −2 ] = 16，所以 =
π
所以
8
× 6 + = 2π ∈ ，得 = 2π −
8
4
[解析] 从题图中可以看出，
6～14时的温度变化曲线是函数 = sin + + 在半个周期内的图象，
1
2
1
2
所以 = × 30 − 10 = 10， = × 30 + 10 = 20，
1
又
2
×
2π
所以 =
= 14 − 6，所以 =
π
π
.又 ×
8
8
3π
，所以所求解析式为
4
2
［思路点拨］根据三角函数的图象变换规则，逐项判断，即可求解.
[解析] 将 = sin 2 −
得到 = sin −
π
4
π
4
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
的图象，又 = sin +
所以将 = sin −
π
4
π
4
π
4
− = sin ，
π
的图象向左平移 个单位长度可得
频率
1
2π
= =____
相位
初相
+
________
___
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1π
π
2,
,
1.［教材改编］ 函数 = 2sin 2 + 4 的振幅、频率和初相分别为________.
π4
[解析] 由振幅、频率和初相的定义可知，函数 = 2sin 2 +
1
π
频率为 ，初相为 .
[2023·江苏扬州中学模拟] 已知函数
= sin + > 0, > 0, < π 的部分图象如
图所示，则 的解析式为(
A. = 3sin
π
4
C. = 3sin
π
4
−
3π
4
−
π
4
A
)
B. = 3sin
π
4
D. = 3sin
π
4
+
π
2
1
π
[解析] 依题意设
, 2 , ，则2 − 1 = ，
2
6
2π
π
2π
因为2 + − 1 + = ，即 = ，所以 = 4，
3
6
3
2π
8π
又 + = 2π ， ∈ ，所以 = − + 2π ， ∈ ，
3
3
2π
2π
不妨取 = − ，则 = sin 4 −
对于D，将 = sin 2 −
可得 = sin 2 −
将 = sin 2 −
3π
4
得到 = sin 4 −
3π
4
π
4
π
的图象上所有点向右平移 个单位长度，