高中数学4.2曲线的极坐标方程单元测试苏教版选修4-4(new)
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12.曲线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程是（ )
A。x2+（y+2)2=1B.x2+(y—2)2=4
C。（x-2)2+y2=4D。（x+2）2+y2=4
解析:在ρ=4sinθ两边同时乘以ρ得ρ2=4ρ·sinθ.
再利用 可得x2+y2=4y，
即x2+(y—2)2=4。
答案：B
13。在极坐标系中，过（2， ）且平行于极轴的直线的极坐标方程是____________。
This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank youhere! I hope to make progress and grow with you in the future.
∴ρ1ρ2sin（θ2—θ1）=ρρ1sin（θ-θ1）+ρρ2sin(θ2—θ)，
即 .
8。已知圆ρ=2,直线ρcosθ=4,过极点作射线交圆于A,直线于B，求AB中点M的轨迹方程。
解：如图，
设M（ρ,θ),A（ρ1,θ1），B（ρ2,θ2)，
则有
∴（2ρ-2）cosθ=4 ρ=2secθ+1。
9。从极点O作圆C:ρ=8cosθ的弦ON,求ON的中点M的轨迹方程。
4.2 曲线的极坐标方程
单元测试
1.已知点P（ ， )，若点P的极角θ满足-π〈θ〈π,ρ∈R，下列点中与点P重合的是( )
A.（ , )，( ， ）,( ， )
B。（ ， ），（ , ),（ , ）
C。( ， ）,（ , ），（ ,- )
D.（ ,— )
解析:当—π≤θ≤π时，ρ≥0(或ρ≤0)时，除极点外,点极坐标唯一.当ρ∈R时,一个点的极坐标只有两个形式( ，- )或( , ）.
A.以( ，0）为圆心，半径为 的上半个圆
B.以( ,0)为圆心,半径为 的圆
C.以(1，0)为圆心,半径为 的上半个圆
D。以( ， ）为圆心，半径为 的圆
解析:当ρ≥0时,θ∈［0, ],方程ρ=cosθ表示上半个圆，半径为 ；当ρ≤0时,θ∈[ ，π］,方程表示下半个圆,半径为 .
答案：B
4。方程ρ=sinθ+cosθ+K的曲线不经过极点,则K的取值范围是( )
A.K≠0B.K∈R
C。|K｜〉 D。｜K｜≤
解析：当ρ=0时,sinθ+cosθ=—K，若此方程无解，由｜sinθ+cosθ|≤ ,
∴当|K｜〉 时，方程无解。
答案：C
5。在极坐标系中，点P（2， )到直线ρsin(θ- ）=1的距离等于( ）
A。1B.2C.3D.1+
解析：∵xP=2cos = ,yP=2sin =—1，
∴P点的直角坐标为（ ,-1).
又直线ρsin(θ— ）=1化为直角坐标方程为 y— x-1=0。
∴P点到直线的距离为d=| — · —1|=1+ 。
答案：D
6。点M在直线ρcosθ=a（a〉0）上，O为极点,延长OM到P使｜MP｜=b（b〉0）,则P的轨迹方程是______.
解析：设M(ρ0，θ0),P（ρ，θ）,则ρ0cosθ0=a，ρ=ρ0+b，θ0=θ，代入即可。
解：以O为极点，以O和已知圆圆心O′所在射线为极轴，建立极坐标系，如图,设|OO′｜=ρ0,圆的半径为r,那么圆的极坐标方程为ρ2—2ρ0ρcosθ+ρ02-r2=0,
设N(ρ，θ）,M（ρ1，θ1),
∵M在圆上,
∴ρ12—2ρ0ρ1cosθ1+ρ02—r2=0。(1）
∵△OMN为正三角形，∴
代入①得ρ2—2ρ0ρcos(θ— )+ρ02-r2=0，这就是点N的轨迹方程.
答案：(ρ-b)cosθ=a
7。证明过A(ρ1，θ1）和B（ρ2，θ2）两点的直线l的极坐标方程是 .
证明：设M(ρ，θ）为直线AB上一点,如图,
∵S△AOB= ρ1ρ2sin（θ2—θ1),
S△AOM= ρρ1sin(θ-θ1），
S△BOM= ρρ2sin(θ2—θ)，
又S△AOB=S△AOM+S△BOM,
∵M是ON的中点,
∴ 将它代入(*)式得2ρ=8cosθ,故M的轨迹方程是ρ=4cosθ.
