四川省成都石室中学10—11下学期高三数学(文科)第三次月考考试试卷

成都石室中学
高2011级“三诊”模拟考试
数学试题(文科)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若,a b 为实数，集合{,1},{,0},:b
M N a f x x a
==→表示把集合M 中的元素x 映射
到集合N 中仍为x ，则a b +为( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．1±
2．设等差数列{}n a 的前n 项和为36789,9,36,n S S S a a a ==++=若则( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27
3．某校要从高一、高二、高三共2010名学生中选取50名组成2010年上海世博会的志愿团，若采用下面的方法选取；先用简单随机抽样的方法从2010人中剔除10人，剩下的2000人再按分层抽样的方法进行，则每人入选的概率( ) A ．不全相等 B ．均不相等 C ．都相等且为
50
2010
D ．都相等且为
140
4．以下命题中正确的是( ) A ．1
,2x R x x
∈+
≥恒成立； B ．在ABC ∆中，若sin 2sin 2,A ABC =则是等腰三角形；
C ．对等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若对任意正整数n 都有11,n n n n S S a a ++>>则对
任意正整数n 恒成立；
D ．3a =是直线230ax y a ++=与直线3(1)7x a y a +-=-平行且不重合的充要
条件；
5．设函数()|sin()|(),()5
f x x x R f x π
=+∈则( )
A ．在区间27[,]36
ππ
上是增函数 B ．在区间[,]2
π
π--上是减函数
C ．在区间[
,]84
ππ上是增函数 D ．在区间5[
,]36
ππ
上是减函数
6．函数212
()log ||f x x x =-的零点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．曲线3()2f x x =-在P 0点处的切线平行于直线031,y x P =-由点的坐标为( ) A ．(1，0) B ．(2，8) C ．(1，－1)和(－1，－3) D ．(2，8)和(－1，－4)
8．将5名同学分配到A 、B 、C 三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 宿舍，那么不同的分配方案有( ) A ．76种 B ．100种 C ．132种 D ．150种 9．已知,a b 是非零向量且满足(3),(4),a b a a b b a b -⊥-⊥则与的夹角是( ) A ．
6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 10．如图所示，在正三棱锥S －ABC 中，M 、N 分别是SC 、BC 的
中点，且MN AM ⊥
，若侧棱SA =S －ABC 外接球的表面积是( ) A ．12π B ．32π
C ．36π
D ．48π
11．已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>与双曲线222
4a x y -=有
相同的焦点，则椭圆的离心率为( ) A
B ．
12
C
D
12．定义在[0，1]上的函数()f x 满足1(0)0,()(1)1,()()5
2
x f f x f x f f x =+-==
，且当12121
01()(),()2010
x x f x f x f ≤<≤≤时则等于( ) A ．
12
B ．
116
C ．132
D ．164
第Ⅱ卷
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13．设,x y 满足约束条件22
31,0x y y x z x y y +≤⎧⎪≤-=+⎨⎪≥⎩
则的最小值是_________．
14．设10210
01210(23)(1)(1)(1)
x a a x a x a x -=+-+-+
+-，则0a ＋1a ＋2a ＋…10a ＝______________．
15．在矩形ABCD 中，,2,AB a AD b a b ==<，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，以EF
为折痕把四边形EFCD 折起，当90CEB ∠=︒时，二面角C －EF －B 的平面角的余
弦值等于______．
16．已知P 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右支上一点，A 1，A 2分别为双曲线的左、
右顶点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e ，有下列命题：
；
②若12||||,PF e PF e =则 ③12PF F ∆的内切圆的圆心横坐标为a ； ④若直线PF 1的斜率为22, 1.k e k ->则
其中正确的命题的序号是_________．
三、解答题：(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(12分)
已知,sin (sin ).ABC A B B C ∆=中 (Ⅰ)求角A 的大小；
(Ⅱ)若BC ＝3，求ABC ∆周长的取值范围．
18．(12分)
某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，
否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为
4321
,,,5555
