沪教版初二数学下册 矩形知识点及同步练习含答案

基础知识讲解
1．矩形的概念
有一个角为直角的平行四边形叫矩形．
由概念可知，矩形首先是平行四边形，只是增加一个角是直角这个特殊条件． 2．矩形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质． （2）矩形的四个内角是直角．
（3）矩形的对角线相等且互相平分．
（4）矩形即是中心对称图形又是轴对称图形． 3．矩形的识别方法
（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形． （2）对角线相等且互相平分的平行四边形为矩形． 4．矩形的识别方法运用时应注意以下几点
（1）用有一个内角是直角的平行四边形来判定一个四边形是否是矩形时须同时满足两个条件；一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件才是矩形．
（2）用“对角线相等的平行四边形是矩形”来判定一个四边形是否是矩形时也必须满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形． 重点难点
重点：矩形的定义，性质及识别方法． 难点：矩形的性质及识别方法的灵活运用． 易错误区分析
运用矩形的识别方法来判断四边形是否是矩形时易忽略满足的条件 例1．对角线相等的四边形是矩形，这个结论正确吗？ 错解：这个结论正确 正解：这个结论不正确
分析：对角线相等的平行四边形才是矩形． 典型例题
例1．如图12-2-1所示：已知矩形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于O ，∠AOD=120°，AB ＝4cm ，求矩形对角线长．
分析：注意到矩形的对角线相等且平分这个特性，不难求解． 解∵ABCD 为矩形 ∴AC ＝BD ，且OA=
21AC ，OB=2
1
BD ，∴OA=OB ， ∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60° ∴△AOB 为等边三角形
∴OB ＝OA ＝AB ＝4，∴BD ＝2OB ＝2×4＝8cm ．
例2．如图12-2-2所示：□ABCD 中AC ，BD 直交于O ，EF ⊥BD 垂足为O ，EF 分别交AD ，BC 于点E ，F ，且AE=EO=
2
1
DE.
求证：□ABCD 为矩形
分析：观察给出的已知图象的特征，要证□ABCD 为矩形，显然只要证AC ＝BD 即可，若Rt △DOE 的斜边上的中线OM ，易证△AOE ≌△DOM ，∴OA ＝OD 问题得证．
证明：取DE 的中点M ，连结OM ，
∴在Rt △DOE 中，OM=2
1
DE=DM ， ∴OE=AE=
2
1
DE ，∠OME=∠OEA ∴OM ＝OE ，DM ＝AE ，∠OMD ＝∠OEM ， ∴△OMD ≌△OEA ，∴OA=OD ， 在□ABCD 中，∵OA=
21AC ，OD=2
1
BD ， ∴AC ＝BC ∴□ABCD 为矩形．
例3．已知：如图所示，E 是已知矩形ABCD 的边CB 延长线上的一点，CE ＝CA ，F 是AE 的中点．求证：BF ⊥FD
分析：由于CE ＝CA ，F 是AE 的中点，若连结CF ，则CF ⊥AE ．所示∠AFC ＝90°.所以要证BF ⊥FD ，只须再证∠CFB ＝∠AFD ．易知，只要证△AFD ≌△BCF ．
证法一：连结CF ．因为CE ＝CA ，F 是AE 中点，所以CF ⊥AE ．
所以∠AFD+∠DFC ＝90°，因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ＝BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°. 又∵F 是Rt △ABE 斜边BE 的中点，所以BF ＝AF ，所以∠FAB ＝∠FBA ，所以∠FAD=∠FBC ．所以△FAD ≌△FBC ．所以∠CFB=∠AFD ，所以∠CFB+∠DFC ＝90°，即BF ⊥FD ．
证法二：如图所示：延长BF 交DA 延长线于点G ，连结BD ．因为四边形ABCD 是矩形，所以AD BC ，AC ＝BD ，所以∠AGF ＝∠EBF ，∠GAF=∠BEF ．因为F 是AE 的中点，所以AF ＝FE ．所以△AGF ≌△EBF 所以GF ＝BF ，AG ＝BE ．所以GD ＝EC ．因为CA ＝CE ，CA ＝BD ，所以BF ⊥DF.
