2014年秋人教版数学八年级上期末选优拔尖自测卷及答案

期末选优拔尖自测卷 （120分,100分钟）
一、选择题（每题3分，共24分） 1.下列运算正确的是（ ） A ．
b a b a +=+211 B ．a ÷b ×b 1=a C ．1-=--x
y y x D ．31
31-=- 2.若等腰三角形有两条边的长分别是3和1，则此等腰三角形的周长是（ ） A ．5 B ．7 C ．5或7 D ．6 3.若022=-+x x ,则2012223+-+x x x 的值是（ ）
A ．2014
B ．2013
C ． 2014-
D ．2013-
54.若n 为整数，则能使
1
1
-+n n 也为整数的n 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
5.〈湖北仙桃〉如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，BC =6 cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为( ) A ．4 cm B ．3 cm C ．2 cm D ．
1 cm
图1 图2 图3
6.如图2所示，在直角三角形ABC 中，已知∠ACB ＝90°，点E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，DE 交AC 的延长线于点D 、交BC 于点F ，若∠D ＝30°，EF ＝2，则DF 的长是（ ） A.5 B.4 C.3 D.2
7.如图3所示，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正△ABC 和正△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下四个结论：①△ACD ≌△BCE ；②AD =BE ；③∠AOB =60°；④△CPQ 是等边三角形．其中正确的是（ ） A ．①②③④ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③
7、●若a 、b 为正数，则满足12345=()()b a -+111111，则a 、b 之间的大小关系是（ ） A 、b a B 、b a ≡ C 、 b a D 、不能确定
二、填空题（每题3分，共24分） 9.因式分解：a a a 9623+- =___________．
10.计算：()()20141
1212014--⎪⎭
⎫
⎝⎛+-- =___________．
11.按图4所示程序计算：
4
请将上面的计算程序用代数式表示出来并化简：_________．
12.如图5，将△ABC 纸片沿DE 折叠，图中实线围成的图形面积与原三角形面积之比为2∶3，若图中实线围成的阴影部分面积为2，则重叠部分的面积为__________.
13.〈辽宁沈阳〉已知等边三角形ABC 的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P ，若点P 到AB 的
距离是1，点P 到AC 的距离是2，则点P 到BC 的最小距离和最大距离分别是__________． 14.在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，3），若△ABC 的面积为6，且点C 在坐标轴上，则符合条件的点C 的坐标为___________．
图5 图6 图7 图8
15.如图6所示，在平面直角坐标系中，点A (2，2)关于y 轴的对称点为B ，点C ()42--，关于y 轴的对称点为D ．把一条长为2 014个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A 处，并按A →B →C →D →A →…的规律紧绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是_ ____． 16.如图7的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若A P P P P P P P AP 14141332211===== ，则∠A
的度数是________． 解答题（17、18题每题5分，23、25题每题9分，24题8分，26题12分，其余每题6分，共72分） 17.如图8均为2×2的正方形网格，每个小正方形的 边长均为1．请分别在两个图中各画出一个与△ABC 成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．
18.如图9，△ABC 中，∠A =40°，∠B =76°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE 交CE 于F ，求∠CDF 的度数．
图9
19.在解题目：“当a =2 014时，求代数式1211342+-⎪⎭⎫
⎝⎛--⋅--a a a a 的值”时，小明认为a 只要任取一个使
原式有意义的值代入都有相同的结果，你认为他说的有道理吗？请说明理由．
20.已知M =941012422+++-y y xy x ，当式中的x 、y 各取何值时，M 的值最小？求此最小值.
21.是否存在实数x ，使分式
6
310
4-+x x 的值比分式245--x x 的值大1？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说
明理由.
22.如图10所示，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，BE 平分∠ABC ，且点E 是AD 的中点，试探求AB 、CD 与BC 的数量关系，并说明你的理由.
图10 23. ●已知1=xyz ，2=++z y x ，162
22=++z y x .求代数式y
zx x yx z xy 212121+++++的值.
