滨江区第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

滨江区第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值的和为（ ）
3x x A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092
【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．
2． 若动点A ，B 分别在直线l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为（ ）A ．3
B ．2
C ．3
D ．4
3． 满足集合M ⊆{1，2，3，4}，且M ∩{1，2，4}={1，4}的集合M 的个数为（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4． 全称命题：∀x ∈R ，x 2＞0的否定是（ ）
A ．∀x ∈R ，x 2≤0
B ．∃x ∈R ，x 2＞0
C ．∃x ∈R ，x 2＜0
D ．∃x ∈R ，x 2≤0
5． 已知定义在上的奇函数)(x f ，满足,且在区间上是增函数，则 R (4)()f x f x +=-[0,2]A 、 B 、(25)(11)(80)f f f -<<(80)(11)(25)f f f <<-C 、
D 、(11)(80)(25)f f f <<-(25)(80)(11)
f f f -<<
6． 已知函数关于直线对称 , 且,则的最小值为
()sin f x a x x =6
x π
=-12()()4f x f x ⋅=-12x x +A 、
　B 、
C 、
D 、6π3
π56π23
π
7． 在△ABC 中，已知a=2
，b=6，A=30°，则B=（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．120°或60°
D ．45°
8． 设f （x ）是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）=f （x+y ），若a 1=，a n =f （n ）（n ∈N *），则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是（ ）
A ．[，2）
B ．[，2]
C ．[，1）
D ．[，1]
9． 已知函数y=f （x ）对任意实数x 都有f （1+x ）=f （1﹣x ），且函数f （x ）在[1，+∞）上为单调函数．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f （a 6）=f （a 23），则{a n }的前28项之和S 28=（ ）
A ．7
B ．14
C ．28
D ．56
10．已知 m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ ）
A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥n
B ．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β
C ．若m ⊥α，n ⊥α，则 m ∥n
D ．若 m ∥α，m ∥β，则 α∥β
11．已知正方体的不在同一表面的两个顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ）A ．4
B ．2
C ．
D ．2
12．已知圆的半径为1,为该圆的两条切线,为两切点,那么O ,PA PB ,A B PA PB
∙
的最小值为
A 、
B 、
C 、
D 、4-+3-+4-+3-+
二、填空题
13．已知曲线y=（a ﹣3）x 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线，函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a 的范围为 ．
14．已知数列
的前项和是, 则数列的通项__________
15．已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f （x ）=k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范
围是 ．
16．设集合A={﹣3，0，1}，B={t 2﹣t+1}．若A ∪B=A ，则t= ．
17．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数，
若曲线()()ln R x
f x x a a x
=+-∈122e e 1x x y +=+（为自然对数的底数）上存在点使得，则实数的取值范围为__________.
e ()00,x y ()()00
f f y y =a 18．抛物线y 2=8x 上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ．
三、解答题
19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111,A A AB CB A ABB =⊥．（1）求证：1AB ⊥平面1A BC ；
（2）若15,3,60AC BC A AB ==∠= ，求三棱锥1C AA B -的体积．
20．一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V 与x 的函数关系式，并求出函数的定义域．
21．已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=3，a 4﹣a 3=1．设等比数列{b n }且b 2=a 4，b 3=a 8（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（Ⅱ）设c n =a n +b n ，求数列{c n }前n 项的和S n ．
22．（本小题满分12分）椭圆C ：＋＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，A ，B
x 2
a 2y 2
b 2
是C 的长轴上的两个顶点，已知|PF |＝1，k PA ·k PB ＝－.
