非正弦周期电流电路和周期信号的频谱

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周期性方波波形分解
直流分量 基波
t
三次谐波
五次谐波
t
t
七次谐波
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直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
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iS
Im t
O T/2 T
等效电源
IS0
iS1
i i S3
S5
iS

Im 2

2Im π
[sin(t)

1 sin(3t)
O
kω1
矩形波的
-π/2
相位频谱
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13-3 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
①正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。
2π
2π
0sin( kt)d(t) 0 0cos(kt)d(t) 0
② sin2、cos2 在一个周期内的积分为。 k整数
2π
2π
sin 2 (kt)d(t) π cos2 (kt)d(t) π
各相的初相分别为
A相
k
B相
k

4nπ

2 3
π
C相
k

4nπ

2 3
π
正序对称 三相电源
②令 k =6n+3，即：k =3,9,15, …
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0
0
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③三角函数的正交性。
2π
cos(kt) sin( 0
pt)d(t)

0
2π
0cos(kt) cos( pt)d(t) 0
2π
sin( 0
kt) sin(
pt)d(t)

0
k p
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2. 非正弦周期函数的有效值

若 i(t) I0 Ikm cos(kt k ) k 1
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也可表示成
Akm cos(k1t k ) ak cos(k1t) bk sin( k1t)

f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin(k1t)] k 1
系数之间的关系为
A0 a0
Akm ak2 bk2
ak Akm cosk
1
1

Ω 1kΩ
1C 106 1000 1012
iS
1L 106 103Ω 1kΩ
XL>>R
+ R
Cu
L
-
Z (1)

(R R
jX L ) ( jX C ) j( X L X C )
XLXC R

L RC

50kΩ
U1

Is1

Z
(1
)

100
106 2
50 103
0 V 5000 2
0
mV
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(c)三次谐波作用
iS3

100 3
sin(3 106 t )
μA
1
1
Ω 0.33kΩ
31C 3106 1000 1012
iS
31L 3106 103Ω 3kΩ
+ R
Cu
L
Z (31)
[1.57 5000 sin(t)
12.47 sin(3t 89.2 )
4.166 sin(5t 89.53 )] mV
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*13-5 对称三相电路中的高次谐波
1. 对称三相电路中的高次谐波
设
uA
u(tu)B
uBu(t
u(tT),T 33
),
③将以上计算结果转换为瞬时值叠加。
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2. 计算举例
例4-1 方波信号激励的电路，求u, 已知：
R 20、 L 1mH、C 1000pF Im 157μA、 T 6.28μs
iS
+ R
Cu
L
解 (1) 方波信号的展开式为
-
iS

Im 2

2Im π
[sin(t)
uC
uC
u(tu(t
2T2)T 33
)
展开成傅里叶级数(k 为奇数) ，则有
uA Um(k)cos(k1t k )
A相
uB

U m ( k )cos(k1t
k

2kπ ) 3
B相
uC

U m ( k )cos(k1t
k

2kπ ) 3
C相
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讨论 ①令 k =6n+1，(n =0,1,2,…)，即：k =1,7,13, …
解 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为
直流分量： I0

1 T
T 0
iS (t) dt

1 T
T /2
0 Imdt

Im 2
谐波分量： bk
1 π
2 0
π
iS
(t
Im [ 1 cos(kt)]
πk
)
π 0
sin( kt )d(t )


0 2Im
k为偶数
kπ k为奇数
I3m

1 3
I1m
33.3μA
五次谐波最大值：
I5m
1 5 I1m 20μA
角频率：


2π T

2 3.14 rad/s
6.28 106
10
6
rad/s
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电流源各频率的谐波分量为
IS0 78.5μA iS1 100sin106t μA
iS3

100 3
f (t) O T/2
Tt
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周期函数的频谱图：
幅度频谱 Akm
Akm k1的图形
O 1 31 51 71
kω1
相位频谱
k k1的图形
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例2-1
Im
周期性方波信号的分解。
iS
iS(t)

I
m

t
O T/2 T
0
0tT 2
T tT 2
sin
3 106
t
μA
iS5

100 5
sin
5
106 t
μA
（2） 对各次谐波分量单独计算：
（a) 直流分量 IS0 作用
IS0
IS0 78.5μA
+
Ru
-
电容断路，电感短路
U0 RIS0 20 78.5106 V 1.57mV
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（b)基波作用 iS1 100sin(106t) μA
106 t )
μA
1
1

Ω 0.2kΩ
51C 5 106 1000 1012
iS
+ R
Cu
51L 5 106 103Ω 5kΩ
L
-
Z (51)

(R jXL5)( jXC5) R j(5XL5 XC5)

208.3
89.53
Ω
U5 Is5 Z (51) 20 106
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ak

2 π
2
0
π
iS
(t
)
c
os
(kt
)d
(t
)