24.某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为300 m 的旧路上进行整修铺设柏油路面．铺设120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务． (1)求原计划每天铺设路面的长度； (2)若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工程准备了25 000元的流动资金．请问，所准备的流动资金是否够支付工人工资？并说明理由．
25.如图11所示，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝10厘米，BC ＝8厘米，点D 为AB 的中点．
（1）如果点P 在线段BC 上以1厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过3秒后，△BPD 与△CQP 是否全等？请说明理由； 图11 ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？
（2）若点Q 以（1）②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？
26.数学课上，老师出示了如下框中的题目， 在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED ＝EC ， 如图12，试确定线段
AE 与DB 的数量关系，并说明理由. 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论 当点E 为AB 的中点时，如图14（1），确定线段AE 与DB 的数量关系，请你直接写出结论：AE ______DB （填“＞”“＜”或“=”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与DB 的数量关系是：AE ______DB （填“＞”“＜”或“=”），理由如下：如图14（2），过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点 F ．（请你完成以下解答过程） 图12 图13
（3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED =EC ，若△ABC 的边长为1，AE =2，求CD 的长．（请你直接写出结果）
参考答案及点拨 期末选优拔尖自测卷
一、1.C 点拨：因为
ab b a b a +=+11，所以A 错误；因为a ÷b ×b 1=a ×b 1×b 1=2b
a ，所以Ｂ错误；因为1-=---=--y
x y x x y y x ，所以C 正确；因为31
31=-，所以D 错误．应选C ．
2.B 点拨：分底边长为3和底边长为1两种情况讨论．
（1）若底边长为1，则这个等腰三角形的周长为7；（2）若底边长为3，这个等腰三角形不存在．故选B ． 3.A 点拨：根据完全对称式的定义可知abc 、ca bc ab ++、()2b a -是完全对称式，而a c c b b a 222++不是完全对称式，应选A ．
解答本题的关键是按照新定义，将四个代数式进行变换，然后对照确定正确选项． 4.A 点拨：方法1:由022=-+x x 得22=+x x ， 所以原式()222201222012x x x x x x x x =++-+=+-+ 2201222012x x =++=+
.2014=
方法2：由022=-+x x 得x x -=22，22
=+x x ,
所以原式()201420122201220122222=+=++=+-+-=x x x x x x .
5.D 点拨：原式()1
2
1121-+
=-+-=
n n n ，要使11-+n n 为整数，则12-n 必须为整数，因此21=-n 或2-或1或
1-，解得3=n 或1-或2或0；因此整数n 的值有4个， 应选D ．
6.C 点拨：如答图1，连接MA 、NA .∵AB 的垂直平分线交BC 于M ，交AB 于E ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，交AC 于F ，∴BM =AM ，CN =AN ，∴∠MAB =∠B ，∠CAN =∠C ，∵∠BAC =120°，AB =AC ，∴∠B =∠C =30°，∴∠BAM =∠CAN =30°，∴∠AMN =∠ANM =
60°，∴△AMN 是等边三角形，∴AM =AN =MN ，∴BM=MN =NC ，∴MN =3
1
BC =2 cm ，故选C ．
答图1
7.B 点拨：在Rt △AED 中，因为∠D ＝30°，所以∠DAE ＝60°；在Rt △ABC 中，因为∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，所以∠B ＝30°；在Rt △BEF 中，因为∠B ＝30°，EF ＝2，所以BF ＝4；
连接AF ，因为DE 是AB 的垂直平分线，所以FA ＝FB ＝４，∠FAB ＝∠B ＝30°；因为∠BAC ＝60°，所以∠DAF ＝30°，因为∠D ＝30°，所以∠DAF ＝∠D ， 所以DF ＝AF ＝４.故应选B. 8. A 点拨：由正△ABC 和正△CDE ，可知AC =BC ，∠ACB =
∠DCE =60°，CD =CE ，所以∠ACD =∠BCE ，所以△ACD ≌△BCE ，从而AD =BE ，∠CAD =∠CBE ；在△ACP 和△BPO 中，因为∠APC =∠BPO ，∠CAD =∠CBE ，所以由三角形内角和定理可得∠AOB =
∠ACB ＝60°；由条件可证△PCD ≌△QCE ，所以PC ＝QC ，又∠PCQ ＝60°，所以△CPQ 是等边三角形．应选A ．
二、9. ()23-a a 点拨：原式()()22396-=+-=a a a a a ．因式分解时，首先考虑提取公因式，再考虑运用乘法公式分解，同时注意要分解到不能分解为止．
10. 2 点拨：原式2121=-+=．在无括号的实数混合运算中，先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减运算．
11.()222=-÷+a a a a 点拨：由流程图可得()
2222=-+=-÷+a a a a a a ．
12. 2 点拨：设重叠部分的面积为x , 则实线围成的图形面积为2+x ，三角形ABC 面积为2+2x ．由题意
得()x x 223
2
2+=+，解得x =2．
13. 1和7 点拨：点P 可在三角形内和三角形外，需要分情况求解．设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC （或其延长线）的距离分别为321h h h 、、，△ABC 的高为h ．（1）当点P 在等边三角形ABC 内时：连接PA 、PB 、PC ，利用面积公式可得h h h h =++321，则13=h ，所以点P 到BC 的最小距离是1；（2）当点P 在等边三角形ABC 外时（只考虑P 离BC 最远时的情况）：同理可得321h h h h =++，此时73=h .综上可知，点P 到BC 的最小距离和最大距离分别是1和7.
