2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题基础作业 第11节几何综合(含答案)

第11讲几何综合（学生版）
目标层级图
课前检测
1．在四边形ABCD中，对角线AC平分DAB
∠．
（1）如图①，当120
+=．
∠=∠=︒时，求证：AB AD AC
B D
∠=︒，90
DAB
（2）如图②，当120
DAB
∠=︒，B
∠互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关
∠与D
系？写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图③，当90
DAB
∠=︒，B
∠互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？
∠与D
写出你的猜想，并给予证明．
课中讲解
一.中点问题
例1．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，M 是斜边的中点．
（Ⅰ）
若1BC =，3AC =，求CM 的长；（Ⅱ）
若3ACD BCD ∠=∠，求MCD ∠的度数．
过关检测
1．如图所示，四边形ABCD 由一个30ACB ∠=︒的Rt ABC ∆与等腰Rt ACD ∆拼成，E 为斜边AC 的中点，求BDE ∠的大小．
例2．已知：如图，ABC ∆中，45ABC ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ．
（1）求证：BF AC =；
（2）求证：12
CE BF =；（3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论．
过关检测
1．在Rt ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 是BC 上一点．
（1）如图1，AD 平分BAC ∠，求证：AB AC CD =+；
（2）如图2，点E 在线段AD 上，且45CED ∠=︒，30BED ∠=︒，求证：2BE AE =；
（3）如图3，CD BD =，过B 点作BM AD ⊥交AD 的延长线于点M ，连接CM ，过C 点作CN CM ⊥交AD 于N ，求证：3DN DM =．
例3．阅读以下材料，完成以下两个问题．
[阅读材料]已知：如图，()ABC AB AC ∆≠中，D 、E 在BC 上，
且DE EC =，过D 作//DF BA 交AE 于点F ，DF AC =．求证：AE 平分BAC ∠．
结合此题，DE BC =，点B 是DC 的中点，考虑倍长，并且要考虑连结哪两点，目的是为了证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长FE ，如图（1）所示；②考虑倍长AE ，如图（2
）所示
以图（1）为例，证明过程如下：
证明：延长FE 至G ，使EG EF =，连结CG ．在DEP ∆和CEG ∆中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()DEF CEG SAS ∴∆≅∆．DF CG ∴=，DFE G ∠=∠．
DF AC =，CG AC ∴=．G CAE ∴∠=∠．DFE CAE ∴∠=∠．
//DF AB ，DFE BAE ∴∠=∠．
BAE CAE ∴∠=∠．AE ∴平分BAC ∠．问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明．
问题2：根据上述材料，完成下列问题：
已知，如图3，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，90BAE CAF ∠=∠=︒，AE AB =，AC AF =，3AD =，求EF 的长．
过关检测
1．如图2，在ABC ∆中，AD 是三角形的中线，F 为AD 上一点，且BF AC =，连结并延长BF 交AC 于点E ，求证：AE EF =．
二.对角互补模型
例4．如图，90AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠．将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线OC 的任意一点P 上，并使三角尺的一条直角边与AO （或AO 的延长线）交于点D ，另一条直角边与BO 交于点E ．
（1）如图1，当PD 与边AO 垂直时，证明：PD PE =；
（2）如图2，把三角尺绕点P 旋转，三角尺的两条直角边分别交AO ，BO 于点D ，E ，在旋转过程中，PD 与PE 相等吗？请直接写出结论：PD PE （填>，<，)=，
（3）如图3，三角尺绕点P 继续旋转，三角尺的一条直角边与AO 的延长线交于点D ，另一条直角边与BO 交于点E ．在旋转过程中，PD 与PE 相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．
例5．四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角ABD ∆和直角CBD ∆，其中A ∠和C ∠都是直角，另一条对角线AC 的长度为2，求四边形ABCD 的面积．
过关检测
1．【感知】如图①，90MON ∠=︒，OC 平分MON ∠．CD OM ⊥于点D ，CE ON ⊥于点E ，可知OD OE =．（不要求证明）
【拓展】在图①中，作90ACB ∠=︒，CA ，CB 分别交射线OM ，ON 于A ，B 两点，求证：AD BE =．
【应用】如图②，OAB ∆与ABC ∆均为直角三角形，OC 平分AOB ∠，O ，C 两点在AB 的异侧．已知90AOB ACB ∠=∠=︒，5OA =，3OB =，求线段OC 的长．
2．如图，正方形OMNP 的顶点与正方形ABCD 的对角线交点O 重合，正方形ABCD 和正方形OMNP 的边长都是2cm ，则图中重叠部分的面积是2cm ．
例6．如图，120AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，60MCN ∠=︒，CM 与射线OA 相交于M 点，CN 与直线BO 相交于N 点．把MCN ∠绕着点C 旋转．
（1）如图1，当点N 在射线OB 上时，求证：OC OM ON =+；
（2）如图2，当点N 在射线OB 的反向延长线上时，OC 与OM ，ON 之间的数量关系是（直接写出结论，不必证明）
过关检测
1．如图，一伞状图形，已知120AOB ∠=︒，点P 是AOB ∠角平分线上一点，且2OP =，60MPN ∠=︒，PM 与OB 交与点F ，PN 与OA 交于点E ．
（1）如图一，当PN 与PO 重合时，探索PE ，PF 的数量关系．
