江苏省盱眙县高三数学下学期期初检测试题苏教版

盱眙县马坝中学2013届高三下学期期初检测数学试题
一、填空题
1．已知全集{
}4,3,2,1=U ,集合{}1,2,3P =,{}2,3Q =,则()U P Q ðI = . 2．已知等差数列{}
n a 满足：
100543a π
=
，则12009tan()a a +=_______________.
3．已知边长为a 的等边三角形内任意一点到三边距离之和为定值，这个定值为
3
2
a ，推广到空间，棱长为a 的正四面体内任意一点到各个面的距离之和也为定值，则这个定值为： 4．函数()f x 的导函数为()f x '，若对于定义域内任意1x ，2x 12()x x ≠，有
121212()()()2f x f x x x
f x x -+'=-恒成立，则称()f x 为恒均变函数．给出下列函数：①
()=23f x x +；②2()23f x x x =-+；③1()=
f x x
；④()=x
f x e ；⑤()=ln f x x ．其中为恒均变函数的序号是 ．（写出所有．．
满足条件的函数的序号） 5．定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，
()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π
∈π2
，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ．
6．设11
,1,2a b a b a b
+=+为正数,且则
的最小值是 7．若函数2()1
x a
f x x +=+在1x =处取极值，则a =
8．若)1,1(),3,2(B A --，点)2,(a P 是AB 的垂直平分线上一点，则=a ___________．
9．已知平面向量,a b r r
，且满足1,2a a b =+=r r r ，则b r 的取值范围为 ▲ .
10．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n n =+，那么它的通项公式为n a =_______
11．已知曲线y ＝－
13
x 3＋2与曲线y ＝4x 2
－1在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为 12．设向量b a ,的夹角为θ，且)1,1(2),3,3(-=-=a b a ,则=θcos .
13．观察下列不等式
1＋
212<32， 1＋
2
12
＋213<53， 1＋
212＋213＋214<74
， ……
照此规律，第五个．．．
不等式为______________. 14．在平面直角坐标系中，定义2121),(y y x x Q P d -+-=为两点),(),,(2211y x Q y x P ,之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆； ③到)0,1(),0,1(N M -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；
④到)0,1(),0,1(N M -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．
其中正确的命题是___________．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题
15．已知函数)0()(2
3
≠+++=a d cx bx ax x f 的图象经过原点，0)1(='f 若)(x f 在
1-=x 取得极大值2。

（1）求函数)(x f y =的解析式；
（2）若对任意的m x x f x f x ++'≥-∈6)()(],4,2[都有，求m 的最大值。

16．抛物线x 2
=4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，试求动点R 的轨迹方程.
17．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点)2,0(),0,1(-B A ，点C 满足
OB n OA m OC +=，其中R n m ∈,，且12=-n m . （1）求点C 的轨迹方程；（2）设
点C 的轨迹与双曲线),0,0(122
22b a b a b
y a x ≠>>=-且交于N M ,两点，且以MN 为直径
的圆过原点，求证：
2
21
1b
a -为定值；（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于3，求双曲线实轴长的取值范围.
18．设01a b a <<<+，解关于x 的不等式2
2
)()(ax b x >-。