14.（0,2-）、（0,6）、（3,0-）、（9,0）点拨：分点C 在x 轴上和点C 在y 轴上两种情况讨论，可得符合条
件的点C 的坐标．（1）当点C 在x 轴上时，设点C 的坐标为(0，
x )，则6322
1
=⨯-x ，解得x =6或2-，因此点C 的坐标为（0,2-）、（0,6）；（2）当点C 在y 轴上时，设点C 的坐标为(0，y )，则6232
1
=⨯-y ，
解得y =3-或9，因此点C 的坐标为（3,0-）、（9,0）；综上得点C 的坐标为（0,2-）、（0,6）、（3,0-）、（9,0）.
15.（4,2-） 点拨：因为A (2，2)关于y 轴的对称点为B ，所以点B 的坐标为（2,2-）；因为C （4,2--）关于y 轴的对称点为D ，所以点D 的坐标为（4,2-），所以四边形ABCD 的周长为20，因为2 014÷20=100……14，说明细线绕了100圈，回到A 点后又继续绕了14个单位长度，故细线另一端到达点的坐标为（4,2-）.本题利用周期的规律求解，因此求得细线绕四边形ABCD 一圈的长度是解题的关键.
16. 12° 点拨：设∠A =x ，∵A P P P P P P P AP 14141332211===== ， ∴∠A =∠12P AP =∠1413P AP =x ，∴∠312P P P =∠121413P P P =2x ， ∴∠423P P P =∠111312P P P =3x ，…，∠867P P P =∠798P P P =7x ， ∴∠87P AP =7x ，∠78P AP =7x ，
在△87P AP 中，∠A +∠87P AP +∠78P AP =180°，即x +7x +7x =180°， 解得x =12°，即∠A =12°．
三、17. 解：如答图2所示，画出其中任意两个即可．
答图2
点拨：对称轴可以是过正方形对边中点的直线，也可以是正方形对角线所在的直线．本题可以通过折叠操作找到对称轴，从而确定轴对称图形．
18. 解：∵∠A =40°，∠B =76°，∴∠ACB = 647640180=--，
∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACE =∠BCE =32°，∴∠CED =∠A +∠ACE =40°+32°=72°，∵DF ⊥CE ，CD ⊥AB ，∴∠CFD =∠CDE =90°，
∴∠CDF +∠ECD =∠ECD +∠CED =90°，∴∠CDF =∠CED =72°． 19. 解：小明说的有道理．
理由：()().31212
33221211342=+-+=+---⋅--+=
+-⎪⎭⎫
⎝⎛--⋅--a a a a a a a a a a a a 所以只要使原式有意义，无论a 取何值，原式的值都相同，为常数3． 20. 解：M ()()5232544912422222+++-=+++++-=y y x y y y xy x ，
因为()232y x -≥0，()22+y ≥0，所以当032=-y x 且02=+y ，即3-=x 且2-=y 时，M 的值最小，最小值为5.
21. 解：不存在. 理由：若存在，则
12
4
563104=----+x x x x . 方程两边同乘()23-x ，得()()23453104-=--+x x x ， 解这个方程，得2=x .
检验：当2=x 时，()023=-x ，原方程无解．
所以，不存在实数x 使分式
6
310
4-+x x 的值比分式245--x x 的值大1．
点拨：先假设存在，得到分式方程，再解分式方程，由分式方程的结果可说明理由. 22. 解：AB +CD =BC .
理由：如答图3，过点E 作EF ⊥BC 于点F . 因为AB ∥DC ，AD ⊥CD ， 所以AD ⊥AB .
因为BE 平分∠ABC ，所以EA=EF .
在Rt △ABE 和Rt △FBE 中，因为EA =EF ，BE =BE ， 所以Rt △ABE ≌Rt △FBE . 所以AB =BF .