例4．已知如图：矩形ABCD 中，E 为CD 的中点．求证：∠EAB ＝∠EBA ．
分析：证角相等．若两角在同一个三角形中，可证三角形为等腰三角形． 证明：∵四边形ABCD 为矩形 ∴∠D ＝∠C ＝90°，AD ＝BC
∵E 为DC 的中点，∴△ADE ≌△BCE ∴AE ＝BE ∴∠EAB=∠EBA ．
例5．如图：已知矩形ABCD 中，CF ⊥BD 于F ，∠DAB 的平分线AE 与FC 的延长线相交于点E ，判断CA 与CE 的大小关系，并说明理由．
分析：要判断CA 与CE 的大小关系，如果能证到∠EAO ＝∠E 即可得CA ＝CE 解：OA ＝CO
过点A 作AM ⊥DB ，可得AM ∥EF ，∠MAE ＝∠E ∴∠DAM ＝∠DBA ＝∠OAB ，∴∠MAE ＝∠EAO ∴∠EAO ＝∠E ∴CE=CA 创新思维
例1．如图所示△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画两个：矩形ACBD 和矩形AEFB ．
解答问题 （1）设图（2）中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为S 1，S 2，则S 1 S 2.（填“＞”“＜”“＝”）
（2）如图（3）中△ABC 为钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画 个，利用图（3）把它画出来．
（3）过图（4）△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画 个，利用图（4）把它画出来．
（4）在（3）中所画的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？ 分析：本题主要考查矩形的性质和计算． 解：（1）如图甲过点C 作CG ⊥AB 于G ，则CG=AE ．
∵S 1=2S △ABC =2×
2
1
×AB ·CG=AB ·CG ，S 2=AE ·AB=CG ·AB ∴S 1=S 2 （2）有2个如图乙
（3）有3个如图丙
（4）设矩形BCED ，ACHQ ，ABGF 的周长分别为L 1，L 2，L 3，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．易知，这些矩形的面积相等，令其面积为S ，则有
L 1=
a a s 22+，L 2=
b s 2+2b ，L 3c
s
2+2c ， ∵L 1-L 2=s a 2+2a-（b b s 22+）=2（a-b ）
ab
s
ab -，而ab ﹥s ，a ﹥b ∴L 1-L 2﹥0，即L 1﹥L 2.
同理L 2＞L 3．
∴以AB 为边的矩形周长最小．
例2．如图△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角线于点F.（1）求证：EO ＝FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论．
分析：先证∠OCE ＝∠OEC 就有EO ＝CO ，同理有FO ＝CO ，即有EO ＝FO ．
当0运动到AC 的中点时，四边形AECF 对角钱互相平分．∠EcF ＝90°.则四边形AECF 为矩形．
证明：（l ）∵MN ∥BC ，∴∠1=∠3 又∵CE 为∠ACB 的角平分线，∴∠1＝∠2，∴∠2=∠3，∴OE ＝OC ，同理可证OF ＝OC ，∴OE=OF
（2）当O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 为矩形，因为AO ＝OC ，OE ＝OF.
解：由矩形的特征，AC ＝EF ，由AE ∥CF ，CE ∥AF 知BECD 是平行四边形，故AE ＝CF ，从而AC ＝FE ． 中考练兵
1．如图所示，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上BF ∥DF ，若AD ＝12cm ，AB ＝7cm ，且AE ：EB=5：2，则阴影部分的面积为 .
分析：由已知可判断四边形EBFD 是平行四边形．由平行线之间的距离处处相等，可知BE 边上的高与AD 的长相等．因此求BE 的长是关键．
本题还可运用平移的方法，将△AED 沿AB 方向平移，使DE 与BF 重合，得空白部分所组成的图形是长12cm ，宽5cm 的矩形，可求其面积，然后将矩形ABCD 的面积，减去空白部分的面积，即可得阴影部分的面积．也可通过矩形的面积减去二个全等三角形的面积，而得
出阴影部分面积。

解：因为AE+EB＝AB＝7cm，AE：EB＝5：2
所以AE＝5cm，EB＝2cm.