且各轮问题能否正确回答互不影响． (Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
19．(12分)
在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD 和直角梯形ACEF
所在的平面互相垂直，AC EC ⊥，AC EF //，2=AB ，
1==EC EF ．
(Ⅰ)求证：平面BEF ⊥平面DEF ；
(Ⅱ)求二面角A －BF －E 的大小．
20．(12分)
已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为(1，3)． (1)若方程()60f x a +=有两个相等的实数根，求()f x 的解析式； (2)若函数()()g x xf x =无极值，求实数a 的取值范围．
21．(12分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知三点3(1,0),(1,0),(1,)2
A B C --，以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设点D (0，1)，是否存在不平行于x 轴的直线l 椭圆交于不同两点M 、N ，使
()0DM DN MN +⋅=？若存在，求出直线l 斜率的取值范围；若不存在，请
说明理由；
(Ⅲ)对于y 轴上的点(0,)(0)P n n ≠，存在不平等于x 轴的直线l 与椭圆交于不同两
点M 、N ，使()0PM PN MN +⋅=，试求实数n 的取值范围．
22．(14分)
在数列12{},1,n n a a a S ==
中是数列{}n a 的前n 项和．当*2n n N ≥∈且时，
411114444123
1
111
1
(2)(2)1,().n n n n n n n n n S S S S S S b a a a a a ++----+-==+++
+令 (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)试用1n n n b b +和表示； (3)若*
112
111292(1)
1,,(1)(1)(1).9(2)
n n b n N b b b n n +=∈+++
>-+证明:
参考答案
一、选择题
1－5 ABCDA 6－12 CCBACAC 二、填空题
13．1 14．1 15．22
b
a - 16．①③④
三、解答题：(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(12分)
解：
(Ⅰ)π=++C B A
得()B A C +=sin sin 代入已知条件得
B B A sin cos 3sin sin =
∵0sin ≠B ，由此得3tan =A ，3
π
=A …………6分 (Ⅱ)由上可知：3π2=
+C B ，B C -=
∴3
π
2 由正弦定理得：
()⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=+B B C B R AC AB 3π2sin sin 32sin sin 2 即得：⎪⎭⎫
⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+6πsin 6cos 23sin 2332B B B AC AB 3π20<
<B 得16πsin 21≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+≤B 63≤+<∴AC AB ，
ABC ∆∴周长的取值范围为(]9,6…………12分
18．(12分)
解：
(Ⅰ)记“该选手能正确回答第i 轮问题”的事件为
()4,3,2,1=i A i ，则()541=
A P ，()532=A P ，()523=A P ，()5
14=A P ， ∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率
()()()()()
625
96
54525354432143213=
⨯⨯⨯===P P A P A P A P A A A A P P ……6分 (Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率
()()()()()()()
3212113212113A P A P A P A P A P A P A A A A A A P P ++=++=
125
101535354525451=⨯⨯+⨯+=
．…………12分 19．(12分)
解：
(1) 平面⊥ACEF 平面ABCD ，
AC EC ⊥，⊥∴EC 平面ABCD ；
建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -，是
()0,2,2A ()
0,2,0B ，()
0,2,2D ，
()1,0,0E ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛1,22,22F ，
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∴0,22,22EF ，()1,2,0-BE ，()
1,0,2-DE …………2分
设平面BEF 、平面DEF 的法向量分别为()1,,11y x m =，()1,,21y x =， 则02
2
2211=+=
⋅y x ① 0121=+-=⋅y ②
02
22222=+=
⋅y x ③ 0122=+-=⋅x ④
由①②③④解得221-
=x ，2
2
1=y ； 222=
x ，2
2
2-=y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴1,22,22，⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=1,22,22…………4分 012
1