因为E 是AD 的中点，所以AE =ED ，所以ED =EF .
在Rt △EDC 和Rt △EFC 中，因为ED =EF ，EC =EC ， 所以Rt △EDC ≌Rt △EFC . 所以DC =FC .
所以AB +DC =BF +CF =BC ，即AB +CD =BC .
23. 解：（1）由题意得：∠BCD =∠BDC =60°，∴∠CBD =60°. ∴△BCD 是等边三角形.
（2）由题意得：∠BAC =30°，∠ACB =120°， ∴∠ABC =∠BAC =30°， ∴AC =BC = BD =60海里，
∴AD = AC + CD =60+60=120（海里）， ∴t =120÷15=8（小时）.
∴该船从A 处航行至D 处所用的时间为8小时.
（3）若该船从A 处向东航行6小时到达E 处，连接BE . 此时AE =15×6=90（海里），∴CE =90-60=30（海里）. ∴CE =DE =30海里.
∵△BCD 是等边三角形， ∴BE 是CD 的垂直平分线. ∴灯塔B 在该船的正北方向上.
24. 解：(1)设原计划每天铺设路面的长度为x m ． 根据题意得
()30201120
300120=+-+x x
．解之得x ＝9． 经检验：x ＝9是原方程的根,且符合题意． 答：原计划每天铺设路面的长度为9 m ． (2) 所准备的流动资金够支付工人工资． 理由：共支付工人工资为
+⨯6009120
()()=+=⨯+⨯⨯+-1300080006003019
201120300 21000(元) ．
因为21000＜25000，所以所准备的流动资金够支付工人工资．
25. 解：（1）①因为t =3秒， 所以BP =CQ =1×3=3(厘米)，
因为AB =10厘米，点D 为AB 的中点， 所以BD =5厘米．
又因为PC =BP BC -，BC =8厘米， 所以PC =538=-(厘米)， 所以PC =BD ．
因为AB =AC ，所以∠B ＝∠C ， 所以△BPD ≌△CQP ．
②因为P v ≠Q v ，所以BP ≠CQ ，
当△BPD ≌△CPQ 时，因为∠B ＝∠C ，AB =10厘米，BC =8厘米， 所以BP =PC =4厘米,CQ =BD =5厘米， 所以点P ，点Q 运动的时间为4秒，
所以45=Q v 厘米/秒，即当点Q 的运动速度为4
5
厘米/秒时，能够使
△BPD 与△CQP 全等.
（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，
由题意，得1024
5
⨯+=x x ，
解得80=x ．
所以点P 共运动了80厘米．
因为80=2×28+24，所以点P 、Q 在AB 边上相遇，
所以经过80秒点P 与点Q 第一次在△ABC 的边AB 上相遇. 26. 解：（1）＝ （2）＝；
在等边三角形ABC 中，∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°，AB =BC =AC ， 因为EF ∥BC ，
所以∠AEF =∠AFE =60°=∠BAC ． 所以△AEF 是等边三角形， 所以AE =AF =EF ，
所以AF AC AE AB -=-，即BE =CF . 因为ED =EC ，
所以∠EDB =∠ECB ，
又因为∠ABC =∠EDB +∠BED =60°, ∠ACB =∠ECB +∠FCE =60°, 所以∠BED =∠FCE ， 所以△DBE ≌△EFC ， 所以DB =EF ， 所以AE =DB . (3)1或3.
点拨：(1)利用等边三角形三线合一知，∠ECB =30°，又ED =EC ，则∠D =30°，所以 ∠DEC =120°，则∠DEB =30°=∠D ,所以DB ＝EB ＝AE ；(2)先证
△AEF 为等边三角形，再证△EFC ≌△DBE ，可得AE =DB ；(3)当E 在射线AB 上时，如答图4（1），AB ＝BC ＝EB ＝1，∠EBC ＝120°，所以∠BCE ＝30°，因为ED ＝EC ，所以∠D ＝30°，则∠DEB ＝90°，所以DB ＝2EB ＝2，所以CD ＝2+1＝3；
当E 在射线BA 上时，如答图4（2），过点E 作EF ⊥BD 于点F ，则∠BEF ＝30°，所以BF ＝2
1
BE ＝1.5,
所以CF ＝0.5，因为EC ＝ED ，EF ⊥CD ， 所以CD ＝2CF ＝1.
综上，CD 的长为1或3．
答图4。