由矩形的特征，BE∥DF，又BF∥DE.
所以四边形EBFD为平行四边形
故其面积为BE×AD＝2×12＝24cm2故填24cm2
2．如图所示，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°,则∠DAE等于（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
分析：本题主要考查矩形性质，矩形的四个角都是直角，也考查全等三角形的判定和性质．可证△ADE≌△AFE，从而∠DAE＝∠FAE＝（90°-60°）÷2＝15°
答：选A
3．如图在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE：∠ECB＝3：1，那么∠ACE= 度．
分析：由矩形的性质得∠DCB＝90°，根据∠DCE：∠ECB＝3：1，可得出∠DCE的度数．由于AC＝BD，且AC，BD互相平分，可得等腰三角形OCD，则∠OCD＝∠ODC＝90°-∠DCE从而可求∠ACE的度数．
答：45°
矩形随堂演练
一、填空题
1．矩形ABCD的边AB的中点为P，且∠DPC为直角，则AD：BA＝．
2．已知矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，∠AOB=2∠BOC，AC=18cm，则AD= cm.
3．如图矩形ABCD中，E是CD的中点，且AE⊥EB，若S EAB＝8cm2，则AD＝，AB＝ .
4．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长为，对角线的长 .
5．在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD上一点，且AE＝AB，则∠CBE的度数是 .
6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，如图，且四边形AFDE为矩形，若EF＝5，矩形AFDE的面积为12，则AC= .
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE交AB于点F，则AF= ．
8．如图，宽为3，长为4的矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落在点C′位置，BC′交AD于G，再折叠一次使点D与点A重合．得折痕EN，EN交AD于点M，则点ME的长为 .
二、选择题
1．矩形的边长为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm
2．下列四边形中，不是矩形的是（）
A．三个角都是直角的四边形 B．四个角都相等的四边形
C．一组对边平行且对角线相等的四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形
3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE的度数（）A．18°B．36°C．54°D．72°
4．已知矩形ABCD 对角线相交于O ，且AB ：BC=1：2，AC ＝3cm ，则矩形ABCD 的周长为（ ）
A ．（6+23）cm
B ．
55
18
cm C ．（6+
55
6
）cm
D ．12cm
5．矩形具有的特征而一般的平行四边形不一定具有的特征是（ ）
A ．对角线相等
B ．对边相等
C ．对角相等
D ．对角线互相平分 6．矩形的两条对角线与各边围成的三角形中，共有多少对全等的三角形（ ） A ．2对 B ．4对 C ．6对 D ．8对
7．矩形的对角线所成的角是65°，则对角线与各边所成的角度是（ ） A ．57．5° B ．32．5°
C ．57．5°，33．5°
D ．57．5°，32．5° 8．下面真命题的个数是（ ）
（1）矩形是轴对称图形，又是中心对称图形 （2）矩形的对角线大于夹在两对边间的任意线段 （3）两条对角线相等的四边形是矩形 （4）有两个角相等的平行四边形是矩形
（5）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个 三、判断题
1．两条对角线互相垂直并且相等的四边形是矩形（ ）
2．两条对角线的交点到四个顶点的距离相等的四边形是矩形（ ） 3．矩形是轴对称图形，而且有四条对称轴（ ） 四、解答题
1．已知，如图在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AD=DC=BD ，DF ，DE 分别是∠ADC ，∠BDC 的平分线．求证：四边形DECF 是矩形．
2．已知：如图AC 、BD 的交点O 是四边形ABCD 的对称中心，且∠A ＝90°．求证：四边形ABCD 是矩形．
3．已知：如图△ABC 中，CE ⊥AD 于点E ，BD ⊥AD 于点D ，M 是BC 的中点．求证：ME=MD.
