高三数学(文史类)试题

高中数学学习材料
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高三数学（文史类）试题
2016.3
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合{}()(){}|0,|230A x x B x x x =<=+-≤，则A
B =
（A ）{}|30x x -≤< （B ）{}|32x x -<<-
（C ）{}|20x x -≤< （D ）{}|3x x ≤ （2）i 是虚数单位，则复数
22i i
=+ （A ）2455i -+ （B ）2455i + （C ）2455i - （D ）2455i --
（3）已知,x y 是实数，则1""1x y >⎧⎨>⎩
是21x y xy +>⎧⎨>⎩的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（4）根据如下样本数据：
x 2 4 5 6 8
y 20 40 60 70 80
得到的回归直线方程为ˆ10.5y
x a =+，据此模型来预测当20x =时，y 的值为 （A ）210 （B ） 210.5 （C ）211.5 （D ）212.5
（5）函数()
12log 43x
y x =-的定义域为 （A ）3,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ （B ）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭ （C ）3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦ （D ）3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭
（6）在样本的频率分布直方图中，一共有()3m m ≥个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余1m -各小矩形面积之和的14
，且样本容量为100，则第3组的频数是 （A ）10 （B ）20 （C ） 25 （D ）40
（7）已知函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=+>的图象与x 轴的两个相邻交点之间的距离等于
2π，若将函数()y f x =的图象向右平移12
π个单位长度得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为 （A ）0 （B ） 1 （C ）3 （D ）2
（8）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
（A ）72
（B ）10 （C ）4 （D ）2102+ （9）函数()21ln 8
f x x x =-的图象大致为 （A ） （B ） （C ） （D ）
（10）已知抛物线2
:8E x y =的焦点F 到双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的渐进线的距离为455，且抛物线E 上的动点M 到双曲线C 的右焦点()1,0F c 的距离与直线2y =-的距离之和的最小值为3，则双曲线C 的方程为
（A ）221164x y -= （B ）2214x y -= （C ）22142x y -= （D ）22
123
x y -=
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5分，每小题5分，共25分.
（11）执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值
为 .
（12）设变量,x y 满足约束条件330,10,1,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩
则21z x y =++的最大值为 .
（13）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量,,a b c ，满足(),c xa yb x y R =+∈，则x y += .
（14）已知圆222:245250C x y ax ay a +-++-=的圆心在直线
1:20l x y ++=上，则圆C 截直线2:3450l x y +-=所得
的弦长
为 . （15）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()3,f x x =若
1324
a <<，关于x 的方程()30ax a f x +-=在区间上[]3,2-不相等的实数根的个数为 .
三、解答题：本小题共6小题，共75分.
（16）（本小题满分12分）
某高校进行自主招生测试，对20名已经选拔入围的学生进行语言能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果对应人数如下表：
逻辑思维能力
语言表达能力
一般 良好 优秀 一般
2 2 m 良好
4 4 1 优秀
1 m 2
例如表中语言表达能力良好且逻辑思维能力一般的学生是4人，由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机选取1名，选到语言表达能力一般的学生的概率为14
.
（Ⅰ）求m,n 的值；
（Ⅱ）从语言表达能力为优秀的学生中随机选取2名，求其中至少有1名逻辑思维能力优秀的学生的概率.
（17）（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos cos 2cos .a B b A c C +=- （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若7,2c b ==，求ABC ∆的面积.
（18）（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 为正方形，AB ⊥平面BCEF ，
G 是EF 的中点，BC//EF, 1.2
BC CE EF == （Ⅰ）求证：DE//平面ACG;
（Ⅱ）求证：CG ⊥平面.ABE
（19）（本小题满分12分）
在各项均为正数的等比数列{}n a 中，1231, 6.a a a =+=
（Ⅰ）求数列{}n a 的的通项公式；
（Ⅱ）若21,,n n n n b a n -⎧=⎨⎩为奇数，
为偶数，求数列{}n b 的前n 项和.n T
（20）（本小题满分13分）
已知函数()()()22
ln 1, 1.f x x ax x a R g x x =+-+∈=- （Ⅰ）当1a =-时，求函数()y f x =的单调区间；
（Ⅱ）设函数()()()m x f x g x =-，当(
20,x e ⎤∈⎦时，是否存在实数a ，使得函数()y m x =的最小值为4？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.
（21）（本小题满分14分）
已知椭圆()2222:10x y E a b a b
+=>>的焦距为23，离心率为3.2 （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设P 是椭圆E 上在第一象限内的点，如图，点P 关于
原点O 的对称点为A ，关于x 轴的对称点为Q ，线段PQ 与x 轴交于点
C ，点
D 为线段CQ 的中点，直线AD 与椭圆
E 的另一个交点为B ，证
明：点P
在以AB 为直径的圆上.。