椭圆的标准方程(白淑娥)
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a2 b2
F1 -c , 0，F2 c , 0
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
F1 0,- c，F2 0,c
a2=b2 +c2
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
应用
（1）在椭圆 x 2 y 2 1 中, a= _3__, b=__2_, 94
其焦点位于__x_轴上，焦点坐标是 ( 5,0)
y
则： x + c2 + y2 + x - cP( x2 ,+y ) y2 = 2a
x + c 2 + y2F11=-2c a, 0- O x -Fc22 2c +, 0y2 x
x + c2 + y2 = 4a2 - 4a x - c2 + y2 x - c2 + y2
设a2 -Pcx(=xa，yx -)c是2 +椭y圆2 上任意一点
的设a垂2|-F直c以x12 F2平xF22|1+=分、a22c线yF，2y2=为所2则a2y在有a轴2直F- c建112线(-立c为，直0x角)、轴Байду номын сангаасF，标2(线c系，段．0)F1F2 a2 a2 c2
y
ba
并且经过点 M（ 5 ，- 3），求它的标准方程. 22
你能想到
2、第33页 练习 1
几种方法 呢？
求曲线方程的基本步骤
建
设
列
系
点
式
化
检
简
验
如何求曲线的 方程呢？
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
M
F1 O O OF2 x x x
y
F2 M
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁 ”
化 列设建简式点系
椭圆上的点满足|PF1|+|PF2| 为定值，设为2a，则2a>2c
② 焦点坐标为F1（-C，0）、F2（C，0）
③ c2= a2 - b2
思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎 样的呢
归纳：焦点在y轴上的椭圆的标准方程
y
y2 x2 a2 b2 1 (a b 0)
F2
O
它表示:
F1
① 椭圆的焦点在y轴
② 焦点是F1（0，-c）、 F2（0，c） ③ c2= a2 - b2
不同点：焦点在x轴的椭圆 x2项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 y 2项分母较大.
回顾反思：
本节课涉及到了哪些数学思想方法？
今天我们类比研究圆的基本方法研究了椭圆的定 义及标准方程，接下来我们也将继续利用方程展开研 究椭圆的几何性质.研究圆、椭圆的这一思想将贯穿于 整个圆锥曲线的教学中.
作业：
1.思考：已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0),
归
纳
F2
M M
F1
F2
F1
（1）
（2）
应用 用定义判断下列动点M的轨迹用是否为椭圆。
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。
是
(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。
不是
(3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。
不是
根据椭圆的定义求椭圆的方程
M
F1
F2
2、在画图过程中，绳子长度变化了吗？为什么要把细 绳拉紧？说明椭圆上的点到两定点距离和等于什么？
|MF1|+|MF2|=绳长
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点间距离大 小有怎样的关系？
|MF1|+|MF2|> |F1F2|
一.椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于
数 常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆．
M x
根据所学知识完成下表:
定义
不
图形
同
点
平于面常内数到（两大个于定F1F点2椭 系）F1的，圆 数点F方 为2的的程正轨距迹离有加的特相和点连等
y 分母较大焦点y 定
P
右边数“1”F2 记心P 间
F1 O F2
x
O
x
F1
标准方程
焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
x2 + y2 = 1a > b > 0
学 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，
两焦点之间的距离叫做焦距(2c)．
归 注意：
M
纳 [1]平面内---这是大前提
F1
F2
[2]动点M 与两个定点F1、F2的距离的和是
常数2a
[3]常数2a大于焦距2c
数 学 椭圆定义的集合表示
M
F1
F2
归
P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c>0）}
周长为 20
Y C
O
F1
F2
X
D
小结
定义 图形
方程 焦点
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
F(±c，0)
ox
F1
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
F(0，±c)
a,b,c之间的关系
a2 b2 c2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
（2）在椭圆 16x2 7 y2 112 中，a= _4_ , b= __7_,
其焦点位于_y__轴上，焦点坐标是 (_0_,__3)
（3）a=5，c=4 的椭圆标准方程是
或
y2 x2 1
25 9
x2 y2 1 25 9
（4）若方程 x 2 y 2 1 表示焦点在 25 m 16 m
oc
x2 a2
y2 a2 c2
1
观察左图， 你能从中找出表示
x c 、 a 的线段吗？
a2-c2 有什么几何意义？
令 | OP | a2 c2 b
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1（ a
b
0）
归纳：焦点在x轴上的椭圆的标准方程：
y
M
它表示：
F1 0
F2
x
① 椭圆的焦点在x轴
椭圆及其标准方程
高中数学组：白淑娥
生活中 的椭圆
活动
大家动手画椭圆
数 1.取一条定长的细绳；
学 2.把它的两端固定在图板上的两点F1，F2 处；
实 （两点间的距离小于绳长）；
验
3.用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在图纸上慢慢
移动，看看能画出什么图形？
反思： 1、在画椭圆过程中，细绳两端 的位置是固定的还是运动的？
x 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是
（-16，9 ） 2
.
