高一必修二经典立体几何专项练习题

高一必修二经典立体几何专项练习题
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
1〕直线在平面内——有无数个公共点
2〕直线与平面相交——有且只有一个公共点
3〕直线在平面平行——没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a α来表示
a α a ∩α=A a ∥α
.直线、平面平行的判定及其性质
直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，
那么该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，那么线面平行。

符号表示：
α
β=>a∥αa∥b
平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

（符号表示：
a β
b β
a∩b=pβ∥
a∥
b∥
2、判断两平面平行的方法有三种：
1〕用定义；
2〕判定定理；
3〕垂直于同一条直线的两个平面平行。

—直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任
一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行那么线线平行。

符号表示：
∥α
βa∥bα∩β=b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那
么它们的交线平行。

符号表示：
∥
∩γ=a a∥b
∩γ=b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
直线、平面垂直的判定及其性质
直线与平面垂直的判定
1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线
面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

L与平L的垂
P
a
L
2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
那么该直线与此平面垂直。

注意点：a)定理中的“两条相交直线〞这一条件不可无视；
定理表达了“直线与平面垂直〞与“直线与直线垂直〞互相转化的
数学思想。

平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭lβ
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平
面垂直。

—直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2、两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线
与另一个平面垂直。

17．(此题15分)如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，
PO底面ABCD，E是PC的中点．P
求证：〔1〕PA∥平面BDE；
〔2〕平面PAC平面BDE．
E
D C
O
A B
16．(此题10分)
如下列图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，，BC CC1，、N分别为BB1、
ABC90M
A1C1的中点.
〔Ⅰ〕求证：CB1平面ABC1；
〔Ⅱ〕求证：MN//平面ABC1.
18．〔此题
12分〕
四棱锥P-ABCD，底面ABCD
是
A 60、边长为a的菱形，又PD底面ABCD，且
PD=CD，点
M、N分别是棱AD、PC的中点．
〔1〕证明：DN ABC A1B1C1ABC90
BC
CC1MNBB1A1C1〔Ⅰ〕求证：CB1平面ABC1；
〔Ⅱ〕求证：MN//平面ABC1.
解析：〔Ⅰ〕在直三棱柱ABC A1B1C1中，
侧面BB1C1C⊥底面ABC，且侧面BB1C1C∩底面ABC=BC，
∵∠ABC=90°，即AB BC，
∴AB平面BB1C1C
∵CB1平面BB1C1C，∴CB1AB.⋯⋯2分∵，，∴是正方形，
∴，∴CB1平面ABC1.⋯⋯⋯⋯⋯4分〔Ⅱ〕取AC1的中点F，BF、NF.⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分在△AA1C1中，N、F是中点，
∴NF//AA1,NF 1
AA1，又∵BM//AA1,BM
1
AA1，∴22
NF//BM,NF BM，⋯⋯⋯6分
故四形BMNF是平行四形，∴MN//BF，⋯⋯⋯⋯8分
而BF面ABC1，MN平面ABC1，∴MN//面ABC1⋯⋯10分
18．〔本12分〕四棱P-ABCD，底面ABCD是A60、a的菱形，又
PD底面ABCD，且PD=CD，点M、N分是棱AD、PC的中点．
〔1〕明：DN//MQ
DN MQ平面PMB DN//平面PMB⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
DN平面PMB
PD平面ABCD
PD MB
〔2〕
平面ABCD
MB
又因底面ABCD是
A60,a
的菱形，且
M AD
中点，
所以MB AD.又所以MB平面PAD.
MB平面PAD
平面PMB平面PAD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
MB平面PMB
〔3〕因M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离.
点D作DH PM于H，由〔2〕平面PMB平面PAD，所以DH平面PMB．故DH是点D到平面PMB的距离.
a
a
5
DH2 a.
5
5a
2
17．(本15分)明〔1〕∵O是AC的中点，E是PC的中点，
∴OE∥AP，⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
又∵OE平面BDE，PA平面BDE，
∴PA∥平面BDE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
（2〕∵PO底面ABCD，
∴PO
BD，⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分又∵AC BD，且AC PO=O
∴BD
∴平面PAC 平面PAC，而
平面BDE．
BD
平面
BDE，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
13分
15分
〔１〕当点角的中点，点的坐是．
因点在段上，．
．
当，的最小，即点在棱的中点，有最小．
〔２〕因在角上运．是定点，所以当
，最短．因当点棱的中点，，是等腰三角形，所以，当点是的中点，取得最小．〔３〕当点在角上运，点在棱上运
，的最小仍然是．
明：如下，，由正方体的称性，然有．
在平面上的射影是．在中，，所以，即有．
所以，点的坐是．
由，可，
．
当，取得最小，最小是．。