河北省承德实验中学高三数学上学期期中试题 理

2016--2017学年第一学期实验中学期中考试
高三数学试题（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．下列五个写法：①{}{}00,1,2;∈②{}0;∅⊆③{}{}0,1,21,2,0;⊆④0;∈∅⑤0⋂∅.=∅其中正确．．
写法的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．命题“若b a >，则11->-b a ”的否命题是（ ） A ．若b a >，则11-≤-b a B ．若b a ≥，则11-<-b a C ．若b a ≤，则11-≤-b a D ．若b a <，则11-<-b a 3．在△ABC 中，sin Asin C ＞cos Acos C ，则△ABC 一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定 4．若函数()sin ,0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
在一个周期内的图象如图所示，,M N 分别是这段图象的最高点和最低点，且0OM ON ⋅=，（O 为坐标原点），则A ω⋅=（ ）
A 、
6π B C D 5．如图，阴影部分的面积是（ ）
A ．
．－
C ．
353 D ．323
6．已知等差数列{}n a 的公差是2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于（ ） A ．-4 B ．-6 C ．-8 D ．-10
7．设直角ABC ∆的三个顶点都在单位圆2
2
1x y +=上，点11
(,)22
M ，则||MA MB MC ++的最大值是（ ）
A
1 B
2 C
．12+ D
．22
+ 8．函数lg ||
x y x
=
的图象大致是（ ）
9．已知△ABC 所在的平面内，点0P ，P 满足01
4
P P AB =，PB AB λ=，且对于任意实数λ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅，则（ ）
A ．90ABC ∠=︒
B ．90BA
C ∠=︒ C ．AC BC =
D ．AB AC =
10．已知正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=，若存在两项,m n a a
14a =，
则15
m n
+的最小值为（ ） A
、1 B 、74 C 、2 D 、114
11．设x ，y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪--≥⎩
，若z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，则
实数a 的取值范围为（ ）
A ．[]1,2-
B ．[]2,1-
C ．[]3,2--
D ．[]3,1-
12
．已知不等式组0,x y x y ⎧+-≥⎪⎪
≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P ，作圆
221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ，当APB ∠最大时，PA PB ⋅的值为（ ）
（A ）2 （B ）32 （C ）5
2
（D ）3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卷的横线上)
13．若函数,1,()(4)2, 1.2
x a x f x a
x x ⎧>⎪
=⎨-+≤⎪⎩为R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 ． 14．已知函数()3
2
2
7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10，则a b +的值为 ．
15．已知等差数列{}n a 满足：
11
10
1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则当n S 取到最小正值时，n = ．
16
．把函数21
()cos cos 2
f x x x x =+-
图象上各点向右平移(0)φφ>个单位，得到函数()sin 2g x x =的图象，则φ的最小值为 ．
三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)
17 （本小题10分） 已知
{}2:|230,p A x x x x R =--≤∈，
{}22:|290,,q B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈．
（1）若[]1,3A
B =，求实数m 的值；
（2）若p 是q ⌝的充分条件，求实数m 的取值范围．
18．（本小题12分）
已知函数21
()cos sin ()2
f x x x x x R =++∈ （Ⅰ）当5[,]1212
x ππ
∈-
时，求()f x 的最大值。

（Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
且c =
()2f C =，sin 2sin B A =求
a
19．（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21211
n n a a -+⎧
⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和．
20．（本小题满分12分）已知向量(sin 1)a x =-，，1
(3cos )2
b x =-，，函数2)()(-⋅+=x f ．
（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期T ；
（Ⅱ）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，其中A 为锐角，32=a ，4=c ,且1)(=A f ，求A ，b 和ABC ∆的面积S ．
21．（本题满分12分）
已知函数()x
x
x f 2
12-
=
（1）若()2=x f ，求x 的值；
（2）若()()022≥+t mf t f t
对于[]21,∈t 恒成立，求实数m 的取值范围.
22．（本小题12分）
已知函数3
2()ln(21)2()
3x f x ax x ax a R =++--∈．
（1）若2x =为()f x 的极值点，求实数a 的值；
（2）若()y f x =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；
2016-2017学年第一学期实验中学期中考试
高三数学理试题 参考答案
1．B 【解析】
试题分析：①集合间关系不能用“∈”，错；④φ中没有元素，所以φ∈0错；⑤元素与集合间不能运算，错．
考点：元素、集合间的关系． 2．C 【解析】
试题分析：否命题是对已知命题的条件和结论分别否定，所以命题“若b a >，则11->-b a ”的否命题是若b a ≤，则11-≤-b a 。