（2）如图二，将MPN ∠在（1）的情形下绕点P 逆时针旋转a 度(060)a <<︒，继续探索PE ，PF 的数量关系，并求四边形OEPF 的面积．
三.手拉手模型
例7．（2018秋•双流区期末）如图，已知ABC ∆和DBE ∆都是等腰直角三角形，90ABC DBE ∠=∠=︒，点D 在线段AC 上．
（1）求DCE ∠的度数；
（2）当点D 在线段AC 上运动时(D 不与A 重合），请写出一个反映DA ，DC ，DB 之间关系的等式，并加以证明．
过关检测
1．如图，在等腰三角形ABC 中，90CAB ∠=︒，P 是ABC ∆内一点，1PA =，
3PB =，PC =，将APB ∆绕点A 逆时针旋转后与AQC ∆重合．求：
（1）线段PQ 的长；
（2）APC ∠的度数．
例8．（2017秋•武侯区期末）如图，ABD ∆和BEC ∆都是等边三角形，连接AC ，DE ，CD ．
（1）猜想AC 与DE 的数量关系，并说明理由；
（2）给出定义：若一个四边形中存在一组邻边的平方和等于一条对角线的平方，则这个四边形为勾股四边形．如图，若30DCB ∠=︒，求证：四边形ABCD 是勾股四边形；
（3）设ABD ∆，BCE ∆，DBC ∆的面积分别是1S ，2S ，3S ，若BD BC ⊥，试探究12S S 与3S 之间满足的等量关系．
过关检测
1．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，10AB =，点D 是射线CB 上的一个动点，ADE ∆是等边三角形，点F 是AB 的中点，连接EF ．
（1）如图，点D 在线段CB 上时，
①求证：AEF ADC ∆≅∆；
②连接BE ，设线段CD x =，BE y =，求22y x -的值；
（2）当15DAB ∠=︒时，求ADE ∆的面积．
四.半角模型
例9．问题背景：“半角问题”
（1）如图：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且60EAF ∠=︒．探究图中线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．小明同学探究此“半角问题”的方法是：延长FD 到点G ．使DG BE =．连结AG ，先证明ABE ADG ∆≅∆，再证明AEF AGF ∆≅∆，可得出结论，他的结论应是；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？
（2）若将（1）中“120BAD ∠=︒，60EAF ∠=︒”换为12
EAF BAD ∠=∠．其它条件不变．如图1，试问线段EF 、BE 、FD 具有怎样的数量关系，并证明．
（3）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且12
EAF BAD ∠=∠，请直接写出线段EF 、BE 、FD 它们之间的数量关系．（不需要证明）
（4）如图3，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、
CD 延长线上的点，且12
EAF BAD ∠=∠，试问线段EF 、BE 、FD 具有怎样的数量关系，并证明．
过关检测
1．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，若EF BE FD =+．求证：12
EAF BAD ∠=∠（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、
CD 延长线上的点，且12
EAF BAD ∠=∠，试探究线段EF 、BE 、FD 之间的数量关系，证明你的结论．
学习任务
1．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上()
<，且
AE BE
∠=︒，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．90
EOF
（1）求证：OM ON
=．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
2．如图，已知正方形ABCD，8
AB=，点E是射线DC上一个动点（点E与点D不重合），连接AE，BE，以BE为边在线段AD的右侧作正方形BEFG，连结CG．
（1）当点E在线段DC上时，求证：BAE BCG
∆≅∆；
（2）在（1）的条件下，若2
CE=，求CG的长；
3．如图1，四边形ABCD 是正方形，E ，F 分别在边BC 、CD 上，且45EAF ∠=︒，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
（1）在图1中，连接EF ，为了证明结论“EF BE DF =+“，小亮将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
（2）如图2，当EAF ∠绕点A 旋转到图2位置时，试探究EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？
（3）如图3，如果四边形ABCD 中，AB AD =，
90BAD BCD ∠=∠=︒，45EAF ∠=︒，且7BC =，13DC =，5CF =，求BE 的长．
第11讲几何综合（解析版）
目标层级图
课前检测
1．在四边形ABCD 中，对角线AC 平分DAB ∠．
（1）如图①，当120DAB ∠=︒，90B D ∠=∠=︒时，求证：AB AD AC +=．
（2）如图②，当120DAB ∠=︒，B ∠与D ∠互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图③，当90DAB ∠=︒，B ∠与D ∠互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
【分析】（1）由AC 平分DAB ∠，120DAB ∠=︒，可得60CAB CAD ∠=∠=︒，又由90B D ∠=∠=︒，即可得30ACB ACD ∠=∠=︒，根据直角三角形中30︒角所对的直角边等于斜边的一半，即可得AB AD AC +=；
（2）首先过C 点分别作AD 和AB 延长线的垂线段，垂足分别为E 、F ，由AC 平分DAB ∠，可得CE CF =，又由B ∠与D ∠互补，可证得CED CFB ∆≅∆，则可得AD AB AE AF +=+，又由AE AF AC +=，则可得线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系为AB AD AC +=；
（3）首先过C 点分别作AB 和AD 延长线的垂线段，垂足分别是E 、F ，与（2）同理可得CEB CFD ∆≅∆，则可得45G DAC CAB ∠=∠=∠=︒，即可求得线段AB 、AD 、AC 有怎
样的数量关系为AB AD +=．
【解答】证明：（1）在四边形ABCD 中，
