高等数学中映射概念的实例教学法

激发学生的求知欲，发挥其主动学习的潜能．
关键词： 映射； 函数； 狄利克雷函数； 移位密码； 信源编码； 一一映射
中图分类号： O172； G642． 0
文献标志码： A
文章编号： 1007 － 0834（ 2019） 01 － 0063 － 04
0 引言 高等数学的知识内容是其他一些数学课和专业课的基础，是学生后续学习中的“必备知识”，但这种必
D（ x） =
．
0， x∈Ｒ \Q
如果对任意的 x1 ≠x2 ，都有 f（ x1 ） ≠f（ x2 ） ，则称 f 为单射； 如果 Ｒf = Y，则称 f 为满射． 如果 f 既是单射又 是满射，则称 f 为一一映射．
定义 2［1］ 设 f 是集合 X 到 Y 的单射，则由定义，对每个 y∈Ｒf，都有唯一的 x∈X，使得 f（ x） = y． 于是可 以定义一个从 Ｒf 到 X 的新映射 g： Ｒf→X，对每个 y∈Ｒf，规定 g（ y） = x，其中 x 满足 f（ x） = y，则称映射 g 为 f
收稿日期： 2018 － 07 － 13 基金项目： 军队教育训练项目（ 4142Z5391） 作者简介： 滕吉红（ 1974—） ，女，山东招远人，信息工程大学基础部教授，主要研究方向： 教育训练．
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河南教育学院学报（ 自然科学版）
2019 年
的逆映射，记作 f － 1 ，其中 Df －1 = Ｒf ，Ｒf －1 = X． 2 映射的实例探究
要性对于刚入学的学生而言却有些模糊，老师只能从宏观上加以介绍，学生很难有深刻体会，因而作为大学 数学中最基础、最重要的数学课程之一，高等数学常常被冠以“枯燥难学”的标签． 而高等数学让学生望而生 畏的重要原因之一，是其中的许多概念与学生的专业相去甚远． 针对这种状况，我们在教学中作了一些探索 和尝试，尽量挖掘基础知识和基本概念与专业的联系，旨在让抽象的数学概念回溯到它的现实源头，从而使 它与人的固有经验相衔接，进而激发学生的求知欲，发挥其主动学习的潜能．
的，即 定义 3［2］设数集 DＲ，则称映射 f： D→Ｒ 为定义在 D 上的函数，通常简记为
y = f（ x） ，x∈D，
其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记为 Df，即 Df = D． 在上述定义下，从映射的角度出发，不难理解狄利克雷函数的属性及意义．
例 1 狄利克雷函数
{1， x∈Q
定义 1［1］ 设 X、Y 是两个非空集合，如果存在一个对应法则 f，使得对 X 中每个元素 x，按法则 f，在 Y 中 都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么称 f 为从 X 到 Y 的映射，记作 f： X→Y． 集合 X 称为映射 f 的定义域，记 为 Df，即 Df = X； X 中所有元素的像组成的集合称为映射 f 的值域，记作 Ｒf，则 ＲfY．
数学被认为是描述自然界最好的语言，伽利略曾经说过“大自然这部巨著是用数学语言写成的”，但大 自然是丰富多彩、千变万化的，怎么办？ 数字化是用数学方法研究物质世界的前提，而映射是实现数字化的 关键． 事实上函数作为高等数学的重要研究对象，是映射的一种特殊情况． 映射反映了事物之间的“一对 一”或“多对一”的依赖关系，可以说映射无处不在． 比如我们每个人都有唯一对应的身份证号，学生进大学 之后每个人对应着一个学号，坐在教室里的每个人和教室的座位之间等都存在着特殊的对应关系，抛开它们 的实际意义，这种对应关系实质上就是数学中的“映射”．
Vol． 28 No． 1 Mar． 2019
高等数学中映射概念的实例教学法滕吉红，鲁志波，黄晓英
（ 信息工程大学 基础部，河南 郑州 450002）
摘要： 从映射的角度阐述函数概念的发展历程，给出了密码学、通信领域以及哲学层面上的一些映射概念的实
例，其目的是尽量挖掘数学基础知识与学生所学专业的联系，使数学联系生活、数学联系科技、数学联系哲学，进而
高等数学学习的四种境界分别是： 数学联系生活以感受数学； 数学联系科技以应用数学； 数学联系艺术 以欣赏数学； 数学联系哲学以透视数学． 相应地，教师在教授数学知识的时候也要设法从这四个角度加以引 导． 因此在介绍映射概念的时候，结合简单的加密体制、通信中的编码理论以及哲学思想，为学生介绍了一些 活生生的“映射”的实例，不仅使学生从日常生活、专业以及哲学这几个不同的层次对“映射”这一概念本身 有了深刻的理解，同时也充分意识到“映射”作为现代数学的一个基本概念，对我们用数学方法研究客观世 界功不可没． 1 映射的基本概念
些函数可用曲线表示，也可用一个或多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，
把对函数的认识又推进了一个新的层次． 1837 年，德国数学家狄利克雷认为怎样去建立 x 与 y 之间的关系
无关紧要，他拓广了函数概念，指出： “对于在某区间上的每一个确定的 x 值，y 都有一个或多个确定的值，那
2． 1 从映射角度阐述函数概念的意义
微积分理论是为了解决有关运动或变化的实际问题而引进的，因此在微积分诞生初期，函数也打上了实
际背景的烙印，绝大部分函数是被当作曲线来研究的． 后来，欧拉给出了函数的解析表达式定义，即一个变量
的函数是由这个变量和一些数，即常数，以任何方式组成的解析表达式． 1822 年，法国数学家傅里叶发现某
第 28 卷 第 1 期 2019 年 3 月
河南教育学院学报（ 自然科学版） Journal of Henan Institute of Education （ Natural Science Edition）
doi： 10． 3969 / j． issn． 1007 － 0834． 2019． 01． 015
么 y 叫做 x 的函数． ”在康托建立了集合论之后，美国数学家维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函
数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，并且打破了“变量是数”的极限，
变量可以是数，也可以是其他对象（ 点、线、面、体、向量、矩阵等） ，现代函数的定义就是从映射的角度来阐述