21=+--=⋅∴，n m ⊥∴，
故平面⊥BEF 平面DEF ……6分
(2)设平面ABF 的法向量()1,,11y x =，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=1,22,22BF ，(
)
0,0,2=
012
2
2233=+-=
⋅∴y x ， 023==⋅x BA p ，解得03=x ，23=y
()
1,2,0=∴p …………8分
36
3
22=⋅=
=
∴…………10分 由图知，二面角E BF A --的平面角是钝角， 故所求二面角的大小为3
6
arccos
π-．…………12分 20．(12分)
解：
(1)设()()02≠++=a c bx ax x f ，
不等式()x x f 2->的解集为()3,1 ()21-=++=∴c b a f ………………① ()6393-=++=c b a f …………②
又()0662
=+++=+a c bx ax a x f 有两等根，
()0642=+-=∆∴a c a b …………③
由①②③解得5
1
-
=a ，或1=a …………5分 又()x x f 2-> 的解集为()3,1，
0<∴a ，故51-=a ，56-=b ，5
3
-=c ．
()5
3
56512---=∴x x x f …………7分
(2)由①②得a b 42--=，a c 3=，
()()ax x a ax x g 34223+--+=∴，
()()a x a ax x g 34223'2+--+=…………9分 ()x g 无极值，
∴方程()0=x g 无实根或有两个相等实根，则
()⎩⎨⎧≤---=∆≠0
364240
2
2a a a ， 解得7
2
2-
≤≤-a …………12分 21．解：
(Ⅰ)设椭圆方程为()0122
22>>=+b a b
y a x ，
据()0,1-A ，()0,1B ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-23,1C 知，
()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎭⎫
⎝⎛+-1
12312222
22
b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==3
4
2
2b a ∴所求椭圆方程为13
42
2=+
y x …………4分 (Ⅱ) 条件()
0=⋅+MN DN DM
=
∴若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，
否则与点()1,0D 不在x 轴上矛盾．
∴可设直线l ：()0≠+=k m kx y
由⎪⎩⎪
⎨⎧=++=134
22y x m kx y 得()
0124843222=-+++m kmx x k
由()()
0124434642222>-+-=∆m k m k 得2
234m k >+……6分 设()11,y x M ，()22,y x N ，MN 的中点为()00,y x Q ， 则22104342k km x x x +-=+=
，2
0433k m
m kx y +=+=．
又
k x y 1100-=-∴，即k k km k m
143414332
2-=+-
-+． 解得：2
43k m --=…………8分
(将点的坐标代入()
0=⋅+亦可得到此结果)
由2
234m k >+得()2
224334k
k +>+得，
242-<k ，这是不可能的．
故满足条件的直线不存在．…………9分 (Ⅲ)据(Ⅱ)有
k
x n y 1
00-=-， 可推出31422
-<
n k ，要使k 存在，只需
()0031
2
≠>-n n n ∴的取值范围是⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33,00,33 …………12分
22．(14分)
(1)证明：由()()1221111=-+---++n n n n n n S S S S S S
得()()12
121=----+n n n n S S S S ，即1221=-+n n a a ()
*
N ∈≥n n ,2
∴数列{}2n
a 是首项为1，公差为1的等差数列 于是n a n =2，()
*N ∈=∴n n a n …………4分 (2)当2≥n 时，
()
22221131211-++++=n n b n ()()222221111312111n
n n b n +-++++=+∴+ ． ()222111n n b n b n n =-+∴
+ ()()()*N ∈≥++=∴+n n n b n b n n ,2112
21…………3分 (3)当1=n 时，9
1731229292111=⨯⨯->=+b ，不等式成立； 当2≥n 时，由(1)得()
22
111+=++n n b b n n ()⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴+2222121131211212111111n n b b b b n n 又当2≥k 时，⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--≥21113112k k k ()()∑=++++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--+++≥∴n
k n n n n n n n n k 122213263182921111312113111 ()()()
21182921336318292++-=++++->n n n n n n n n 于是当2≥n 时，()()
21292911111121++->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
+n n n b b b n
综上所述，对一切*
n，不等式都成立．…………14分
N。