4．已知：如图，矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC，交BC于点E，∠BDE＝15°.求∠COD与∠COE的度数．
5．如图：多边形ABCDEFGH相邻两边都互相垂直，若要求出其周长，那么最少要知道多少条边的长度？
参考答案
一、填空题
32 4．5，10
1．1：2 2．12 3．8cm m
7
5．15° 6．7 7．10 8．
12
二、选择题
1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C
三、判断题
1．× 2．× 3．×
四、解答题
1．证明：因为AD＝CD＝DB，所以∠DCA＝∠A，∠BCD＝∠B
所以∠ACB=∠DCA+∠BCD＝∠A+∠B
又因为∠ACB+∠A+∠B＝180°
所以2∠ACB＝180°，即∠ACB＝90°
因为DF平分∠ADC，DE平分∠BDC
又AD＝CD＝DB
所以DE⊥BC，DF⊥AC
所以∠DEC＝∠DFC＝90°
所以四边形DECF是矩形
点拨：要判断DECF是矩形，除了根据定义判断外，还可用有三个角是直角的四边形，或者对角线相等的平行四边形．由题设AD＝CD＝BD知△ADC，△BDC都是等腰三角形．又DF，DE是角平分线，所以DF⊥AC，DE⊥BC.
2．证明：因为四边形ABCD是关于O的中心对称图形，则相对的顶点是关于O点的对称点，所以OA＝OC，OB＝OD，即AC，BD互相平分于点O，所以四边形ABCD是平行四边形．又因为∠A＝90°,所以四边形ABCD是矩形．
点拨：由O是对称中心，易知OA＝OC，OB＝OD，可得四边形为平行四边形，根据定义，只要有一个角为90°，即可．
3．证法一：延长DM 交CE 于点N ，延长EM 交BD 延长线于点H ，连结HN. 因为CE ⊥AD ，BD ⊥AD ，所以CE ∥BD ，所以∠NCM ＝∠DBM,又∵CM ＝BM ，
∠CMN=∠BMD ，所以△CMN ≌△BMD ，所以NM ＝DM ，同理可证EM ＝HM.所以四边形EDHN 是平行四边形，又因为CE ≌AD ，所以EDHN 是矩形．所以EH ＝DN 所以ME ＝MD ．
证法二：延长DM 交CE 于点N ，同证法一△CMN ≌△BMD ，所以NM ＝MD ，即M 为DN 的中点，所以ME ＝MD
点拨：注意到CE ⊥AD ，BD ⊥AD ，提示构造矩形EDNH ，使它的对角线交于点M 来证． 另若延长DM 交CE 于点N ，则构成直角三角形，可设想到利用直角三角形斜边上的中线性质来证．
4．解：因为DE 平分∠ADC ，所以∠ADE ＝45°,所以∠ADB ＝∠ADE-∠ODE ＝45°-15°＝30°．所以∠ODC ＝∠ADC-∠ADB ＝90°-30°＝60°.因为ABCD 为矩形，所以△OCD 为等腰三角形．所以∠COD ＝180°-2∠ODC ＝60°,所以△OCD 是等边三角形．所以OC ＝CD ．又在Rt △ECD 中∠EDC ＝45°,所以CE ＝CD ．所以OC ＝CE ．又因为ABCD 是矩形，所以∠OCE ＝∠ADB ＝30°．所以△CEO 中，∠COE=
21（180°-∠OCE ）＝2
1
（180°-30°）＝75°． 点拨：由于ABCD 为矩形，求∠COD 的度数，只要先求出∠CDO 或∠DCO 的度数，由图及
题设条件可知．
由于DE 平分∠ADC ，∠BDE=15°，可求出∠ADB ＝30°，从而可求出∠ODC ＝60°，故∠DOC ＝60°
显然△COD 是等边三角形，△CED 是等腰直角三角形，从而可知△CEO 中CE ＝CO,∠OCE ＝30°,则∠COE=
21（180°-∠OCE ）＝2
1
（180°-30°）＝75°． 5．解：至少需要知道三条边的长度．。