故选C 。

考点：写出已知命题的否命题。

3．D 【解析】 试题分析：
()sin sin cos cos cos cos sin sin 0cos 0A C A C A C A C A C >∴-<∴+<
cos 090B B ∴>∴<，三角形只能确定一个内角是锐角，其形状不能确定
考点：1．两角和差的三角函数公式；2．解三角形 4．C 【解析】
试题分析：由图象，得πππωπ
=-⨯==
)12
3(42T ，即2=ω，则),127(),,12(A N A M -π
π，
0OM ON ⋅=，0144
722=-∴A π，解得127π=A ，则67π
ω=⋅A ；故选C ．
考点：1．三角函数的图象与性质；2．平面向量垂直的判定． 5．D 【解析】 试题分析：()1
2
3213
3
132323|33S x
x dx x x x --⎛⎫
=
--=--= ⎪⎝⎭
⎰
考点：1．定积分的几何意义；2．定积分计算 6．B 【解析】
试题分析：若a 1，a 3，a 4成等比数列，所以()()2
2
3141111466a a a a a a a =∴+=+∴=-
考点：等差数列等比数列 7．C 【解析】
试题分析：由题意，22MA MB MC MA MO MA MO +++≤+=，当且仅当M O A ，，共线同
向时，取等号，即MA MB MC ++取得最大值，最大值是1122
+=+，故选：C ． 考点：1．点与圆的位置关系；2．平面向量及应用．
【思路点睛】由题意，22MA MB MC MA MO MA MO +++≤+=，当且仅当M O A ，，共线同向时，取等号，即可求出||MA MB MC ++的最大值． 8．D 【解析】
试题分析：函数定义域为{}0|≠x x ，且()()x f x
x x f -=-
=-ln ，为奇函数，又因为当1=x 时
()0=x f ，由此两个性质知函数图象可能为D ．
考点：函数的图象与性质． 9．C 【解析】 试题分析：
如下图：过点C 作CD 垂直AB 于点D ，设x =D P 0,AB=4，1B P 0=，则由向量数量积的几何意义得，
2
00P B P C -,PB PC (1)(1)x PB PD PD x PD PD x PD ⋅=⋅=⋅=++⋅=++⋅,要使对于任意实数λ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅，
即2
(1)-P D x P D x ++⋅≥，也即2
(1)0
PD x PD x ++⋅+≥对任意的实数x 恒成立，所以01412
2
≤-=-+=
∆)(x x x ）（,则1=x .又因1B P 0=，所以BD=2，即点D 是AB 的中点。