2Im π

1 k
sin( kt )
π 0

0
Ak
b2 k

a2 k
bk

2Im kπ
i 的展开式为 S
（k为奇数）
iS

Im 2

2Im π
[sin(t)

1 sin(3t)
3

1 sin(5t)
5
]
第十三章 非正弦周期电流电路 和信号的频谱
本章重点
13-1 13-2 13-3 13-4 *13-5 *13-6 *13-7
非正弦周期信号 非正弦周期函数分解为傅里叶级数 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流电路的计算 对称三相电路中的高次谐波 傅里叶级数的指数形式 傅里叶积分简介
首页
重点 1. 周期函数分解为傅里叶级数 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率 3. 非正弦周期电流电路的计算
4.166 89.53mV 2
208.3 89.53 V 2
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(3)各谐波分量计算结果瞬时值叠加
U0
U1
1.57 mV
5000 0 mV 2
U 3

12.47 2
89.2 mV
U 5
4.166 2
89.53mV
u U0 u1 u3 u5
3

1 sin(5t)
5
]
IS0
iS1
iS 3
iS 5
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iS
Im
Akm t
矩形波的 幅度频谱
O T/2 T
O 1 31 51 71 k1
iS

Im 2

2Im π
[sin(t)

1 sin(3t)
3

1 sin(5t)
5
]
k
1 31 51 71
狄里赫利条件。
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周期函数展开成傅里叶级数： 直流分量
f (t) A0 A1m cos(1t 1)
基波（和原 函数同频）
A2m cos(21t 2 )
An m cos(n1t n )
二次谐波 （2倍频）
高次谐波

f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1
1 sin(3t)
3
Im
iS
1 sin(5t) ]
5
t O T/2 T
代入已知数据： Im 157μA, T 6.28μs
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直流分量：
I0

Im 2
157 μA 78.5μA 2
基波最大值：
I1m

2Im


2 1.57 μA 3.14
100 μA
三次谐波最大值：
次谐波分量有效值平方和的方根。
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3. 非正弦周期函数的平均值

若 i(t) I0 Ikm cos(kt k ) k 1
其直流值为
I

1 T
T
0
i
(t
)dt

I0
其平均值为
I av

1 T
T i(t) dt
0
正弦量的平均值为
I av

1 T
T
0
Im
cos(t) dt
则有效值:
I
1 T
T
0
i2
t
dt

1 T
T
0

I
0
Байду номын сангаас



k 1
I km
coskt

k
2
dt
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I
1 T
T
0

I
0



k 1
I km
coskt

k
2
dt
1
T
T 0
I02dt

I
2 0
1
T
T 0
I2 km
cos2 (k1t

(R R
jXL3)( jXC3) 374.5 j( XL3 XC3)
89.19 Ω
-
U3 Is3 Z (31)
33.3106 374.5 89.19 V 2
12.47 89.2 mV 2
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(d)五次谐波作用
iS5

100 5
sin(5

k
)dt

I
2 k
1 T
T
0
2I0
cos(kt

k
)dt

0
1 T
T
0
2 I km
cos(kt

k
) I qm
cos(qt

q
)dt

0
k q
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I
2
I 2
km
I 0 2 k 1
I
I2 0

I2 1

I2 2


结论 周期函数的有效值为直流分量及各
k

arctan( bk ak
)
bk Akm sin k
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系数的计算：
A0

a0

1 T
T
0
f
(t)dt
ak

1 π
2π
0
f
(t ) cos(k1t )d(1t )
bk

1 π
2π
0
f
(t ) s in( k1t )d(1t )
求出A0、ak、bk便可得到原函数 f(t) 的展开式。
(k uk ik )
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P U0I0 U1I1 cos1 U2I2 cos2
结论
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
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13-4 非正弦周期电流电路的计算
1. 计算步骤
①利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若 干种频率的谐波信号。
②对各次谐波分别应用相量法计算。（注意:交流 各谐波的 XL、XC不同，对直流 C 相当于开路、 L 相于短路。）
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注意 利用函数的对称性可使系数的确定简化
f (t) ①偶函数
f (t) f (t) bk 0
②奇函数
－T/2 O
f (t)
T/2 t
f (t) f (t) ak 0
－T/2 O T/2 t
③奇谐波函数
f (t) f (t T ) 2
a2k b2k 0

0.898I
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4.非正弦周期交流电路的平均功率

u(t) U0 Ukm cos(kt uk )
k 1
i(t) I0 Ikm cos(kt ik )
k 1
P

1 T
T
0
u

idt
利用三角函数的正交性，得

P U0I0 Uk Ik cosk k 1 P0 P1 P2
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13-1 非正弦周期信号
生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电 路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技 术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦 波形。
非正弦周期交流信号的特点
(1) 不是正弦波 (2) 按周期规律变化
f (t) f (t nT)