人教版高中数学B版高中数学必修一《函数的单调性》函数的概念与性质(第1课时函数的单调性及函数的平均变

A．[－2，0]
B．[0，1]
C．[－2，1]
D．[－1，1]
解析：选 C.观察图像可知此函数的增区间是[－2，1]．
下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝－1x
B．y＝x
C．y＝x2
D．y＝1－x
答案：D
若 y＝(k－1)x＋b 是 R 上的减函数，则有( )
A．k>12
D．(－∞，3]
解析：选 D.y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3]．
2．设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调增区间，且 x1∈(a，b)，x2 ∈(c，d)，x1<x2，则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为( ) A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
■名师点拨 (1)定义中的 x1，x2 有以下 3 个特征 ①任意性，即“任意取 x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉， 证明时不能以特殊代替一般； ②有大小，通常规定 x1<x2； ③属于同一个单调区间．
(2)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时 ，不能用 “∪”连接，而应该用“和”连接．如函数 y＝1x在(－∞，0) 和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数 y＝1x在(－∞， 0)∪(0，＋∞)上单调递减．
《函数的单调性》函数的概 念与性质(第1课时函数的单 调性及函数的平均变化率)
人教版高中数学B版高中数学必修 一
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第三章 函 数
考点
学习目标
核心素养
函数单调性 了解函数单调性的概念，会用 逻辑推理
的判定与证明 定义判断或证明函数的单调性
＝(x1－x2)＋4(xx21－x2x1) ＝(x1－x2x)1(xx21x2－4). 因为 0＜x1＜x2＜2， 所以 x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)． 所以函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减．
利用定义证明函数单调性的步骤
由函数单调性求参数范围的类型及处理方法 (1)由函数解析式求参数
(2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变
a<b(a>b)， 量的关系 f(a)<f(b)⇔m≤a≤n，
m≤b≤n. ②方法：依据函数单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． [提醒] 单调区间是 D≠在区间 D 上单调． (1)单调区间是 D：指单调区间的最大范围是 D. (2)在区间 D 上单调：指区间 D 是单调区间的子集．
(变条件)将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋ 3|”，如何求解？ 解：函数 y＝|－x2＋2x＋3|的图像如图所示：
由图像可知其单调递增区间为[－1，1]，[3，＋∞)；单调递减 区间为(－∞，－1)，(1，3)．
1．已知函数 y＝f(x)，x∈[－4，4]的图像如图所示，则函数 f(x) 的所有单调递减区间为( ) A．[－4，－2] B．[1，4] C．[－4，－2]和[1，4] D．[－4，－2]∪[1，4] 解析：选 C.由题干图可得，f(x)在[－4，－2]上递减，在[－2， 1]上递增，在[1，4]上递减，可得 f(x)的单调递减区间为[－4， －2]，[1，4]．
1．若函数 f(x)＝x2－2(a－1)x＋2 在区间[0，2]上不是单调函数， 则 a 的取值范围是__________． 解析：因为 f(x)＝x2－2(a－1)x＋2 的对称轴是 x＝a－1， 又 f(x)在[0，2]上不是单调函数， 所以 0<a－1<2， 所以 1<a<3. 答案：(1，3)
2．函数的平均变化率
(1)直线的斜率
一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点 y2－y1
A(x1，y1)，B(x2，
y2)，当 x1≠x2 时，称___x_2－__x_1___为直线 AB 的斜率；当 x1＝x2
时，称直线 AB 的斜率___不__存__在___．
直线 AB 的斜率反映了直线相对于____x_轴_____的倾斜程度．
Δy (2)y＝f(x)在 I 上是减函数的充要条件是___Δ_x_<_0__在 I 上恒成立．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( ) (2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单 调递减区间是[1，3]．( ) (3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3)．( )
2．若 f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式 f(x)<f(－2x ＋8)的解集是__________．
x≥0， 解析：依题意，得不等式组－2x＋8≥0，
x>－2x＋8， 解得83<x≤4. 答案：83，4
1．函数 y＝x2－6x 的减区间是( )
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是 同一单调区间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较 函数值的大小，而本题中的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1) 与 f(x2)的大小不能确定．
2．已知函数 f(x)＝2x－ ＋x1，证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为减 函数．
证明：∀x1，x2∈(－1，＋∞)， 且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x21－＋x11－x22－＋x12 ＝(x13＋(x12)－(xx2＋1) 1).
因为 x2＞x1＞－1， 所以 x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0， 因此 f(x1)－f(x2)＞0， 即 f(x1)＞f(x2)， 所以 f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．
B．k>－12
C．k<12
D．k<－12
答案：C
函数 f(x)＝x2＋2x＋1 的单调递减区间是__________．
答案：(－∞，－1]
函数单调性的判定与证明
证明函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数． 【证明】 ∀x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4(xx21－x2x1)＝(x1－x2x)1(xx21x2－4).