又因为AB CD ⊥，所以AC=BC 。

故选C 。

考点：向量数量积的综合问题。

10．B 【解析】
试题分析：根据已知条件，4151612q a q a q a +=，整理为022
=--q q ，又0>q ，解得，2=q ，由已知条件可得：2
122116a q a n m =-+，整理为162
2
=-+n m ，即6=+n m ，所以1511515
5()()(6)1663n m m n m n m n m n +=++=++≥+，当且仅当5n m
m n
=取等号，但此时*,N n m ∉．又6=+n m ，所以只有当2,4==n m 时，取得最小值是
4
7
；故选B ． 考点：1．等比数列；2．基本不等式．
【易错点睛】本题考查等比数列的通项公式、性质以及基本不等式的应用，属于中档题；在利用基本不等式求函数的最值时，要注意其使用条件“一正、二定、三等”，尤其是“相等”的条件，本题中若忽视条件“*
,N n m ∉”
，则会出现“最小值为1”的错误． 11．B 【解析】
试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中
711(
,),(1,1),(2,4)
33
A B C ,由124
a ax y a +≤+≤+恒成
立
得
711
1241
1
33a a a a a a a a a +≤
+≤++≤+≤++≤+≤+，，，解得21a -≤≤，选B.
考点：线性规划求最值 12．B 【解析】
试题分析：如图所示，画出平面区域Ω，当APB ∠最大时，APO ∠最大，故1
sin AO APO OP OP
∠=
=最大，故OP 最小即可，其最小值为点O
到直线0x y +-=的距离2d =，故1sin 2
APO ∠=
，此时
0260A P B A P O ∠=∠=，
且3P A
=-=，故
3
c o
s 2
P
A
P
B P A P B
A
P B
⋅=⋅∠=．故选B ．
考点：1线性规划；2平面向量数量积． 13．)8,4[ 【解析】
试题分析：根据题意，有1,40,2422
a a
a
a ⎧
⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪-+≤⎪⎩同时成立，解得48a ≤<，故答案为)8,4[．
考点：分段函数单调增的条件．
【方法点睛】在解决分段函数单调性时，首先每一段函数的单调性都应具备单调递增（或单调递减），其次，在函数分段的分界点处也应该满足函数的单调性，据此建立不等式组，求出函数的交集，即可求出结果． 14．3 【解析】
试题分析：可得，b ax x x f ++=232
)(',则有⎩
⎨⎧=++--==++=101610
3212
b a a f b a f )()(',解得⎩⎨⎧=-=12b a 或
⎩⎨⎧==9-6b a ．经验证，⎩⎨⎧=-=12b a 不符合题意．故⎩
⎨⎧==9-6
b a ，所以a b +3=． 考点：函数的极值问题． 15．19 【解析】
试题分析：因为等差数列{}n a 前n 项和n
S 有最大值，所以公差为负，因此由11
101
a a <-得
1110111011100,0,0
a a a a a a <><-⇒+<
119120101119102010()10()10()
100,0,222a a a a a a S a S +++⇒=
=>==<
因此当19n =时，
n
S 取到最小正值
考点：等差数列性质 【名师点睛】
求等差数列前n 项和的最值常用的方法 (1)先求a n ，再利用⎩⎪⎨
⎪
⎧
a n ≥0a n ＋1≤0
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
a n ≤0a n ＋1≥0
求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值．
(2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值．②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2
＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值． 16．
12
π 【解析】
试题分析：
1()2cos 2sin(2)26
f x x x x π
=
+=+，平移后的解析式为()sin(22)sin 26g x x x πϕ=-+=，所以22,6
k k Z πϕπ-=∈，故有ϕ的最小值为12π
．
考点：函数图像的平移，倍角公式，辅助角公式． 17．（1）4=m ；（2）6>m 或4m <-． 【解析】
试题分析：（1）先通过解一元二次不等式的解集求出集合A 、B ，然后由集合A 、B 的关系[]
1,3A
B =及数轴法求解；（2）用集合的观点理解充分性、必要性，即由条件得到R A
C B ⊆，然后按照集合关
系求出参数范围．
试题解析：（1）解得，{}{}|13,,|33,,A x x x R B x m x m x R m R =-≤≤∈=-≤≤+∈∈， ∵[]1,3A B =，∴m-3=1，解得4=m ． （5分）
（2）∵p 是q ⌝的充分条件，
∴R A C B ⊆，
∴6>m 或4m <-．
考点：①集合间的运算；②由充分性、必要性求参数范围． （5分）
18．（Ⅰ）2；（Ⅱ）1a =。

211cos 211()cos sin 22cos 212222
x f x x x x x x x -=++=++=-+sin(2)16
x π=-+ 5[,]1212x ππ∈-，22[,]633x πππ∴-∈-。