10.从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M,P为OM上一点，已知|OP|·|OM|=1，求P点的极坐标方程.
思路分析:先把直线化为极坐标方程，由于P点的运动与M点有关，可以利用转移法来解决问题。我们可以根据长度之间的关系式找到点P与点M坐标之间的关系.
解析：如图所示，设P(ρ，θ）为直线上任一点,连结PO,作PA垂直极轴于点A.
在Rt△PAO中,｜PA｜=2,∠POA=θ，∴ρsinθ=2。
∴所求的极坐标方程为ρsinθ=2.
答案：ρsinθ=2
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
答案:D
2。圆ρ= （cosθ+sinθ）的圆心的坐标是( )
A.（1, ）B。( ， )C.（ , ）D。（2， )
解析：圆的方程可化为ρ=2cos(θ- ）.
这是ρ=2rcos(θ—θ0）的形式,它的圆心为O1(r，θ0)，本题也可化为直角坐标方程求解.
答案:A
3。极坐标系中，方程ρ=cosθ（θ∈［0,π]，ρ∈R）表示的曲线是（ )
解：如图，以O为极点,x轴正方向为极轴建立坐标系后,直线的方程化为2ρcosθ+4ρsinθ—1=0。
设M(ρ0，θ0），P(ρ,θ),
则2ρ0cosθ0+4ρ0sinθ0-1=0。
又 ∴2 cosθ+4 sinθ—1=0。
∴ρ=2cosθ+4sinθ，这是一个圆（ρ≠0)。
11。
O为已知圆外的定点，M在圆上,以OM为边作正△OMN,当点M在圆上移动时，求点N的轨迹方程（O、M、N逆时针排列）。
解法一：如图，圆C的圆心C(4，0），半径r=｜OC｜=4，连结CM。
∵M为弦ON的中点,
∴CM⊥ON。故M在以OC为直径的圆上.
∴动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ。
解法二:解法一是定义法,下面我们用转移法来解决这个问题:
设M点的坐标是(ρ，θ),N（ρ1，θ1）。
N点在圆ρ=8cosθ上,
∴ρ1=8cosθ1，（＊）
A。x2+（y+2)2=1B.x2+(y—2)2=4
C。（x-2)2+y2=4D。（x+2）2+y2=4
解析:在ρ=4sinθ两边同时乘以ρ得ρ2=4ρ·sinθ.
再利用 可得x2+y2=4y，
即x2+(y—2)2=4。
答案：B
13。在极坐标系中，过（2， ）且平行于极轴的直线的极坐标方程是____________。
This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank youhere! I hope to make progress and grow with you in the future.
∴ρ1ρ2sin（θ2—θ1）=ρρ1sin（θ-θ1）+ρρ2sin(θ2—θ)，
即 .
8。已知圆ρ=2,直线ρcosθ=4,过极点作射线交圆于A,直线于B，求AB中点M的轨迹方程。
解：如图，
设M（ρ,θ),A（ρ1,θ1），B（ρ2,θ2)，
则有
∴（2ρ-2）cosθ=4 ρ=2secθ+1。
9。从极点O作圆C:ρ=8cosθ的弦ON,求ON的中点M的轨迹方程。
4.2 曲线的极坐标方程
单元测试
1.已知点P（ ， )，若点P的极角θ满足-π〈θ〈π,ρ∈R，下列点中与点P重合的是( )
A.（ , )，( ， ）,( ， )
B。（ ， ），（ , ),（ , ）
C。( ， ）,（ , ），（ ,- )
D.（ ,— )
解析:当—π≤θ≤π时，ρ≥0(或ρ≤0)时，除极点外,点极坐标唯一.当ρ∈R时,一个点的极坐标只有两个形式( ，- )或( , ）.
A.以( ，0）为圆心，半径为 的上半个圆
B.以( ,0)为圆心,半径为 的圆
C.以(1，0)为圆心,半径为 的上半个圆
D。以( ， ）为圆心，半径为 的圆
解析:当ρ≥0时,θ∈［0, ],方程ρ=cosθ表示上半个圆，半径为 ；当ρ≤0时,θ∈[ ，π］,方程表示下半个圆,半径为 .