19．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，D 、E 分别是CC 1和AB 1的中点，点F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3
(1)若M 为AB 中点，求证 BB 1∥平面EFM ；
(2)求证EF⊥BC；
(3)求二面角A1—B1D—C1的大小
20．甲、乙两个盒子里各放有标号为1，2，3，4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码x后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码y，设随机变量y
x
X-
=
（1）求
2
y=的概率；
（2）求随机变量X的分布列及数学期望.
参考答案
1．{}1 2．
3
4．①② 5．βαγ>>
6．3 7．3a = 8
9．[1,3] 10．2n 11
12
13
14．①③④ 15．（1）
322
()'()32f x ax bx cx d f x ax bx c
=+++∴=++Q
由题意得：(0)0
'(1)320
(1)2'(1)320
f d f a b c f a b c f a b c ===++=-=-+-=-=-+=
解得：1030
a b c d =⎧⎪=⎪
⎨=-⎪⎪=⎩
3
()3f x x x ∴=-
（2）
3
2
2()'()6()-'()-6()()-'()-6393
'()369
f x f x x m
m f x f x x
g x f x f x x x x x g x x x ≥++∴≤==--+∴=--Q 令
令'()0g x =得1231x x ==-或 max (3)24m g ==-
16．解：设R(x ,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB 的中心为)2
1
,
2(+y x C ，L:y=k x －1,代入抛物线方程得x 2
－4k x +4=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2
－16＞0，即|k|＞1 ①，
244
2)(422
1221222121-=-+=+=+∴k x x x x x x y y ，∵C 为AB 的中点.
∴ 122
2122222
22
2-=+=+=+=k y y y k x x x ∴2
443
x k y k =⎧⎨=-⎩，消去k 得x 2
=4(y+3),由① 得，4
>x ，故动点R 的轨迹方程为
x 2=4(y+3)(
4>x )．
17．解.（1）设C ),(y x ，因为OB n OA m OC +=，则)2,0()0,1(),(-+=n m y x
所以1,12-,2=+∴=⎩⎨⎧-==y x n m n y m
x 又即点C 的轨迹方程为01=-+y x
明：由02)(11222222222
22=--+-⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-
b a a x a x a b y x b y a x 得
设),(),,(2211y x N y x M ，则2
22
222122221,2a
b b a a x x a b a x x -+-=--=+ 因为以MN 为直径的圆过原点，所以0,02121=+=⋅y y x x ON OM 即 化简得21
1,02222222=-∴
=--b
a b a a b 因为21122=-b
a ，所以2
22
21a a b -= 因为2103,32222≤<⇒≤+=∴≤a a b a e e 所以双曲线实轴长的取值范围是（0，1]
18．解：原不等式可化为0])1][()1[(>---+b x a b x a ，因为 a b a +<<<10，所以
当10<<a 时，不等式化为0)1)(1(>--+-
a b x a b x ，∴{a b x x ->
1|或}a b
x +<1；当
1=a 时，不等式化为0))(1(>-+-b a b x ，∴{}a
b
x x +<
1|； 当1>a 时，不等式化为0)1)(1(<--+-a b x a b x ∴{}a
b
x a b x +<
<-11|． 19．(1)证明 连结EM 、MF ，∵M 、E 分别是正三棱柱的棱AB 和AB 1的中点，
∴BB 1∥ME ，又BB 1平面EFM ，∴BB 1∥平面EFM
(2)证明 取BC 的中点N ，连结AN 由正三棱柱得 AN ⊥BC ， 又BF ∶FC =1∶3，∴F 是BN 的中点，故MF ∥AN ， ∴MF ⊥BC ，而BC ⊥BB 1，BB 1∥ME
∴ME ⊥BC ，由于MF ∩ME =M ，∴BC ⊥平面EFM ， 又EF 平面EFM ，∴BC ⊥EF
(3)解 取B 1C 1的中点O ，连结A 1O 知，A 1O ⊥面BCC 1B 1，由点O 作B 1D 的垂线OQ ，垂足为Q ，连结A 1Q ，由三垂线定理，A 1Q ⊥B 1D ，故∠A 1QD 为二面角A 1—B 1D —C 的平面角，易得∠
A 1QO =arctan
20．解：（1）(2)(2,2)(2,2)P y P x y P x y ====+≠=
12311
45454=
⨯+⨯=
（2）随机变量X 可取的值为0，1，2，3
当X =0时，(,)(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)x y =
121212122(0)454545455P X ∴==
⨯+⨯+⨯+⨯=
当X =1时，(,)(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)x y =
1111111111113
(1)45454545454510P X ∴==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
同理可得
11
(2);(3)510P X P X ====
∴随机变量X 的分布列为
X
0 1 2 3
P
25 3
10
1
5 110
2311
01231
510510EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=。