AC 平分DAB ∠，120DAB ∠=︒，
60CAB CAD ∴∠=∠=︒．
又90B D ∠=∠=︒，
30ACB ACD ∴∠=∠=︒．
12
AB AD AC ∴==，即AB AD AC +=．
（2）AB AD AC +=．
证明如下：如图②，过C 点分别作AD 和AB 延长线的垂线段，垂足分别为E 、F ．AC 平分DAB ∠，
CE CF ∴=．
180ABC D ∠+∠=︒，
180ABC CBF ∠+∠=︒，
CBF D ∴∠=∠．
又90CED CFB ∠=∠=︒，
CED CFB ∴∆≅∆．
ED BF ∴=．
AD AB AE ED AB AE BF AB AE AF ∴+=++=++=+．
AC 为角平分线，120DAB ∠=︒，
30ECA FCA ∴∠=∠=︒，
12
AE AF AC ∴==，AE AF AC ∴+=，
AB AD AE AF AC ∴+=+=．
AB AD AC ∴+=．
（3）AB AD +=．
证明如下：如图③，过C 点分别作AB 和AD 延长线的垂线段，垂足分别是E 、F ．AC 平分DAB ∠，
CE AD ⊥，CF AF ⊥，
CE CF ∴=．
180ABC ADC ∠+∠=︒，
180ADC EDC ∠+∠=︒，
ABC EDC ∴∠=∠．
又90CED CFB ∠=∠=︒．
()CFB CED AAS ∴∆≅∆．
CB CD ∴=．
延长AB 至G ，使BG AD =，连接CG ．
180ABC ADC ∠+∠=︒，180ABC CBG ∠+∠=︒，
CBG ADC ∴∠=∠．
()GBC ADC SAS ∴∆≅∆．
45G DAC CAB ∴∠=∠=∠=︒．
90ACG ∴∠=︒．
AG ∴=．
AB AD ∴+=．
课中讲解
一.中点问题
例1．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，M 是斜边的中点．
（Ⅰ）
若1BC =，3AC =，求CM 的长；（Ⅱ）
若3ACD BCD ∠=∠，求MCD ∠的度数．
【分析】()I 先利用勾股定理求出AB ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质即可得到CM 的长；
（Ⅱ）先求出BCD ∠，再根据直角三角形两锐角互余求出B ∠，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM MC =，根据等边对等角可得ACM A ∠=∠，再求出45MCD ∠=︒．
【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1BC =，3AC =，
AB ∴==，
M 是斜边的中点，
122
CM AB ∴==；（Ⅱ）90ACB ACD BCD ∠=∠+∠=︒，3ACD BCD ∠=∠，
39067.513
ACD ∴∠=︒⨯
=︒+，CD AB ⊥，
90A ACD ∴∠+∠=︒，
22.5A ∴∠=︒，
12CM AB AM ==，22.5ACM A ∴∠=∠=︒，
67.522.545MCD ACD ACM ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．
过关检测
1．如图所示，四边形ABCD 由一个30ACB ∠=︒的Rt ABC ∆与等腰Rt ACD ∆拼成，E 为斜边AC 的中点，求BDE ∠的大小．
【分析】首先根据E 是Rt ABC ∆，Rt ACD ∆斜边AC 的中点，可得结论12
BE DE AC CE ===，DE AC ⊥，再根据等边对等角可得30ACB EBC ∠=∠=︒，BDE EBD ∠=∠，然后利用角的和差关系计算出BED ∠的度数，再根据三角形内角和定理可得到BDE ∠的度数．
【解答】解：点E 是Rt ABC ∆，Rt ACD ∆斜边AC 的中点，
12
BE DE AC CE ∴===，DE AC ⊥，ACB EBC ∴∠=∠，BDE EBD ∠=∠，
又30ACB ∠=︒，
303060AEB EBC ECB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒
6090150BED BEA DEA ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒
11(180)(180150)1522
BDE BED ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．
例2．已知：如图，ABC ∆中，45ABC ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ．
（1）求证：BF AC =；
（2）求证：12
CE BF =；（3）CE 与BG
的大小关系如何？试证明你的结论．
【分析】（1）利用ASA 判定Rt DFB Rt DAC ∆≅∆，从而得出BF AC =．
（2）利用ASA 判定Rt BEA Rt BEC ∆≅∆，得出12
CE AE AC ==
，又因为BF AC =，所以1122CE AC BF ==．（3）利用等腰三角形“三线合一”和勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：CD AB ⊥，45ABC ∠=︒，
BCD ∴∆是等腰直角三角形．
BD CD ∴=．
90DBF BFD ∠=︒-∠，90DCA EFC ∠=︒-∠，且BFD EFC ∠=∠，
DBF DCA ∴∠=∠．
在Rt DFB ∆和Rt DAC ∆中，
DBF DCA BD CD BDF ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
Rt DFB Rt DAC(ASA)∴∆≅∆．
BF AC ∴=；
（2）证明：BE 平分ABC ∠，
ABE CBE ∴∠=∠．
在Rt BEA ∆和Rt BEC ∆中
ABE CBE BE BE BEA BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，Rt BEA Rt BEC(ASA)∴∆≅∆．
12
CE AE AC ∴==．又由（1），知BF AC =，
1122
CE AC BF ∴==；（3）证明：45ABC ∠=︒，CD 垂直AB 于D ，则CD BD =．
H 为BC 中点，则DH BC ⊥（等腰三角形“三线合一”)
连接CG ，则BG CG =，114522.522
GCB GBC ABC ∠=∠=∠=⨯︒=︒，45EGC ∠=︒．又BE 垂直AC ，
45EGC ECG ∴∠=∠=︒，CE GE =．
GEC ∆是直角三角形，
222CE GE CG ∴+=，
DH 垂直平分BC ，
BG CG ∴=，
2222CE GE CG BG ∴+==；即222CE BG =
，BG =，BG CE ∴>．