12
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的中心O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，求三角形PMN 面积的最大值，并求此时l 的方程．
23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆C的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
24．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．
滨江区第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1． 【答案】D
【解析】当时，是整数；当时，是整数；依次类推可知当时，是整数，则
3x =y 2
3x =y 3(*)n
x n N =∈y 由，得，所以输出的所有的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D ．
31000n
x =≥7n ≥x 2． 【答案】A
【解析】解：∵l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0是平行直线，
∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M 到原点的距离的最小值∵直线l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0，
∴两直线的距离为
=
，
∴AB 的中点M 到原点的距离的最小值为+
=3
，
故选：A
【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．　
3． 【答案】B
【解析】解：∵M ∩{1，2，4}={1，4}，∴1，4是M 中的元素，2不是M 中的元素．∵M ⊆{1，2，3，4}，∴M={1，4}或M={1，3，4}．故选：B ．　
4． 【答案】D
【解析】解：命题：∀x ∈R ，x 2＞0的否定是：∃x ∈R ，x 2≤0．故选D ．
【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．　
5． 【答案】D
【解析】∵，∴，∴，
(4)()f x f x +=-(8)(4)f x f x +=-+(8)()f x f x +=
∴的周期为，∴，)0()80(f f =，
()f x 8(25)(1)f f -=-，
(11)(3)(14)(1)(1)f f f f f ==-+=--=又∵奇函数)(x f 在区间上是增函数，∴)(x f 在区间上是增函数，[0,2][2,2]-∴，故选D.(25)(80)(11)f f f -<<6． 【答案】D
【解析】
：()sin )(tan f x a x x x ϕϕ==
-=12(),()()4
6
3
f x x k f x f x π
π
ϕπ=-
∴=+
⋅=- 对称轴为112212min
522,2,6
6
3
x k x k x x π
π
πππ∴=-
+=
+∴+=
7． 【答案】C 【解析】解：∵a=2
，b=6，A=30°，
∴由正弦定理可得：sinB=
=
=
，
∵B ∈（0°，180°），∴B=120°或60°．故选：C ．　
8． 【答案】C
【解析】解：∵对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）=f （x+y ），∴令x=n ，y=1，得f （n ）•f （1）=f （n+1），即
=
=f （1）=，
∴数列{a n }是以
为首项，以为等比的等比数列，∴a n =f （n ）=（）n ，
∴S n ==1﹣（）n ∈[，1）．
故选C ．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y）得到数列{a n}是等比数列，属中档题．
9．【答案】C
【解析】解：∵函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．
∴函数f（x）关于直线x=1对称，
∵数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），
∴a6+a23=2．
则{a n}的前28项之和S28==14（a6+a23）=28．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．【答案】C
【解析】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或者异面；故A错误；
对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，如墙角；故B错误；
对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到m∥n；故C正确；
对于D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；
故选C．
【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．
11．【答案】A
【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），
∴AB是正方体的体对角线，AB=，
设正方体的棱长为x，
则，解得x=4．
∴正方体的棱长为4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．
12．【答案】D.
【解析】设，向量与的夹角为，，
，PO t =PA PB θPA PB ==1
sin 2t θ=，，
2
22cos 12sin 12t θ
θ=-=-∴222
cos (1)(11)PA PB PA PB t t t
θ==--> A
，依不等式的最小值为.
2223(1)PA PB t t t
∴=+-> A PA PB ∴
A 3二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：因为y=（a ﹣3）x 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线，即y'=0有解，即y'=
在x ＞0时有解，
所以3（a ﹣3）x 3+1=0，即a ﹣3＜0，所以此时a ＜3．
函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x ）≤0恒成立，即f'（x ）=3x 2﹣2ax ﹣3≤0恒成立，即，
因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数
的最大值为
，
所以，所以．
综上．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．　
14．【答案】【解析】当时，当
时，
，
两式相减得：令
得
，所以
答案：
15．【答案】　（0，1）　．
【解析】解：画出函数f （x
）的图象，如图示：
令y=k ，由图象可以读出：0＜k ＜1时，y=k 和f （x ）有3个交点，即方程f （x ）=k 有三个不同的实根，故答案为（0，1）．
【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．　
16．【答案】　0或1　．