∴当262x π
π
-=时，即3x π
=时，
max sin(2)1,()26
x f x π-=∴=。

（6分） （Ⅱ）()sin(2)126f C C π
=-+=，
sin(2)16
C π∴-=。

0C π<<， 112666
C πππ∴-<-<。

262C π
π
∴-=，得3C π
=。

sin 2sin B A =，
222b a R R
∴=， 2b a ∴=。

）1a = （6分）
19．（1）2n a n =-；（2）
12n n
-． 【解析】
试题分析：（1）设等差数列的首项，公差分别是d a ,1，代入n S 中求解；（2）先将12-n 和12+n 代
入通项公式，整理，再裂项相消求解．
试题解析：（1）设{}n a 的公差为d ，则1(1)2n n n S na d -=+
． 由已知可得11330,5105,
a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1,a d =⎧⎨=-⎩，故{}n a 的通项公式为2n a n =-．（4分） （2）由（1）知
212111111()(32)(12)22321n n a a n n n n -+==-----， 从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为1111111()21113232112n n n n -+-++-=----…． （8分）
考点：1、等差数列的前n 项和；2、等差数列的通项公式；3、裂项相消法求和．
【易错点睛】在使用裂项法求和时，要注意正负相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．有时首项不能消去，有时尾项不能消去，因此在消项时要特别小心，以免出错．
20．（Ⅰ）22
T ππ=
=；（Ⅱ）3A π=，2b =
，S =． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先根据平面向量的数量积的坐标运算计算函数)(x f 的表达式，然后运用倍角公式和两
角的和或差的正弦或余弦公式以及辅助角公式将函数)(x f 的表达式化为同一角的正弦或余弦，再运用公式 2T π
ω=即可求出函数)(x f 的最小正周期T ；（Ⅱ）首先由1)(=A f 并结合（Ⅰ）中函数)(x f 的表达式以
及三角形内角的取值范围，可得出角A 的大小，然后在ABC ∆中应用余弦定理并结合已知a 和c 的值，可
求出边长b 的大小，最后由ABC ∆的面积公式即可求出所求的答案．
试题解析：（Ⅰ）2
()()22f x a b a a a b =+⋅-=+⋅-
21sin 1cos 22
x x x =+++-
1cos 211sin 22cos 2sin(2)222226
x x x x x π-=+-=-=-．因为2ω=，所以22
T ππ=
=． （4分） （Ⅱ）()sin(2)16f A A π=-=，因为(0)2A π∈，，52()666A πππ-∈-，，所以262
A ππ-=，3A π=．则2222c o s a b c b c A =+-，所以211216242
b b =+-⨯⨯，即2440b b -+=，则2b =，从而11sin 24sin 602322S b
c A ==⨯⨯⨯= （8分） 考点：1、平面向量数量积的坐标运算；2、余弦定理；3、三角恒等变换．
【方法点晴】本题考查了平面向量数量积的坐标运算、三角函数中的恒等变换与余弦定理，属中档题．解决这类问题最关键的一步是运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和差公式等将函数)(x f 的表达式化简为同角的正弦或余弦形式．其次是在ABC ∆中解三角函数的恒等式，尤其要注意三角形内角的取值范围，进而确定其角的大小．
21．()21log 2+ [)+∞-,5
【解析】(1)由f(x)=2可得1222
x x -
=,然后再讨论x>0,x=0,x<0三种情况解此方程即可. （6分） (2) ()()022≥+t mf t f t
对于[]21,∈t 恒成立因为f(t)>0,所以等价于()()22t f t m f t ≥-, 然后再求()()
22t f t f t -在[]21,∈t 上的最大值即可. （6分）
22．（1）0a =；（2）30,
4⎡+⎢⎣⎦； 【解析】
试题分析：（1）求函数()f x 的导数()f x '，由()0f x '=可得0a =，再检验0a =时，函数()f x 在2x =取得极值即可；（2）由()0
f x '≥在区间[3,)+∞上恒成立可得222(14)(42)0ax a x a +--+≥在[3,)+∞上恒成立，分类讨论即可求出a 的取值范围；（3）1
2
a =-时，方程3(1)(1)3x
b f x x
--=+有实根等价于在23ln b x x x x =+-有实根求b 的最大值等价于求
函数232()ln (ln )g x x x x x x x x x =+-=+-的最大值，令2()ln h x x x x =+-，求函数()h x 导数得(21)(1)()x x h x x
+-'=，由导数的符号可知函数的单调性，由此可求得函数()0h x ≤，又()()0
g x xh x =≤，可求得函数()g x 的最大值，即b 的最大值． 试题解析：（1）2222(14)(42)2'()222121x ax a x a a f x x x a ax ax ⎡⎤+--+⎣⎦=+--=++．
因为2x =为()f x 的极值点，所以'(2)0f =．即22041a a a -=+，解得0a =．
又当0a =时，'()(2)f x x x =-，从而2x =为()f x 的极值点成立． （4分）
（2）因为()f x 在区间
[)3,+∞上为增函数， 所以222(14)(42)'()021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦=≥+在区间[)3,+∞上恒成立．
①当0a =时，'()(2)0f x x x =-≥在
[)3,+∞上恒成立，所以()f x 在[)3,+∞上为增函数，故0a =符合题意．②当0a ≠时，由函数()f x 的定义域可知，必须有210ax +>对3x ≥恒成立，故只能0a >，
所以
222(14)(42)0ax a x a +--+≥在[)3,+∞上恒成立． 令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为1
14x a =-，
因为0a >所以1114a -<，从而()0g x ≥在
[)3,+∞上恒成立，只要(3)0g ≥即可， 因为
2(3)4610g a a =-++≥，
解得
a ≤≤． 因为0a >
，所以
304a +<≤． 综上所述，a
的取值范围为30,4⎡⎢⎣
⎦． （8分）。