（5）若M为椭圆
x2 y2 1 25 16
上一点，F1、F2分别为椭
圆的左、右焦点，并且︱MF 1︱=6,则︱MF2︱= 4
（6）已知F1、F2分别为椭圆 x 2 y 2 1 的左、右 25 16
焦点，过F1的直线交椭圆于C、D两点，则△CF2D的
纳
绳长＝ F1F2
绳长＜ F1F2
平面内点M与两个定点F1、F2的距离的和等于 常数（记|MF1|+|MF2|=2a）的点M的轨迹是： 数 （1）当|MF1|+|MF2|>|F1F2|时点M的轨迹是为 椭圆
学 （2）当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时点M的轨迹为 线段F1F2 （3）当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时点M的轨迹 不存在
F1 -c , 0，F2 c , 0
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
F1 0,- c，F2 0,c
a2=b2 +c2
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
应用
（1）在椭圆 x 2 y 2 1 中, a= _3__, b=__2_, 94
其焦点位于__x_轴上，焦点坐标是 ( 5,0)
y
则： x + c2 + y2 + x - cP( x2 ,+y ) y2 = 2a
x + c 2 + y2F11=-2c a, 0- O x -Fc22 2c +, 0y2 x
x + c2 + y2 = 4a2 - 4a x - c2 + y2 x - c2 + y2
设a2 -Pcx(=xa，yx -)c是2 +椭y圆2 上任意一点
的设a垂2|-F直c以x12 F2平xF22|1+=分、a22c线yF，2y2=为所2则a2y在有a轴2直F- c建112线(-立c为，直0x角)、轴Байду номын сангаасF，标2(线c系，段．0)F1F2 a2 a2 c2
y
ba
并且经过点 M（ 5 ，- 3），求它的标准方程. 22
你能想到
2、第33页 练习 1
几种方法 呢？
求曲线方程的基本步骤
建
设
列
系
点
式
化
检
简
验
如何求曲线的 方程呢？
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
M
F1 O O OF2 x x x
y
F2 M
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁 ”
化 列设建简式点系
椭圆上的点满足|PF1|+|PF2| 为定值，设为2a，则2a>2c
② 焦点坐标为F1（-C，0）、F2（C，0）
③ c2= a2 - b2
思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎 样的呢
归纳：焦点在y轴上的椭圆的标准方程
y
y2 x2 a2 b2 1 (a b 0)
F2
O
它表示:
F1
① 椭圆的焦点在y轴
② 焦点是F1（0，-c）、 F2（0，c） ③ c2= a2 - b2
不同点：焦点在x轴的椭圆 x2项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 y 2项分母较大.
回顾反思：
本节课涉及到了哪些数学思想方法？
今天我们类比研究圆的基本方法研究了椭圆的定 义及标准方程，接下来我们也将继续利用方程展开研 究椭圆的几何性质.研究圆、椭圆的这一思想将贯穿于 整个圆锥曲线的教学中.
作业：
1.思考：已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0),
归
纳
F2
M M
F1
F2
F1
（1）
（2）
应用 用定义判断下列动点M的轨迹用是否为椭圆。
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。
是
(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。
不是
(3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。
不是
根据椭圆的定义求椭圆的方程
M
F1
F2
2、在画图过程中，绳子长度变化了吗？为什么要把细 绳拉紧？说明椭圆上的点到两定点距离和等于什么？
|MF1|+|MF2|=绳长
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点间距离大 小有怎样的关系？
|MF1|+|MF2|> |F1F2|
一.椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于
数 常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆．
M x
根据所学知识完成下表:
定义
不
图形
同
点
平于面常内数到（两大个于定F1F点2椭 系）F1的，圆 数点F方 为2的的程正轨距迹离有加的特相和点连等
y 分母较大焦点y 定
P
右边数“1”F2 记心P 间
F1 O F2
x
O
x
F1
标准方程
焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
x2 + y2 = 1a > b > 0
学 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，
两焦点之间的距离叫做焦距(2c)．
归 注意：
M
纳 [1]平面内---这是大前提
F1
F2
[2]动点M 与两个定点F1、F2的距离的和是
常数2a
[3]常数2a大于焦距2c
数 学 椭圆定义的集合表示
M
F1
F2
归
P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c>0）}
周长为 20
Y C
O
F1
F2
X
D
小结
定义 图形
方程 焦点
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
F(±c，0)
ox
F1
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
F(0，±c)
a,b,c之间的关系
a2 b2 c2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
（2）在椭圆 16x2 7 y2 112 中，a= _4_ , b= __7_,
其焦点位于_y__轴上，焦点坐标是 (_0_,__3)
（3）a=5，c=4 的椭圆标准方程是
或
y2 x2 1
25 9
x2 y2 1 25 9
（4）若方程 x 2 y 2 1 表示焦点在 25 m 16 m
oc
x2 a2
y2 a2 c2
1
观察左图， 你能从中找出表示
x c 、 a 的线段吗？
a2-c2 有什么几何意义？
令 | OP | a2 c2 b
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1（ a
b
0）
归纳：焦点在x轴上的椭圆的标准方程：
y
M
它表示：
F1 0
F2
x
① 椭圆的焦点在x轴
椭圆及其标准方程
高中数学组：白淑娥
生活中 的椭圆
活动
大家动手画椭圆
数 1.取一条定长的细绳；
学 2.把它的两端固定在图板上的两点F1，F2 处；
实 （两点间的距离小于绳长）；
验
3.用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在图纸上慢慢
移动，看看能画出什么图形？
反思： 1、在画椭圆过程中，细绳两端 的位置是固定的还是运动的？
x 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是
（-16，9 ） 2
.
（5）若M为椭圆
x2 y2 1 25 16
上一点，F1、F2分别为椭
圆的左、右焦点，并且︱MF 1︱=6,则︱MF2︱= 4
（6）已知F1、F2分别为椭圆 x 2 y 2 1 的左、右 25 16
焦点，过F1的直线交椭圆于C、D两点，则△CF2D的
纳
绳长＝ F1F2
绳长＜ F1F2
平面内点M与两个定点F1、F2的距离的和等于 常数（记|MF1|+|MF2|=2a）的点M的轨迹是： 数 （1）当|MF1|+|MF2|>|F1F2|时点M的轨迹是为 椭圆
学 （2）当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时点M的轨迹为 线段F1F2 （3）当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时点M的轨迹 不存在