方法2，证明：45ABC ∠=︒，CD 垂直AB 于D ，则CD BD =．
H 为BC 中点，则DH BC ⊥（等腰三角形“三线合一”)
连接CG ，则BG CG =，114522.522
GCB GBC ABC ∠=∠=∠=⨯︒=︒，45EGC ∠=︒．又BE 垂直AC ，
CG CE ∴>．BG CE ∴>
．
过关检测
1．在Rt ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 是BC 上一点．
（1）如图1，AD 平分BAC ∠，求证：AB AC CD =+；
（2）如图2，点E 在线段AD 上，且45CED ∠=︒，30BED ∠=︒，求证：2BE AE =；
（3）如图3，CD BD =，过B 点作BM AD ⊥交AD 的延长线于点M ，连接CM ，过C 点作CN CM ⊥交AD 于N ，求证：3DN DM =．
【分析】（1）如图1中，作DH AB ⊥于H ．证明ADC ADH ∆≅∆即可解决问题．
（2）如图2中，过点C 作CM CE ⊥交AD 的延长线于M ，连接BM ．证明()ACE BCM SAS ∆≅∆，推出AE BM =，再利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
（3）如图3中，作CH MN ⊥于H ．想办法证明NH HM =，DH DM =即可解决问题．
【解答】证明：（1）如图1中，作DH AB ⊥于H ．
90ACD AHD ∠=∠=︒，AD AD =，DAC DAH ∠=∠，
()ADC ADH ASA ∴∆≅∆，
AC AH ∴=，DC DH =，
CA CB =，90C ∠=︒，
45B ∴∠=︒，
90DHB ∠=︒，
45HDB B ∴∠=∠=︒，
HD HB ∴=，
BH CD ∴=，
∴=+=+．
AB AH BH AC CD
（2）如图2中，过点C作CM CE
⊥交AD的延长线于M，连接BM．
∠=∠=︒，
90
ACB ECM
∴∠=∠，
ACE BCM
∠=︒，
CED
45
∴=，
CE CM
ACE BCM SAS
∴∆≅∆，
()
∠=∠，
∴=，CAD CBM
AE BM
∠=∠，
ADC BDM
∴∠=∠=︒
ACD BMD
90
在Rt EMB
∠=︒，
∠中，30
MEB
==．
BE BM AE
22
（3）如图3中，作CH MN
⊥于H．
∠=∠，
∠=∠=︒，ADC BDM
90
ACB AMB
∴∠=∠，
CAN CBM
⊥，
MC CN
∴∠=∠=︒，
MCN ACB
90
∴∠=∠，
ACN BCM
()ACN BCM ASA ∴∆≅∆，
CN CM ∴=，
CH MN ⊥，
HN HM ∴=．
CD DB =，90CHD BMD ∠=∠=︒，ADH BDM ∠=∠，
()CHD BMD AAS ∴∆≅∆，
DH DM ∴=，
HN HM =，
3DN DM ∴=．
例3．阅读以下材料，完成以下两个问题．
[阅读材料]已知：如图，()ABC AB AC ∆≠中，D 、E 在BC 上，
且DE EC =，过D 作//DF BA 交AE 于点F ，DF AC =．求证：AE 平分BAC ∠．
结合此题，DE BC =，点B 是DC 的中点，考虑倍长，并且要考虑连结哪两点，目的是为了证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长FE ，如图（1）所示；②考虑倍长AE ，如图（2
）所示
以图（1）为例，证明过程如下：
证明：延长FE 至G ，使EG EF =，连结CG ．
在DEP ∆和CEG ∆中，
ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()DEF CEG SAS ∴∆≅∆．
DF CG ∴=，DFE G ∠=∠．
CG AC ∴=．
G CAE ∴∠=∠．
DFE CAE ∴∠=∠．
//DF AB ，
DFE BAE ∴∠=∠．
BAE CAE ∴∠=∠．
AE ∴平分BAC ∠．
问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明．
问题2：根据上述材料，完成下列问题：
已知，如图3，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，90BAE CAF ∠=∠=︒，AE AB =，AC AF =，3AD =，求EF 的长．
【分析】问题1：延长AE 至G ，使EG AE =，连接DG ，先证()ACE GDE SAS ∆≅∆．得AC GD =，CAE G ∠=∠．再证DG DF =，得DFG G ∠=∠，则DFG CAE ∠=∠，然后由平行线的性质得DFG BAE ∠=∠，即可得出结论；
问题2：延长AD 至G ，使DG AD =，连接BG ，先证()GBD ACD SAS ∆≅∆，得GB AC =，G CAD ∠=∠，再证()AEF BAG SAS ∆≅∆，得EF AG =，进而得出答案．
【解答】问题1:
证明：延长AE 至G ，使EG AE =，连接DG ，如图（2）所示：
在ACE ∆和GDE ∆中，
AE GE AEC GED CE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACE GDE SAS ∴∆≅∆．
AC GD ∴=，CAE G ∠=∠．
DF AC =，
DG DF ∴=，
DFG G ∴∠=∠，
DFG CAE ∴∠=∠，
//DF AB ，
DFG BAE ∴∠=∠，
BAE CAE ∴∠=∠，
AE ∴平分BAC ∠．
问题2:
解：延长AD 至G ，使DG AD =，连接BG ，如图（3）所示：
AD 是BC 边上的中线，
BD CD ∴=，
在GBD ∆和ACD ∆中，
BD CD
BDG CDA GD AD
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()GBD ACD SAS ∴∆≅∆，
GB AC ∴=，G CAD ∠=∠，
//BG AC ∴，
180ABG BAC ∴∠+∠=︒，
90BAE CAF ∠=∠=︒，
180EAF BAC ∴∠+∠=︒，
EAF ABG ∴∠=∠，
AC AF =，
AF GB ∴=，
在AEF ∆和BAG ∆中，
AE AB
EAF ABG AF BG
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()AEF BAG SAS ∴∆≅∆，
EF AG ∴=，
2236AG AD ==⨯=，
6EF ∴=．
过关检测
1．如图2，在ABC
=，连结并延∆中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF AC
长BF交AC于点E，求证：AE EF
=．
【分析】延长AD到G，使DF DG
