东莞市名校2019-2020学年数学高二下期末考试试题含解析

东莞市名校2019-2020学年数学高二下期末考试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．己知某物体的温度θ（单位：摄氏度）随时间t （单位：分钟）的变化规律是θ＝m·2t +12t -（t≥0，m ＞0），若物体的温度总不低于2摄氏度，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[
1
4
，+∞） B ．[
1
3
，+∞） C ．[
1
2
，+∞） D ．（1，+∞]
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用基本不等式求解即可． 【详解】
由基本不等式可知，122t t m -⋅+≥=， 当且仅当“m •2t ＝21﹣
t ”时取等号，
由题意有，2
1≥，解得12
m ≥． 故选：C ． 【点睛】
本题考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于基础题．
2．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（ ）
A ．4553
14105322
C C C A A
B ．4552
1410523
3
C C C A A C ．455141052
2
C C C A
D ．455
14105C C C
【答案】A 【解析】 【分析】
本题涉及平均分组问题，先计算出分组的方法，然后乘以3
3A 得出总的方法数. 【详解】
先将14种计算器械分为三组，方法数有4551410522C C C A 种，再排给3个人，方法数有4553
1410532
2
C C C A A ⨯种，故选A. 【点睛】
本小题主要考查简单的排列组合问题，考查平均分组要注意的地方，属于基础题.
3．命题2:,0p x R x ∀∈≥的否定是（ ） A ．2,0x R x ∃∈≥ B ．2,0x R x ∃∈< C ．2,0x R x ∀∈< D ．2,0x R x ∀∈>
【答案】B 【解析】
试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以：
，故选B.
考点：1.全称命题；2.特称命题.
4．已知数列{}n a 满足110,n a a +==1
1g(1)1
n a n +-+,则100a =( ) A ．1g101- B ．2-
C ．1g101
D ．2
【答案】B 【解析】
分析：首先根据题中所给的递推公式1n a += 1
1g(1)1
n a n +-
+，推出11
lg(1)lg lg(1)1
n n a a n n n +-=-
=-++，利用累求和与对数的运算性质即可得出结果 详解：由1n a += 1
1g(1)1n a n +-
+， 可得11
lg(1)lg lg(1)1n n a a n n n +-=-
=-++， 即21321lg1lg 2,lg 2lg3,,lg(1)lg n n a a a a a a n n --=--=-⋯-=--， 累加得1lg1lg 2lg 2lg3+lg(1)lg n a a n n -=-+-+⋯--lg n =-， 又10a =，所以lg n a n =-，所以有100lg1002a =-=-，故选B.
点睛：该题考查的是有关利用累加法求通项的问题，在求解的过程中，需要利用题中所给的递推公式，可以转化为相邻两项差的式子，而对于此类式子，就用累加法求通项，之后再将100代入求解. 5．在（x 310的展开式中，6x 的系数是（ ） A ．－275
10C B ．274
10C
C ．－95
10C
D ．94
10C
【答案】D 【解析】
试题分析：通项T r ＋1＝10r
C x 10－r 3）r 3r 10r
C x 10－r .令10－r ＝6，得r ＝4.∴x 6的系数为94
10C 考点：二项式定理
6．用数学归纳法证明“21
1*43()n n n N -++∈能被13整除”的第二步中，当1n k =+时为了使用归纳假设，
对21243k k +++变形正确的是（ ） A ．211116(43)133k k k -+++-⨯ B ．24493k k ⨯+⨯
C ．211211(43)15423k k k k -+-+++⨯+⨯
D ．211213(43)134k k k -+-+-⨯
【答案】A 【解析】 试题分析：假设当，
能被13整除， 当
应化成
形
式，所以答案为A 考点：数学归纳法
7．已知l 、m 、n 是空间三条直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若l // m ，l // n ，则m // n B ．若l ⊥m ，l ⊥n ，则m // n
C ．若点A 、B 不在直线l 上，且到l 的距离相等，则直线AB // l
D ．若三条直线l 、m 、n 两两相交，则直线l 、m 、n 共面 【答案】A 【解析】
分析：由公理4可判断A ，利用空间直线之间的位置关系可判断B ，C ，D 的正误，从而得到答案． 详解：由公理4可知A 正确；
若l ⊥m ，l ⊥n ，则m ∥n 或m 与n 相交或异面，故B 错误；
若点A 、B 不在直线l 上，且到l 的距离相等，则直线AB ∥l 或AB 与l 异面，故C 错误； 若三条直线l ，m ，n 两两相交，且不共点，则直线l ，m ，n 共面，故D 错误． 故选A ．
点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．
8．现有A B C D E 、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( ) A ．120种 B ．5种
C ．35种
D ．53种
【答案】D 【解析】 【分析】
先计算每个同学的报名方法种数,利用乘法原理得到答案. 【详解】
A 同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择. 同理BCDE 四位同学也各有3种选择,乘法原理得到5333333⨯⨯⨯⨯= 答案为D 【点睛】
本题考查了分步乘法乘法计数原理,属于简单题目.