求函数的 会借助图像和定义求函数的单 数学运算，
单调区间 调区间
直观想象
函数单调性 会根据函数的单调性求参数或 数学运算，
的应用
解参数不等式
直观想象
问题导学 预习教材 P95－P100 的内容，思考以下问题： 1．增函数的概念是什么？ 2．减函数的概念是什么？ 3．什么是函数的单调区间？
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 D，且 I⊆D： (1)如果对任意 x1，x2∈I，当 x1＜x2 时，都有__f(_x_1_)＜__f_(_x_2)__， 则称 y＝f(x)在 I 上是增函数(也称在 I 上_单__调__递__增_____)，如图
(1)所示；
(2)如果对任意 x1，x2∈I，当 x1＜x2 时，都有__f_(x_1_)_＞__f(_x_2_) __， 则称 y＝f(x)在 I 上是减函数(也称在 I 上__单__调__递__减_____)，如图 (2)所示． 两种情况下，都称函数在 I 上具有单调性(当 I 为区间时，称 I 为函数的___单__调__区__间____，也可分别称为__单__调__递__增___区__间____或 _____单__调__递__减__区__间_____)．
求函数的单调区间 画出函数 y＝－x2＋2|x|＋3 的图像，并指出函数的单调 区间．
【解】 y＝－x2＋2|x|＋3＝－ －((xx－ ＋11))22＋ ＋44， ，xx≥ <00. ，函数图像如 图所示．
函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1， ＋∞)上是减函数．所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0， 1]，单调递减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．
【解析】 (1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 ＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]． ①由 f(x)在(－∞，3]上是增函数知 3≤－a－1， 即 a≤－4. ②由题意得－a－1＝3，a＝－4.
(2)因为函数 y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且 f(2x－3)>f(5x －6)， 所以 2x－3>5x－6， 解得 x<1， 即实数 x 的取值范围为(－∞，1)．
【答案】 (1)①a≤－4 ②－4 (2)(－∞，1)
(变条件)若本例(1)中的函数 f(x)在区间(1，2)上是单调函数，求 a 的取值范围． 解：因为函数 f(x)的对称轴为 x＝－a－1， 又 f(x)在(1，2)上是单调函数， 所以－a－1≥2 或－a－1≤1， 即 a≤－3 或 a≥－2.
平均变化率．
3．y＝f(x)在 I 上是增函数(减函数)的充要条件
一般地，若 I 是函数 y＝f(x)的定义域的子集，对任意 x1，x2∈I
且
x1 ≠ x2 ， 记
y1
＝
f(x1)
，
y2
＝
f(x2)
，
Δy Δx
＝
y2－y1 x2－x1
(
即
Δf Δx
＝
f(xx2)2－ －fx(1x1))，则：
Δy
(1)y＝f(x)在 I 上是增函数的充要条件是__Δ__x_>_0__在 I 上恒成立；
若记 Δx＝x2－x1，相应的 Δy＝y2－y1，则当 Δx≠0 时，斜率可 Δy
记为___Δ_x____．
(2)平均变化率
一般地，当 x1≠x2 时，称 f(x2)－f(x1) ΔΔxf ＝____x_2－__x_1_____
为函数 y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2 时)或[x2，x1](x1>x2 时)上的
2．函数 y＝x－1 1的单调递减区间为________． 解析：y＝x－1 1的图像可由函数 y＝1x的图像向右平移一个单位 得到，如图所示，其单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．
答案：(－∞，1)，(1，＋∞)
函数单调性的应用 (1)已知函数 f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3. ①若函数 f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数 a 的取值范 围是__________； ②若函数 f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数 a 的值为 __________． (2)已知函数 y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且 f(2x－3)>f(5x －6)，则实数 x 的取值范围为__________．
(4)若函数 y＝f(x)在定义域上有 f(1)<f(2)，则函数 y＝f(x)是增函 数．( ) (5)若函数 f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则 f(x)的单 调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
函数 y＝f(x)在区间[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的 增区间是( )
[注意] 作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多 为几个因式乘积的形式．
1．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )
①y＝|x|＋1；②y＝|xx|；③y＝－|xx2|；④y＝x＋|xx|.
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
解析：选 C.①y＝|x|＋1＝－x＋1(x＜0)在(－∞，0)上为减函数； ②y＝|xx|＝－1(x＜0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函 数；③y＝－|xx2|＝x(x＜0)在(－∞，0)上是增函数；④y＝x＋|xx|＝ x－1(x＜0)在(－∞，0)上也是增函数．
因为 2＜x1＜x2， 所以 x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0， 所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 所以函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
(变问法)若本例的函数不变，试判断 f(x)在(0，2)上的单调性．
解：函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减． 证明：∀x1，x2∈(0，2)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42