=，根据SAS推出
=，连接CG，求出BD DC
∠=∠，求出AFE G
=，BFD G
∠=∠，∆≅∆，根据全等三角形的性质得出BF CG
BDF CDG
∠=∠，求出AFE CAF
∠=∠即可．
=，推出G CAF
CG AC
【解答】
证明：延长AD 到G ，使DF DG =，连接CG ，
AD 是中线，
BD DC ∴=，
在BDF ∆和CDG ∆中
BD DC BDF CDG DF DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
BDF CDG ∴∆≅∆，
BF CG ∴=，BFD G ∠=∠，
AFE BFD ∠=∠，
AFE G ∴∠=∠，
BF CG =，BF AC =，
CG AC ∴=，
G CAF ∴∠=∠，
AFE CAF ∴∠=∠，
AE EF ∴=．
二.对角互补模型
例4．如图，90AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠．将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线OC 的任意一点P 上，并使三角尺的一条直角边与AO （或AO 的延长线）交于点D ，另一条直角边与BO 交于点E ．
（1）如图1，当PD 与边AO 垂直时，证明：PD PE =；
（2）如图2，把三角尺绕点P 旋转，三角尺的两条直角边分别交AO ，BO 于点D ，E ，在旋转过程中，PD 与PE 相等吗？请直接写出结论：PD =PE （填>，<，)=，
（3）如图3，三角尺绕点P 继续旋转，三角尺的一条直角边与AO 的延长线交于点D ，另一条直角边与BO 交于点E ．在旋转过程中，PD 与PE 相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．
【分析】（1）先判断出90
∠=∠，进而判断出
PDO PEO
∠=∠=︒，再判断出COA COB
∆≅∆，即可得出结论；
POD POE AAS
()
（2）先判断出四边形PMON是矩形，得出90
∠=∠，判断
MPE
∠=︒，进而得出MOD NPE
出PMD PNE
∆≅∆，即可得出结论；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
【解答】（1）证明：PD OA
⊥，
⊥，PE OB
PDO PEO
∴∠=∠=︒，
90
∠的平分线，
OC是AOB
∴∠=∠，
COA COB
OP OP
=，
∴∆≅∆，
POD POE AAS
()
∴=；
PD PE
（2）解：PD PE
=，理由：如图2，
过点P作PM OA
⊥于N，
⊥于M，PN OB
PMO PNO
∴∠=∠=︒，
90
∠=︒，
AOB
90
∴∠=∠=∠=︒，
90
PMO PNO AOB
∴四边形PMON是矩形，
∴∠=︒=∠，
90
MPN DPE
∴∠=∠，
MPD NPE
∠的平分线，
OC是AOB
∴∠=∠，
COA COB
=，
OP OP
()POM PON AAS ∴∆≅∆，
PM PN ∴=，
在PMD ∆和PNE ∆中，90PMD PNE PM PN MPD NPE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
()PMD PNE ASA ∴∆≅∆，
PD PE ∴=，
故答案为：=；
（3）解：如图3，
过点P 作PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N ，
90PMO PNO ∴∠=∠=︒，
90AOB ∠=︒，
90PMO PNO AOB ∴∠=∠=∠=︒，
∴四边形PMON 是矩形，
90MPN DPE ∴∠=︒=∠，
MPD NPE ∴∠=∠，
OC 是AOB ∠的平分线，
COA COB ∴∠=∠，
OP OP =，
()POM PON AAS ∴∆≅∆，
PM PN ∴=，
在PMD ∆和PNE ∆中，90PMD PNE PM PN MPD NPE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
()PMD PNE ASA ∴∆≅∆，
PD PE ∴=；
例5．四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角ABD ∆和直角CBD ∆，其中A ∠和C ∠都是直角，另一条对角线AC 的长度为2，求四边形ABCD 的面积．
【分析】将ABC ∆绕点A 旋转90︒，使B 与D 重合，C 到C '点，由条件可得出ACC ∆'是等腰直角三角形，且可证明ABC ADC ∆≅∆'，可得出四边形ABCD 的面积等于ACC ∆'的面积，利用条件可求得四边形ABCD 的面积．
【解答】解：将ABC ∆绕点A 旋转90︒，使B 与D 重合，C 到C '点，则有180CDC ADC ADC ADC ABC ∠'=∠+∠'=∠+∠=︒，
所以C 、D 、C '在同一直线上，则ACDC '是三角形，
又因为AC AC ='，
所以ACC ∆'是等腰直角三角形，
在ABC ∆和ADC ∆'中
AB AD BAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠'
⎨⎪='⎩
()ABC ADC SAS ∴∆≅∆'，
∴四边形ABCD 的面积等于等腰直角三角形ACC '的面积，所以12222
ACC ABCD S S ∆'==⨯⨯=四边形．
过关检测
1．【感知】如图①，90MON ∠=︒，OC 平分MON ∠．CD OM ⊥于点D ，CE ON ⊥于点E ，可知OD OE =．（不要求证明）
【拓展】在图①中，作90ACB ∠=︒，CA ，CB 分别交射线OM ，ON 于A ，B 两点，求证：AD BE =．
【应用】如图②，OAB ∆与ABC ∆均为直角三角形，OC 平分AOB ∠，O ，C 两点在AB 的异侧．已知90AOB ACB ∠=∠=︒，5OA =，3OB =，求线段OC 的长．
【分析】[拓展]如图①，证明CD CE =；证明BCE ACD ∠=∠；证明ACD BCE ∆≅∆，得到
AD BE =．
[应用]如图②，作辅助线；类比（1）中的结论得到：OM ON =；结合5OA =，3OB =，得到53λλ-=+，1λ=；运用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：【拓展】
OC 平分MON ∠，CD OM ⊥，CE ON ⊥，
CD CE ∴=，CEB CDA ∠=∠；
90DOE ∠=︒，
∴四边形ODCE 为正方形，
90DCE ∴∠=︒，CD CE =；
90BCA ∠=︒，
BCE ACD ∴∠=∠；
在ACD ∆与BCE ∆中，
BEC ADC CE CD BCE ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，()ACD BCE ASA ∴∆≅∆，