答案：B
4。方程ρ=sinθ+cosθ+K的曲线不经过极点,则K的取值范围是( )
A.K≠0B.K∈R
C。|K｜〉 D。｜K｜≤
解析：当ρ=0时,sinθ+cosθ=—K，若此方程无解，由｜sinθ+cosθ|≤ ,
∴当|K｜〉 时，方程无解。
答案：C
5。在极坐标系中，点P（2， )到直线ρsin(θ- ）=1的距离等于( ）
A。1B.2C.3D.1+
解析：∵xP=2cos = ,yP=2sin =—1，
∴P点的直角坐标为（ ,-1).
又直线ρsin(θ— ）=1化为直角坐标方程为 y— x-1=0。
∴P点到直线的距离为d=| — · —1|=1+ 。
答案：D
6。点M在直线ρcosθ=a（a〉0）上，O为极点,延长OM到P使｜MP｜=b（b〉0）,则P的轨迹方程是______.
解析：设M(ρ0，θ0),P（ρ，θ）,则ρ0cosθ0=a，ρ=ρ0+b，θ0=θ，代入即可。
解：以O为极点，以O和已知圆圆心O′所在射线为极轴，建立极坐标系，如图,设|OO′｜=ρ0,圆的半径为r,那么圆的极坐标方程为ρ2—2ρ0ρcosθ+ρ02-r2=0,
设N(ρ，θ）,M（ρ1，θ1),
∵M在圆上,
∴ρ12—2ρ0ρ1cosθ1+ρ02—r2=0。(1）
∵△OMN为正三角形，∴
代入①得ρ2—2ρ0ρcos(θ— )+ρ02-r2=0，这就是点N的轨迹方程.
答案：(ρ-b)cosθ=a
7。证明过A(ρ1，θ1）和B（ρ2，θ2）两点的直线l的极坐标方程是 .
证明：设M(ρ，θ）为直线AB上一点,如图,
∵S△AOB= ρ1ρ2sin（θ2—θ1),
S△AOM= ρρ1sin(θ-θ1），
S△BOM= ρρ2sin(θ2—θ)，
又S△AOB=S△AOM+S△BOM,
∵M是ON的中点,
∴ 将它代入(*)式得2ρ=8cosθ,故M的轨迹方程是ρ=4cosθ.
10.从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M,P为OM上一点，已知|OP|·|OM|=1，求P点的极坐标方程.
思路分析:先把直线化为极坐标方程，由于P点的运动与M点有关，可以利用转移法来解决问题。我们可以根据长度之间的关系式找到点P与点M坐标之间的关系.
解析：如图所示，设P(ρ，θ）为直线上任一点,连结PO,作PA垂直极轴于点A.
在Rt△PAO中,｜PA｜=2,∠POA=θ，∴ρsinθ=2。
∴所求的极坐标方程为ρsinθ=2.
答案：ρsinθ=2
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
答案:D
2。圆ρ= （cosθ+sinθ）的圆心的坐标是( )
A.（1, ）B。( ， )C.（ , ）D。（2， )
解析：圆的方程可化为ρ=2cos(θ- ）.
这是ρ=2rcos(θ—θ0）的形式,它的圆心为O1(r，θ0)，本题也可化为直角坐标方程求解.
答案:A
3。极坐标系中，方程ρ=cosθ（θ∈［0,π]，ρ∈R）表示的曲线是（ )
解：如图，以O为极点,x轴正方向为极轴建立坐标系后,直线的方程化为2ρcosθ+4ρsinθ—1=0。
设M(ρ0，θ0），P(ρ,θ),
则2ρ0cosθ0+4ρ0sinθ0-1=0。
又 ∴2 cosθ+4 sinθ—1=0。
∴ρ=2cosθ+4sinθ，这是一个圆（ρ≠0)。
11。
O为已知圆外的定点，M在圆上,以OM为边作正△OMN,当点M在圆上移动时，求点N的轨迹方程（O、M、N逆时针排列）。
解法一：如图，圆C的圆心C(4，0），半径r=｜OC｜=4，连结CM。
∵M为弦ON的中点,
∴CM⊥ON。故M在以OC为直径的圆上.
∴动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ。
解法二:解法一是定义法,下面我们用转移法来解决这个问题:
设M点的坐标是(ρ，θ),N（ρ1，θ1）。
N点在圆ρ=8cosθ上,
∴ρ1=8cosθ1，（＊）