因式分解知识点总结

第一讲因式分解
一,知识梳理
1.因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫因式分解;
即：多项式→几个整式的积
例：111
() 333
ax bx x a b +=+
因式分解,应注意以下几点;
1. 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3. 分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4. 公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式；
5. 结果如有相同因式,应写成幂的形式；
6. 题目中没有指定数的范围,一般指在有理数范围内分解；因式分解是对多项式进行的一种恒等变形,是整式乘法的逆过程;
2.因式分解的方法：
1提公因式法：
①定义：如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这个变形就是提公因式法分解因式;
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式;公因式可以是一个数字或字母,也可以是一个单项式或多项式;
例：333234221286a b c a b c a b c -+的公因式是 ．
解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑,系数部分分别是12、-8、6,它们的最大公约
数为2；字母部分33323422,,a b c a b c a b c 都含有因式32a b c ,故多项式的公因式是232a b c . ②提公因式的步骤
第一步：找出公因式；
第二步：提公因式并确定另一个因式,提公因式时,可用原多项式除以公因式,所得商即是提
公因式后剩下的另一个因式;
注意：提取公因式后,对另一个因式要注意整理并化简,务必使因式最简;多项式中第一项有
负号的,要先提取符号;
例1：把2233121824a b ab a b --分解因式.
解析：本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次幂是ab,故公因式为6ab; 解：2233121824a b ab a b --
例2：把多项式3(4)(4)x x x -+-分解因式
解析：由于4(4)x x -=--,多项式3(4)(4)x x x -+-可以变形为3(4)(4)x x x ---,我们可以
发现多项式各项都含有公因式4x -,所以我们可以提取公因式4x -后,再将多项式写成积的形式.
解：3(4)(4)x x x -+-
=3(4)(4)x x x ---
=(3)(4)x x --
例3：把多项式22x x -+分解因式
解：22x x -+=2(2)(2)x x x x --=--
2运用公式法
定义：把乘法公式反过来用,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法;
注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式;
②选择使用公式的方法：主要从项数上看,若多项式是二项式可考虑平方差公式；若
多项式是三项式,可考虑完全平方公式;
例1：因式分解21449a a -+
解：21449a a -+=2(7)a -
例2：因式分解222()()a a b c b c ++++
解：222()()a a b c b c ++++=2()a b c ++
3分组分解法拓展
①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；
例：把多项式1ab a b -+-分解因式
解：1ab a b -+-=()(1)ab a b -+-=(1)(1)(1)(1)a b b a b -+-=+-
②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.
例：将多项式2221a ab b --+因式分解
解：2221a ab b --+
=222(2)1()1(1)(1)a ab b a b a b a b -+-=--=-+--
4十字相乘法形如2()()()x p q x pq x p x q +++=++形式的多项式,可以考虑运用此种方法
方法：常数项拆成两个因数p q 和,这两数的和p q +为一次项系数
例：分解因式230x x -- 分解因式252100x x ++
补充点详解 补充点详解
我们可以将-30分解成p ×q 的形式, 我们可以将100分解成p ×q 的形式, 使p+q=-1, p ×q=-30,我们就有p=-6, 使p+q=52, p ×q=100,我们就有p=2, q=5或q=-6,p=5; q=50或q=2,p=50;
所以将多项式2()x p q x pq +++可以分 所以将多项式2()x p q x pq +++可以分
解为()()x p x q ++ 解为()()x p x q ++ x 5
x 2 x -6 x
50 3.因式分解的一般步骤：
如果多项式有公因式就先提公因式,没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式,
通常采用分组分解法,最后运用十字相乘法分解因式;因此,可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”;
注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止,否则就是不完全的因式分解,
若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解,应该是指在有理数范围内因式分解,因此分解因式的结果,必须是几个整式的积的形式;
一、 例题解析
提公因式法
提取公因式：如果多项式的各项有公因式,一般要将公因式提到括号外面.
确定公因式的方法：
系数——取多项式各项系数的最大公约数；
字母或多项式因式——取各项都含有的字母或多项式因式的最低次幂.
【例 1】 分解因式：
⑴()()2121510n n
a a
b ab b a +---n 为正整数 ⑵212146n m n m a b a b ++--m 、n 为大于1的自然数
【巩固】 分解因式： 2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--,n 为正整数.
【例 2】 先化简再求值,()()()2y x y x y x y x +++--,其中2x =-,12y =
． 【巩固】 求代数式的值：22(32)(21)(32)(21)(21)(23)x x x x x x x -+--+++-,其中23
x =-. 【例 3】 已知：2b c a +-=-,求22221()()(222)33333
a a
b
c b c a b c b c a --+-+++-的值. 【巩固】 分解因式：322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----.。