AD BE ∴=．
【应用】如图②，过点C 作CM OA ⊥；
CN OB ⊥，交OB 的延长线于点N ；
由（1）知：AM BN =（设为)λ，
四边形OMCN 为正方形，
OM ON ∴=；而5OA =，3OB =，
53λλ∴-=+，1λ=，
4OM CM ∴==；
由勾股定理得：22244OC =+
，
OC ∴=
2．如图，正方形OMNP 的顶点与正方形ABCD 的对角线交点O 重合，正方形ABCD 和正方形OMNP 的边长都是2cm ，则图中重叠部分的面积是12cm
．
【分析】根据题意可得：()AOG DOF ASA ∆≅∆，所以14
AOD ABCD OFDG S S S ∆==正方形四边形，从而可求得其面积．
【解答】解：如图，正方形ABCD 和正方形OMNP 的边长都是2cm ，OA OD ∴=，90AOD POM ∠=∠=︒，45OAG DOF ∠=∠=︒，
在AOG ∆和DOF ∆中，
AOG DOF OA OD OAG ODF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，()AOG DOF ASA ∴∆≅∆，
2112144
AOD ABCD OFDG S S S ∆∴===⨯=正方形四边形；则图中重叠部分的面积是21cm ，
故答案为：1
．
例6．如图，120AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，60MCN ∠=︒，CM 与射线OA 相交于M 点，CN 与直线BO 相交于N 点．把MCN ∠绕着点C 旋转．
（1）如图1，当点N 在射线OB 上时，求证：OC OM ON =+；
（2）如图2，当点N 在射线OB 的反向延长线上时，OC 与OM ，ON 之间的数量关系是OC OM ON =-
（直接写出结论，不必证明）
【分析】（1）作60OCG ∠=︒，交OA 于G ，证明OCG ∆是等边三角形，得出OC OG =，60CGM CON ∠=︒=∠，证出OCN GCM ∠=∠，证明()OCN GCM ASA ∆≅∆，得出ON GM =，即可得出结论；
（2）作60OCG ∠=︒，交OA 于G ，证明OCG ∆是等边三角形，得出OC OG =，60CGM CON ∠=︒=∠，证出OCN GCM ∠=∠，证明()OCN GCM ASA ∆≅∆，得出ON GM =，即可得出结论．
【解答】（1）证明：作60OCG ∠=︒，交OA 于G ，如图1所示：
120AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，
60CON COG ∴∠=∠=︒，
OCG COG ∴∠=∠，
OC CG ∴=，
OCG ∴∆是等边三角形，
OC OG ∴=，60CGM CON ∠=︒=∠，
60MCN OCG ∠=∠=︒，
OCN GCM ∴∠=∠，
在OCN ∆和GCM ∆中，CON CGM
OC CG OCN GCM
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，
()OCN GCM ASA ∴∆≅∆，
ON GM ∴=，
OG OM GM =+，
OC OM ON ∴=+；
（2）解：OC OM ON =-，理由如下：
作60OCG ∠=︒，交OA 于G ，如图2所示：
120AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，
60CON COG ∴∠=∠=︒，
120CON ∴∠=︒，OCG COG ∠=∠，
OC CG ∴=，
OCG ∴∆是等边三角形，
OC OG ∴=，60CGO ∠=︒，
120CGM CON ∴∠=︒=∠，
60MCN OCG ∠=∠=︒，
OCN GCM ∴∠=∠，
在OCN
∆和GCM
∆中，
CON CGM OC CG
OCN GCM
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
()
OCN GCM ASA
∴∆≅∆，
ON GM
∴=，
OG OM GM
=-，
OC OM ON
∴=-；
故答案为：OC OM ON
=
-
过关检测
1．如图，一伞状图形，已知120
AOB
∠=︒，点P是AOB
∠角平分线上一点，且2
OP=，60
MPN
∠=︒，PM与OB交与点F，PN与OA交于点E．
（1）如图一，当PN与PO重合时，探索PE，PF的数量关系．
（2）如图二，将MPN
∠在（1）的情形下绕点P逆时针旋转a度(060)
a
<<︒，继续探索PE，PF的数量关系，并求四边形OEPF
的面积．
【分析】（1）根据角平分线定义得到60POF ∠=︒，推出PEF ∆是等边三角形，得到PE PF =；
（2）过点P 作PQ OA ⊥，PH OB ⊥，根据角平分线的性质得到PQ PH =，90PQO PHO ∠=∠=︒，根据全等三角形的性质得到PE PF =，OEPF OQPH S S =四边形四边形，求得1OQ =
，QP =，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）120AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，
60POF ∴∠=︒，
60MPN ∠=︒，
60MPN FOP ∴=∠=︒，
PEF ∴∆是等边三角形，
PE PF ∴=；
（2）过点P 作PQ OA ⊥，PH OB ⊥，
OP 平分AOB ∠，
PQ PH ∴=，90PQO PHO ∠=∠=︒，
120AOB ∠=︒，
60QPH ∴∠=︒，
QPE FPH EPH ∴∠+∠+∠，
QPE EPF ∴∠=∠，
在QPE ∆与HPF ∆中EQP FHP
QPE HPF PQ PH
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()QPE HPF AAS ∴∆≅∆，
PE PF ∴=，OEPF OQPH S S =四边形四边形，
PQ OA ⊥，PH OB ⊥，OP 平分AOB ∠，
30QPO ∴∠=︒，
1OQ ∴=
，QP ==
，
1122OPQ S ∆∴=⨯⨯=，
∴四边形OEPF
的面积2OPQ S ∆==
三.手拉手模型
例7．（2018秋•双流区期末）如图，已知ABC ∆和DBE ∆都是等腰直角三角形，90ABC DBE ∠=∠=︒，点D 在线段AC 上．
（1）求DCE ∠的度数；
（2）当点D 在线段AC 上运动时(D 不与A 重合），请写出一个反映DA ，DC ，DB 之间关系的等式，并加以证明．
【分析】（1）只要证明()ABD CBE SAS ∆≅∆，推出45A ACB BCE ∠=∠=∠=︒即可解决问题；
（2）存在，2222BD DA DC =+；在Rt DCE ∆中，利用勾股定理证明即可．
