2022年江苏省无锡市省级实验中学高二数学理测试题含解析

2021-2022学年江苏省无锡市省级实验中学高二数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在极坐标系中，点到曲线上的点的距离的最小值为
A．2 B．4 C．6 D．8
参考答案：
A
由已知得，曲线的直角坐标方程为，可知已知曲线为直线，则点到曲
线上的点的距离最小值为.
2. 已知，且，则
A. B. C. D.
参考答案：
D
3. 已知P-ABC是正四面体(所有棱长都相等的四面体)，E是PA中点，F是BC上靠近B的三等分点，设EF与PA、PB、PC所成角分别为，则（）．
A. B.
C. D.
参考答案：
D 分别取中点，中点，连结，，，，，如图所示，则，，，，，
由是正四面体（所有棱长都相等的四面体），设正面体的棱长为
∴根据余弦定理可得，
∴，，
∴，且为锐角
∴
故选D
4. 已知棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半球底面上，四个顶点A，B，C，D 都在半球面上，则半球体积为
A. B. C. D.
参考答案：
B
5. 底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
6. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
【分析】
根据基本初等函数的单调性和奇偶性，逐一分析四个函数在(0,+∞)上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案.
【详解】对于A:是奇函数，对于B:为偶函数，且在上单调递增；对于
C:为偶函数，但在上单调递减；对于D:是减函数；
所以本题答案为B.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，（正为偶函数，负为减函数）；（2）和差法，（和为零奇函
数，差为零偶函数）；（3）作商法，（1为偶函数，-1为奇函数）.
7. 若△ABC的三边为a,b,c，它的面积为，则内角C等于（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
参考答案：
B
略
8. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）
A．192 里B．96 里C．48 里D．24 里
参考答案：
B
【考点】8B：数列的应用．
【分析】由题意得：每天行走的路程成等比数列{a n}、且公比为，由条件和等比数列的前项和公式求出a1，由等比数列的通项公式求出答案即可．
【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得=378，
解得a1=192，∴第此人二天走192×=96里，
∴第二天走了96里，
故选：B．
9. 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()
参考答案：
D
当x<0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间内单调递减；当x>0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项符合题意．
10. 在区间（1，2）内随机取个实数a，则直线y=2x，直线x=a与x轴围成的面积大于的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】几何概型．
【分析】求出直线y=2x，直线x=a与x轴围成的面积大于的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．用几何概型的概率公式即可得到结论．
【解答】解：当x=a时，y=2a，即A（a，2a），B（a，0），
则△ABO的面积S=×a×2a=a2，
若直线y=2x，直线x=a与x轴围成的面积大于，
即a2＞，解得a＞，
∵1＜a＜2，
∴＜a＜2，
则对应的概率P==，
故选：A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知xy>0，x≠y，则x4+6x2y2+y4与4xy(x2+y2)的大小关系是______________．
参考答案：
x4+6x2y2+y4>4xy(x2+y2)
解析：x4+6x2y2+y4－4xy(x2+y2)＝（x-y）4>0
12. 在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则点到平面
的距离．
参考答案：
13.
点
P 是曲上任意一点，则点P 到直线的最小距离为___________
参考答案：
略
14. 为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是▲．
参考答案：
48
略
15. 若直线与直线互相垂直，那么的值等于_____.
参考答案：
或
略
16. 如图，三棱台ABC–DEF上、下底面边长的比是1∶2（上底为ABC），G是侧棱CF的中点，则棱台被截面AGE分成的上、下两部
分体积的比是。

参考答案：
2∶5
17. 不等式，且的解集为______.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列满足：，且
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求证数列为等比数列并求其通项公式；
（Ⅲ）求和
参考答案：
解析：（Ⅰ）
（Ⅱ）当
∴∴
（Ⅲ）∵
∴
=
19. 在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同
的交点.
（1）求实数的取值范围；
（2）设椭圆与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量
共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.
参考答案：
（2）设
则
由方程①，知，②
又，③
由得.
∴共线等价于将②③代入，解得
由①知故不存在符合题意的常数．
20. 已知函数
（Ⅰ）若上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若的极值点，求的单调区间．
参考答案：
解：（1）由题
，
所以函数的
略
21. 已知函数，常数a∈R）．
（1）当a=2时，解不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞2x﹣1；
（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
参考答案：
【考点】其他不等式的解法；函数奇偶性的判断．【分析】（1）当a=2时，化简不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞2x﹣1，得到同解的一元二次不等式，然后求解即可；
（2）对a=0，a≠0讨论，利用函数奇偶性的定义判断即可．
【解答】解：（1），，x（x﹣1）＜0．
∴原不等式的解为0＜x＜1．
（2）当a=0时，f（x）=x2，
对任意x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），
∴?f（x）为偶函数．
当a≠0时，，
取x=±1，得f（﹣1）+f（1）=2≠0，?f（﹣1）﹣f（1）=﹣2a≠0，
∴?f（﹣1）≠﹣f（1），?f（﹣1）≠f（1），
∴函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
22. 双曲线的离心率，且与椭圆有公共焦点，
（1）求椭圆的焦点坐标；（2）求此双曲线的方程。

参考答案：
（1）求椭圆的焦点坐标；（2）求此双曲线的方程。