2021-2022学年数学北师大版必修五学案 第一章 3.1.1 等 比 数 列

已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2-an,求证:数列{an}是等比数列. 【证明】因为 Sn=2-an,所以 Sn+1=2-an+1. 所以 an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1. 所以 an+1= an, 又因为 S1=2-a1, 所以 a1=1≠0,又由 an+1= an 知 an≠0,
所以 = .
所以数列{an}是首项为 a1=1,公比为 的等比数列. 类型二 等比数列的应用(逻辑推理)
角度 1 等比数列的实际应用 【典例】某人买了一辆价值 10 万元的新车,专家预测这种车每年按 10% 的速度贬值. (1)用一个式子表示第 n(n∈N+)年这辆车的价值; (2)如果他打算用满 3 年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱? 【思路导引】“每年按 10%的速度贬值”则车的剩余价值为以(1-10%) 为公比的等比数列. 【 解 析 】 (1) 从 第 一 年 起 , 每 年 车 的 价 值 ( 万 元 ) 依 次 设 为:a1,a2,a3,…,an, 由题意,得 a1=10,a2=10×(1-10%), a3=10(1-10%)2 ,…. 由 等 比 数 列 定 义 , 知 数 列 {an} 是 等 比 数 列 , 首 项 a1=10, 公 比 q=1-10%=0.9, 所以 an=a1·qn-1=10×0.9n-1. 所以第 n 年车的价值为 an=10×0.9n-1 万元. (2)当他用满 3 年时,车的价值为 a4=10×0.94-1=7.29(万元). 所以用满 3 年卖掉时,他大概能得 7.29 万元.
必备知识·自主学习 1.等比数列中有 0 项吗? 导思 2.等比数列的通项公式一定是指数函数吗? 1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常 用字母 q 表示(q≠0).
如何用符号语言表达等比数列的定义?
=q(n≥
2,q 为常数且不为零),则数列{an}是等比数列. (2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为 an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数 列{an}是等比数列. (3)构造法:在条件中出现 an+1=kan+b 关系时,往往构造数列,方法是把 an+1+x=k(an+x)与 an+1=kan+b 对照,求出 x 即可.
提示: =常数 q(n≥2).
2.等比数列的递推公式与通项公式
已知等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q(q≠0),则
递推公式
通项公式
an=a1qn-1(a1 ≠ 0,q ≠ =q(n≥2,n∈N+)
0)
观察等差数列、等比数列的通项公式,比较有何异同? 提示:n 个 a 相加,a+a+…+a=na;n 个 a 相乘,a·a…a=an,它们加法,乘法 的“运算符号”不同,书写形式不同,“结构”是相同的,我们称 na 与 an“同构”.等差数列,等比数列的通项公式与此类似.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”). (1)a,aq,aq2,aq3,…是等比数列. ( ) (2)不存在既是等差数列又是等比数列的数列. ( ) (3)等比数列的图像在一个指数函数的图像上. ( ) 提示:(1)×. 当 a=0 时,所有项都等于 0;当 q=0 时,第 2 项及以后的项 都等于 0,这不符合等比数列的定义. (2)×.任意一个非零常数列既是等差数列又是等比数列. (3)×.由 an=a1qn-1= qn,可知,当 =1 并且 q>0 且 q≠1 时,等比数列的 图像才在指数函数图像上. 2.下列数列为等比数列的是 ( )
所以 an+1+1=2(an+1).
因为 a1=1,故 an+1≠0,则有
=2.
所以{an+1}是等比数列.
(2)由(1)知{an+1}是以 a1+1=2 为首项,以 2 为公比的等比数列,所以 an+1=2·2n-1,即 an=2n-1.
判断一个数列{an}是等比数列的方法 (1)定义法:若数列{an}满足 =q(q 为常数且不为零)或
为
.
【解析】q3= =-8,所以 q=-2.
答案:-2
4.(教材二次开发:习题改编)若等比数列的首项为 ,末项为 ,公比为 ,
则这个数列的项数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选 B.由等比数列n=4.
关键能力·合作学习 类型一 等比数列的判断和证明(逻辑推理) 【典例】已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1. (1)求证:数列{an+1}是等比数列; (2)求 an 的表达式. 【思路导引】(1)根据要证明的数列把条件转化为 an+1+1=2(an+1). (2)写出{an+1}的通项公式后再写 an 的表达式. 【解析】(1)因为 an+1=2an+1,
一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2 KB,然后每 3 分钟
自身复制一次,复制后所占内存是原来的 2 倍,那么开机后
分
钟,该病毒占据内存 64 MB(1 MB=210 KB). 【解析】由题意可得每 3 分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列, 令病毒占据 64 MB 时自身复制了 n 次,即 2×2n=64×210=216,解得 n=15, 从而复制的时间为 15×3=45 分钟. 答案:45
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§3 等 比 数 列
3.1 等 比 数 列 第 1 课时 等 比 数 列
1.理解等比数列的概念,并掌握等比数列的通项公式(数学抽 学
象) 习
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系(逻辑推理) 目
3.体会等比数列与指数函数的关系(数学抽象) 标
A.2,22,3×22,… C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,…
B. , , ,… D.0,0,0,…
【解析】选 B.A,C,D 不是等比数列,A 中不满足定义,C、D 中项可为 0,
不符合定义.
3. 已 知 数 列 {an} 是 等 比 数 列 , 且 a1= ,a4=-1, 则 数 列 {an} 的 公 比 q