【解答】解：（1）ABC ∆是等腰直角三角形，
AB BC ∴=，90ABC ∠=︒，45A ACB ∠=∠=︒，
同理可得：DB BE =，90DBE ∠=︒，45BDE BED ∠=∠=︒，ABD CBE ∴∠=∠，
在ABD ∆与CBE ∆中，
AB BC =，ABD CBE ∠=∠，DB BE =，
()ABD CBE SAS ∴∆≅∆，
45A BCE ∴∠=∠=︒
90DCE ACB BCE ∴∠=∠+∠=︒．
（2）2222BD DA DC =+．
证明如下：
BDE ∆是等腰直角三角形，
DE ∴=，
222DE BD ∴=，
ABD CBE ∆≅∆，
AD CE ∴=，
22222DE DC CE AD CD ∴=+=+，
故2222BD AD CD =+．
过关检测
1．如图，在等腰三角形ABC 中，90CAB ∠=︒，P 是ABC ∆内一点，1PA =，
3PB =，PC =，将APB ∆绕点A 逆时针旋转后与AQC ∆重合．求：
（1）线段PQ 的长；
（2）APC ∠的度数．
【分析】（1）由旋转的性质可知QPA ∆为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得QP 的长；
（2）QPA ∆为等腰直角三角形，故此45APQ ∠=︒，在QPC ∆中PC =，3QC =，QP =，由勾股定理的逆定理可证QCP ∆为直角三角形，从而可求得135APC ∠=︒．
【解答】解：（1）APB ∆绕点A 旋转与AQC ∆重合
1AQ AP ∴==，90QAP CAB ∠=∠=︒．
在Rt APQ ∆中，由勾股定理得：PQ ===．
（2）90QAP ∠=︒，AQ AP =，
45APQ ∴∠=︒．
APB ∆绕点A 旋转与AQC ∆重合，
3CQ BP ∴==．
在CPQ ∆中PQ =，3CQ =，CP =
22229CP PQ ∴+=+=，2239CQ ==．
222CP PQ CQ ∴+=．
90CPQ ∴∠=︒．
135APC CPQ APQ ∴∠=∠+∠=︒．
例8．（2017秋•武侯区期末）如图，ABD ∆和BEC ∆都是等边三角形，连接AC ，DE ，CD ．
（1）猜想AC 与DE 的数量关系，并说明理由；
（2）给出定义：若一个四边形中存在一组邻边的平方和等于一条对角线的平方，则这个四边形为勾股四边形．如图，若30DCB ∠=︒，求证：四边形ABCD 是勾股四边形；
（3）设ABD ∆，BCE ∆，DBC ∆的面积分别是1S ，2S ，3S ，若BD BC ⊥，试探究12S S 与3S 之间满足的等量关系．
【分析】（1）由“SAS ”可证ABC DBE ∆≅∆，可得AC DE =；
（2）由题意可得90DCE ∠=︒，由勾股定理可求222DC CE DE +=，可证四边形ABCD 是勾股四边形；
（3）由等边三角形的面积公式可求21S =，22S =，由直角三角形的面积公式312S BD BC =⨯⨯，即可求解．【解答】解：（1）AC DE =，
理由如下：
ABD ∆和BEC ∆都是等边三角形，
AB BD ∴=，BC BE CE ==，60ABD CBE ∠=∠=︒，
ABD DBC CBE DBC
∴∠+∠=∠+∠
ABC DBE ∴∠=∠，且AB DB =，BC BE =，
()
ABC DBE SAS ∴∆≅∆AC DE ∴=，
（2）60BCE ∠=︒，30DCB ∠=︒，
90DCE ∴∠=︒
222DC CE DE ∴+=，
222DC BC AC ∴+=，
∴四边形ABCD 是勾股四边形；
（3）ABD ∆和BEC ∆都是等边三角形，
214S BD ∴=，224
S BC =，BD BC ⊥，312
S BD BC ∴=⨯⨯，222
12333164S S BD BC S ∴=
⨯⨯=过关检测
1．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，10AB =，点D 是射线CB 上的一个动点，ADE ∆是等边三角形，点F 是AB 的中点，连接EF ．
（1）如图，点D 在线段CB 上时，
①求证：AEF ADC ∆≅∆；
②连接BE ，设线段CD x =，BE y =，求22y x -的值；
（2）当15DAB ∠=︒时，求ADE ∆的面积．
【分析】（1）①在直角三角形ABC 中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC 的长，再由F 为AB 中点，得到5AC AF ==，确定出三角形ADE 为等边三角形，利用等式的
性质得到一对角相等，砸由AD AE =，利用SAS 即可得证；②由全等三角形对应角相等得到AEF ∠为直角，EF CD x ==，在三角形AEF 中，利用勾股定理即可列出y 关于x 的函数解析式及定义域；
（2）分两种情况考虑：①当点在线段CB 上时；②当点在线段CB 的延长线上时，分别求出三角形ADE 面积即可．
【解答】（1）①证明：在Rt ABC ∆中，
30B ∠=︒，10AB =，
60CAB ∴∠=︒，152
AC AB ==，点F 是AB 的中点，
152
AF AB ∴==，AC AF ∴=，
ADE ∆是等边三角形，
AD AE ∴=，60EAD ∠=︒，
CAB EAD ∠=∠，即CAD DAB FAE DAB ∠+∠=∠+∠，
CAD FAE ∴∠=∠，
在AEF ∆和ADC ∆中，
AD AE CAD FAE AC AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()AEF ADC SAS ∴∆≅∆；
②AEF ADC ∆≅∆，
90AEF C ∴∠=∠=︒，EF CD x ==，
又点F 是AB 的中点，
AE BE y ∴==，
在Rt AEF ∆中，勾股定理可得：2225y x =+，
2225
y x ∴-=（2）①当点在线段CB 上时，
由15DAB ∠=︒，可得45CAD ∠=︒，ADC ∆是等腰直角三角形，250AD ∴=，
ADE ∆②当点在线段CB 的延长线上时，
由15DAB ∠=︒，可得15ADB ∠=︒，10BD BA ==，
∴在Rt ACD ∆中，勾股定理可得2200100AD =+ADE ∆的面积为5075+，
综上所述，ADE ∆的面积为
2或5075+．四.半角模型
例9．问题背景：“半角问题”
（1）如图：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且60EAF ∠=︒．探究图中线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．小明同学探究此“半角问题”的方法是：延长FD 到点G ．使DG BE =．连结AG ，先证明ABE ADG ∆≅∆，再证明AEF AGF ∆≅∆，可得出结论，他的结论应是EF BE DF =+；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？