9．下列函数中，与函数||3x y =-的奇偶性相同，且在(,0)-∞上单调性也相同的是（ ） A ．21y x =- B ．2log ||y x =
C ．1y x
=-
D ．31y x =-
【答案】A 【解析】 【分析】
先分析||
3x y =-的奇偶性以及在(,0)-∞的单调性，然后再对每个选项进行分析. 【详解】
函数||
3x y =-为偶函数,且在(,0)-∞上为增函数，
对于选项A ,函数2
1y x =-为偶函数，在(,0)-∞上为増函数，符合要求； 对于选项B ,函数2log ||y x =是偶函数，在(,0)-∞上为减函数，不符合题意； 对于选项C ,函数1
y x
=-
为奇函数，不符合题意； 对于选项D ,函数3
1y x =-为非奇非偶函数，不符合要求； 只有选项A 符合要求，故选A . 【点睛】
奇偶函数的判断：（满足定义域关于原点对称的情况下） 若()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数； 若()()f x f x -=，则()f x 是偶函数.
10．已知函数()2f x +的图像关于直线2x =-对称，且对任意()1212,0,,x x x x ∈+∞≠有
()()1212
0f x f x x x ->-，则使得()()211f x f -<成立的x 的取值范围是（ ）
A ．()0,1
B ．()(),01,-∞⋃+∞
C ．()1,1-
D ．()
(),10,-∞-+∞
【答案】A 【解析】
∵函数()2f x +的图象关于直线2x =-对称，
∴函数()f x 的图象关于直线0x =对称， ∴函数()f x 为偶函数．
又对任意()1212,0,,x x x x ∈+∞≠有
()()1212
0f x f x x x ->-，
∴函数()f x 在()0,+∞上为增函数． 又()()211f x f -<， ∴211x -<， 解得01x <<.
∴x 的取值范围是()0,1.选A ．
11．甲、乙、丙、丁四人参加驾校科目二考试，考完后，甲说：我没有通过，但丙已通过；乙说：丁已通过；丙说：乙没有通过，但丁已通过；丁说：我没有通过．若四人所说中有且只有一个人说谎，则科目二考试通过的是（ ） A ．甲和丁 B ．乙和丙
C ．丙和丁
D ．甲和丙
【答案】C 【解析】 【分析】
逐一验证，甲、乙、丙、丁说谎的情况，可得结果. 【详解】 若甲说谎，
则可知丁通过，但丁说没通过，故矛盾 若乙说谎
则可知丁没有通过，但丙说丁通过，故矛盾 若丙说谎
则可知丁通过，但丁说没有通过，故矛盾 若丁说谎，则可知丙、丁通过了科目二 所以说谎的人是丁 故选：C 【点睛】
本题考查论证推理，考验逻辑推理以及阅读理解的能力，属基础题.