【解析】解：由A ∪B=A 知B ⊆A ，∴t 2﹣t+1=﹣3①t 2﹣t+4=0，①无解 或t 2﹣t+1=0②，②无解
或t 2﹣t+1=1，t 2﹣t=0，解得 t=0或t=1．故答案为0或1．
【点评】本题考查集合运算及基本关系，掌握好概念是基础．正确的转化和计算是关键．　
17．【答案】1,e
⎛⎤-∞ ⎥
⎝
⎦
【解析】结合函数的解析式：可得：，1
22e e 1x x y +=+()()
122
221'1x x x e e y e +-=+令y ′=0，解得：x =0，
当x >0时，y ′>0，当x <0，y ′<0，
则x ∈（-∞，0），函数单调递增，x ∈（0，+∞）时，函数y 单调递减，
则当x =0时，取最大值，最大值为e ，
∴y 0的取值范围（0，e ]，
结合函数的解析式：可得：，()()R lnx f x x a a x
=+-∈()22ln 1'x x f x x -+=x ∈（0，e ），，
()'0f x >则f （x ）在（0，e ）单调递增，
下面证明f （y 0）=y 0．
假设f （y 0）=c >y 0，则f （f （y 0））=f （c ）>f （y 0）=c >y 0，不满足f （f （y 0））=y 0．
同理假设f （y 0）=c <y 0，则不满足f （f （y 0））=y 0．
综上可得：f （y 0）=y 0．
令函数．()ln x f x x a x x
=
+-=设，求导，()ln x g x x =()21ln 'x g x x -=当x ∈（0，e ），g ′（x ）>0，
g （x ）在（0，e ）单调递增，
当x =e 时取最大值，最大值为，()1g e e =
当x →0时，a →-∞，
∴a 的取值范围.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
（2）若可导函数f （x ）在指定的区间D 上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f ′（x ）≥0（或f ′（x ）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
18．【答案】　（ 1，±2）　．
【解析】解：设点P 坐标为（a 2，a ）
依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2
a 2+2=，求得a=±2
∴点P 的坐标为（ 1，±2
）故答案为：（ 1，±2）．
【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．
三、解答题
19．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）有线面垂直的性质可得，再由菱形的性质可得，进而有线面垂直的判1BC AB ⊥11AB A B ⊥定定理可得结论；（2）先证三角形为正三角形，再由于勾股定理求得的值，进而的三角形1A AB AB 1A AB 的面积，又知三棱锥的高为，利用棱锥的体积公式可得结果.
3BC =考
点：1、线面垂直的判定定理；2、勾股定理及棱锥的体积公式.
20．【答案】
【解析】解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm ，
在Rt △EOF 中，
，∴
，∴
依题意函数的定义域为{x|0＜x ＜10}
【点评】本题是一个函数模型的应用，这种题目解题的关键是看清题意，根据实际问题选择合适的函数模型，注意题目中写出解析式以后要标出自变量的取值范围．
21．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则由，可得，…解得：，∴由等差数列通项公式可知：a n =a 1+（n ﹣1）d=n ，
∴数列{a n }的通项公式a n =n ，
∴a 4=4，a 8=8
设等比数列{b n }的公比为q ，则
，解得
，
∴
；
（2）∵
…∴
，=
，=，
∴数列{c n }前n 项的和S n =
．　
22．【答案】
【解析】解：
（1）可设P 的坐标为（c ，m ），
则＋＝1，c 2a 2m 2b 2
∴m ＝±，b 2a ∵|PF |＝1 ，
即|m |＝1，∴b 2＝a ，①
又A ，B 的坐标分别为（－a ，0），（a ，0），
由k PA ·k PB ＝－得12·＝－，即b 2＝a 2，②b 2a c ＋a b 2a c －a 1212由①②解得a ＝2，b ＝，
2∴椭圆C 的方程为＋＝1.x 24y 22
（2）当l 与y 轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P 的坐标为P （，1），此时S △PMN ＝×2×＝212222.
当l 不与y 轴重合时，设其方程为y ＝kx ，代入C 的方程得＋＝1，即x ＝±，x 24k 2x 2221＋2k 2
∴y ＝±，2k 1＋2k 2即M （，），N （，），21＋2k 22k 1＋2k 2－21＋2k 2－2k 1＋2k 2∴|MN |＝ (41＋2k 2)2
＋(4k 1＋2k 2)
2 ＝4，1＋k 21＋2k 2点P （，1）到l ：kx －y ＝0的距离d ＝，∴S △PMN ＝|MN |d ＝·2|2k －1|k 2＋11212
4·1＋k 21
＋2k 2|2k －1|k 2＋1＝2·＝2 |2k －1|1＋2k 2
2k 2＋1－22k 1＋2k 2＝2 ，1－22k 1＋2k
2当k ＞0时，≤＝1，22k 1＋2k 222k 22k 此时S ≥0显然成立，当k ＝0时，S ＝2.
当k ＜0时，≤＝1，－22k 1＋2k 21＋2k 21＋2k 2
当且仅当2k 2＝1，即k ＝－时，取等号．22此时S ≤2，综上所述0≤S ≤2.
22即当k ＝－时，△PMN 的面积的最大值为2，此时l 的方程为y ＝－x .
2222223．【答案】
【解析】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，
所以x2+y2=4x+4y﹣6，
所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，
即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…
所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…
当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…
24．【答案】
【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…
由e==，得1﹣=，∴a=5，…
∴椭圆C的方程为+=1．…
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…
设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…
由韦达定理得x1+x2=3，
y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…
由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，
∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…
【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．。