（2）若将（1）中“120BAD ∠=︒，60EAF ∠=︒”换为12
EAF BAD ∠=∠．其它条件不变．如图1，试问线段EF 、BE 、FD 具有怎样的数量关系，并证明．
（3）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且12
EAF BAD ∠=∠，请直接写出线段EF 、BE 、FD 它们之间的数量关系．（不需要证明）
（4）如图3，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、
CD 延长线上的点，且12
EAF BAD ∠=∠，试问线段EF 、BE 、FD 具有怎样的数量关系，并证明．
【分析】（1）延长FD 到点G ．使DG BE =．连结AG ，即可证明ABE ADG ∆≅∆，可得AE AG =，再证明AEF AGF ∆≅∆，可得EF FG =，即可解题；
（2）如图1，延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ，即可证明ABG ADF ∆≅∆，可得AF AG =，再证明AEF AEG ∆≅∆，可得EF EG =，即可解题；
（3）如图2，同理可得：EF BE DF =+；
（4）如图3，作辅助线，构建ABG ∆，同理证明ABG ADF ∆≅∆和AEG AEF ∆≅∆．可得新的结论：EF BE DF =-．
【解答】证明：（1）延长FD 到点G ．使DG BE =．连结AG ，在ABE ∆和ADG ∆中，
AB AD ABE ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABE ADG SAS ∴∆≅∆，
AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，
120BAD ∠=︒，60EAF ∠=︒，
60BAE FAD DAG FAD ∴∠+∠=∠+∠=︒，
60EAF FAG ∴∠=∠=︒，
在EAF ∆和GAF ∆中，
AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()EAF GAF SAS ∴∆≅∆，
EF FG DF DG ∴==+，
EF BE DF ∴=+；
故答案为：EF BE DF =+；
（2）如图1，延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ．
在ABG ∆与ADF ∆中，
AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABG ADF SAS ∴∆≅∆．
AG AF ∴=，12∠=∠，
113232
BAD EAF ∴∠+∠=∠+∠==∠．GAE EAF ∴∠=∠．
又AE AE =，
易证AEG AEF ∆≅∆．
EG EF ∴=．
EG BE BG =+．
EF BE FD
∴=+（3）（1）中的结论EF BE FD =+仍然成立．
理由是：如图2，延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ．
180ABC D ∠+∠=︒，180ABG ABC ∠+∠=︒，
ABG D ∴∠=∠，
在ABG ∆与ADF ∆中，
AB AD ABG D BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABG ADF SAS ∴∆≅∆．
AG AF ∴=，12∠=∠，
113232
BAD EAF ∴∠+∠=∠+∠==∠．GAE EAF ∴∠=∠．
又AE AE =，
AEG AEF ∴∆≅∆．
EG EF ∴=．
EG BE BG =+．
EF BE FD
∴=+（4）结论EF BE FD =+不成立，应当是EF BE FD =-．
证明：在BE 上截取BG ，使BG DF =，连接AG ．
180B ADC ∠+∠=︒，180ADF ADC ∠+∠=︒，
B ADF ∴∠=∠．
在ABG ∆与ADF ∆中，
AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABG ADF SAS ∴∆≅∆．
BAG DAF ∴∠=∠，AG AF =．
12
BAG EAD DAF EAD EAF BAD ∴∠+∠=∠+∠=∠=∠．GAE EAF ∴∠=∠．
AE AE =，
易证AEG AEF ∆≅∆．
EG EF
∴=EG BE BG
=-EF BE FD ∴=-
．
过关检测
1．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，若EF BE FD =+．求证：12
EAF BAD ∠=∠（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、
CD 延长线上的点，且12
EAF BAD ∠=∠，试探究线段EF 、BE 、FD 之间的数量关系，证明你的结论．
【分析】（1）延长CB 至M ，使得BM DF =，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE 上截取BG ，使BG DF =，连接AG ．可得出DF BG =，GE EF =，那么EF GE BE BG BE DF ==-=-．
【解答】证明：（1）延长CB 至M ，使得BM DF =，连接AM ，
90B D ∠=∠=︒，AB AD =，
在ABM ∆与ADF ∆中
BM DF ABM ADF AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABM ADF SAS ∴∆≅∆，
AM AF ∴=，DAF BAM ∠=∠，
EF BE DF BE BM ME =+=+=，
在AME ∆与AFE ∆中
AE AE EF ME AM AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()AME AFE SSS ∴∆≅∆，
MAE EAF ∴∠=∠，
BAE DAF EAF ∴∠+∠=∠，即12
EAF BAD ∠=∠；（2）线段EF 、BE 、FD 之间的数量关系是EF DF BE +=，在BE 上截取BM DF =，连接AM ，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，180ADC ADE ∠+∠=︒，ABM ADF ∴∠=∠，
在ABM ∆与ADF ∆中
BM DF ABM ADF AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABM ADF SAS ∴∆≅∆，
AM AF ∴=，BAM DAF ∠=∠，12
EAF BAD ∠=∠，EAF EAM ∴∠=∠，
在AEM ∆与AEF ∆中。