12．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，且()f x 的图象关于1x =对称，当[]
0,1x ∈时，
()21x f x =-，则()2018f 的值为( )
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据函数()f x 的图象关于1x =对称且()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，可求出函数的最小正周期，再由[]
0,1x ∈时，()21x
f x =-，即可求出结果.
【详解】
根据题意，函数()f x 的图象关于1x =对称，则()()2f x f x -=+，又由函数()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，则()()f x f x -=-，则有()()2f x f x +=-，变形可得()()4f x f x +=，即函数是周期为4的周期函数，则()()()()20182450420f f f f =+⨯==-，又由函数()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，则
()00f =，故()20180f =.
故选C 【点睛】
本题主要考查函数的基本性质，周期性、奇偶性、对称性等，熟记相关性质即可求解，属于常考题型. 二、填空题：本题共4小题
13．不等式12⎛⎫
⎪
⎝⎭
2+x ax
＜12⎛⎫ ⎪⎝⎭
+-2
2x a 恒成立，则a 的取值范围是________．
【答案】 (－2,2) 【解析】 【分析】
利用指数函数的单调性可以得到一元二次不等式恒成立问题，再根据判别式即可求得结果. 【详解】
由指数函数的性质知y ＝12⎛⎫
⎪⎝⎭
x
是减函数， 因为12⎛⎫
⎪
⎝⎭
2+x ax
＜12⎛⎫ ⎪⎝⎭
+-2
2x a 恒成立，
所以x 2＋ax ＞2x ＋a －2恒成立， 所以x 2＋(a －2)x －a ＋2＞0恒成立， 所以Δ＝(a －2)2－4(－a ＋2)＜0， 即(a －2)(a －2＋4)＜0， 即(a －2)(a ＋2)＜0，
故有－2＜a ＜2，即a 的取值范围是(－2,2)．
本题考查不等式恒成立问题，利用指数函数的单调性将指数不等式转化为一元二次不等式是本题的关键，属基础题.
14．引入随机变量后，下列说法正确的有：__________（填写出所有正确的序号）. ①随机事件个数与随机变量一一对应； ②随机变量与自然数一一对应； ③随机变量的取值是实数. 【答案】③ 【解析】 【分析】
要判断各项中对随机变量描述的正误，需要牢记随机变量的定义. 【详解】
引入随机变量,使我们可以研究一个随机实验中的所有可能结果，所以随机变量的取值是实数，故③正确. 【点睛】
本题主要考查随机变量的相关定义，难度不大.
15．某技术学院为了让本校学生毕业时能有更好的就业基础，增设了平面设计、工程造价和心理咨询三门课程.现在有6名学生需从这三门课程中选择一门进修，且每门课程都有人选，则不同的选择方法共有______种（用数学作答）. 【答案】540 【解析】 【分析】
根据题意可知有3种不同的分组方法，依次求出每种的个数再相加即得． 【详解】
由题可知6名学生不同的分组方法有三类：①4，1，1；②3，2，1；③2，2，2.所以不同的选择方法共有
41133213222
621363136422
2
540C C C A C C C A C C C A ++=种. 【点睛】
本题考查计数原理，章节知识点涵盖全面． 16．当1x <时，等式
()21
11n
x x x x
=-+++-+
+恒成立，根据该结论，当12
x <
时，()()
013
121n n x
a a x a x x x
=++
++
+-，则8a 的值为___________.
【答案】114-.
【解析】
由12x <，可得21x <，3
18
x -<，结合已知等式将代数式
()()3121x x x +-将代数式展开，可求出8a 的值. 【详解】 当12x <
时，得21x <，3
18
x -<， 所以()()
()()()3331221121n
n x
x x x x x x x ⎡⎤=⋅+-++-+
⋅++
++
⎣⎦
+-，
所以，()()()4
7
8222114a =-+-+-=-，故答案为：114-. 【点睛】
本题考查恒等式的应用，解题时要充分利用题中的等式，结合分类讨论求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知二项式1n
x ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为256. （1）求n ；
（2）求展开式中的常数项． 【答案】（1）8；（2）28. 【解析】 【分析】
⑴观察1n
x ⎫⎪⎭可知，展开式中各项系数的和为256，即112...256n
n n n n C C C C ++++=，解出得到n 的
值
⑵利用二次展开式中的第1r +项，即通项公式11r
n r
r r n
T C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭
，将第一问的n 代入，并整理，令x 的次数为0，解出r ，得到答案 【详解】
（1）由题意，得112...256n
n n n n C C C C ++++=，即2n ＝256，解得n ＝8.
（2）该二项展开式中的第1r +项为T r ＋1＝8483
8
81r
r r
r r C
C x x --⎛⎫
⋅=⋅ ⎪⎝⎭
，令
843
r
-＝0，得r ＝2，此时，常数项为2
38T C =＝28.
【点睛】
本题主要考的是利用赋值法解决展开式的系数和问题，考查了利用二次展开式的通项公式解决二次展开式的特定项问题。

18．电子商务公司对某市50000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额都在5000元到10000元之间，其频率分布直方图如下：
（1）求图中x 的值，并求出消费金额不低于8000元的购物者共多少人；
（2）若将频率视为概率，从购物者中随机抽取50人，记消费金额在7000元到9000元的人数为ξ，求ξ的数学期望和方差.
【答案】 (1) 0.004x =，14000人(2) ()37E ξ=，
()9.62D ξ= 【解析】 【分析】
()1由频率分布直方图计算出频率，然后用样本估计总体
()2计算出消费金额在7000到9000的概率，然后计算ξ的数学期望和方差
【详解】 （1）()10.0120.0560.0180.01010
0.00410
x -+++⨯=
=
消费金额不低于8000元的频率为()0.0180.010100.28+⨯=， 所以共500000.2814000⨯=人.
（2）从购物者中任意抽取1人，消费金额在7000到9000的概率为()0.0560.018100.74+⨯=， 所以()~50,0.74B ξ， ∴()500.7437E ξ=⨯= ∴()500.740.269.62D ξ=⨯⨯=. 【点睛】
本题结合频率分布直方图用样本估计总体，并计算相应值得数学期望和方差，只要运用公式即可得到结果，
较为基础．
19．椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，与y 轴正半轴交于点B ，若12BF F ∆为等腰直
角三角形，且直线1BF 被圆222x y b +=所截得的弦长为2. （1）求椭圆的方程；
（2）直线l ：y kx m =+与椭圆交于点,A C ，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为
PAC ∆的重心，求证：PAC ∆的面积S 为定值.
【答案】（1）22142x y +=；
（2
）2
【解析】
分析：（1）由等腰直角三角形的性质分析可得b c =，又由直线与圆的位置关系可得a 的值，进而可得b 的值，将,a b 的值代入椭圆的方程即可得结论；（2）根据题意，分、两种情况讨论，若直线l 的斜率不存在，容易求出PAC ∆的面积，若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，结合一元二次方程中根与系数的关系，求出PAC ∆的面积消去参数，综合两种情况可得结论.
详解：（1）由12BF F ∆为等腰直角三角形可得b c =，直线1BF ：y x b =+被圆圆222
x y b +=所截得的弦
长为2
，所以2,a b c ===22142
x y +=.
（2）若直线l
的斜率不存在，则132S =
=
. 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y ，
即22
142x y y kx m
⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，则122412km x x k +=-+，()
212222
12m x x k -=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+， 由题意点O 为PAC ∆重心，设()00,P x y ，则
123123
0,033
x x x y y y ++++==，
所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122
212m y y y k =-+=-+，代入椭圆22
142x y +=，得 ()
()
22
2
2
2
224211212k m m k k +
=++，整理得2
2122
k m +=，
设坐标原点到直线l 的距离为d ，则PAC ∆的面积
2
1212
2
113
313
222
1
m
S AC d k x x x x m
k
=⋅=+-⋅=-⋅
+
()()22
2
2
222
22212
22
343
4
21212212
k m
m
km
m m
k k k
+-
-
⎛⎫
=--⋅⋅=⋅⋅
⎪
+++
⎝⎭
()2
2
2
2
12
212
1236
2
32
122
2
k
k
k
k
+
+-
+
=⋅⋅=
+
.
综上可得PAC
∆的面积S为定值
36
2
.
点睛：本题主要考查待定待定系数法求抛物线及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 20．如图，AB切o于点B，直线AO交o于,D E两点，BC DE
⊥,垂足为C.
（1）证明：CBD DBA
∠=∠
（2）若3
AD DC
=,2
BC=，求圆的直径.
【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】
试题分析：（1）根据直径的性质，即可证明CBD DBA
∠=∠；
（2）结合圆的切割线定理进行求解，即可求出O的直径.
试题解析：
（1）因为是的直径，
则
又，所以
又切于点，
得
所以
（2）由（1）知平分，
则
， 又，从而， 所以
所以， 由切割线定理得
即
， 故
， 即的直径为3. 21．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AC CB =，1AB AA =，0160BAA ∠=
（1）证明：1AB A C ⊥；
（2）若平面ABC ⊥ 平面11AA B B ，2AB CB ==，求点A 到平面11BB C C 的距离．
【答案】（1）见解析（2）215h =
【解析】
试题分析： (1)利用题意首先证得1AB OA C ⊥平面，然后利用线面垂直的定义即可证得题中的结论；
(2)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量和直线的方向向量可得直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦10. 试题解析：
（1）证明：如图所示，取AB 的中点O ，连接OC ，1OA ，1A B .因为=CA CB ，
所以OC AB ⊥.由于1AB AA =，160BAA ∠=︒，
故1AA B 为等边三角形，所以1OA AB ⊥.
因为1OC OA O ⋂=，所以1AB OA C ⊥平面.
又11AC OAC ⊆平面，故1AB A
C ⊥
（2）由（1）知OC AB ⊥，1OA AB ⊥，又11ABC AA B B 平面平面⊥，交线为AB ，
所以11OC AA B B ⊥平面，故1,,OA OA OC 两两相互垂直.
以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，OA 为单位长，建立如图（2）所示的空间直角坐标系Oxyz .由题设知()()(()11,0,0,3,0,3,1,0,0A A C B -， 则(=1,03BC ，，()113,0BB AA ==-，(103,3AC =-，. 设(),,n x y z =是平面11BB C C 的法向量，
则10,0,n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,30.x z x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩可取()3,1,1,n =-故11110,5n A C cosn A C n A C ⋅=
=-. 所以1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值为
105 22．已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=,以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴，取相同的单位长度，建
立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为()12231x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
为参数 .
（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设曲线C 经过伸缩变换2x x y y
=⎧⎨=''⎩得到曲线C '，曲线C '上任一点为()00,M x y 00132x y +的取值范围．
【答案】（1） 直线l 32310x y +-=，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=. （200132
x y +
的取值范围是[]4,4-. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用222x y ρ=+，将2ρ=转化成直角坐标方程，利用消参法法去直线参数方程中的
参数t ，得到直线l 的普通方程；（Ⅱ）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示
0012
y +，根据三角函数的辅助角公式求出其范围即可． 试题解析：（Ⅰ）直线l
10y +-=
曲线C 的直角坐标方程为224x y +=
（Ⅱ）曲线C 经过伸缩变换'{'2x x
y y ==得到曲线'C 的方程为2244y x +=，即221416x y += 又点M 在曲线'C 上，则002cos {4sin x y θ
θ==（θ为参数）
0012
y +
00112cos 4sin 2sin 4sin()223y πθθθθθ+=+⋅=+=+
0012
y +的取值范围是[4,4]-． 考点：1、参数方程与普能方程的互化；2、圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、伸缩变换．。