材料力学重点

材料力学重点及其公式
材料力学的任务：（1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。

变形固体的基本假设：（1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4 ）小变形假设。

外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。

内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2 ）剪切；（3 ）扭转；（4 ）弯曲；（5 ）组合变形。

静投荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。

动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。

失效原因：脆性材料在其强度极限。

〃破坏，塑性材料在其屈服极限b,时失效。

二者统称为极限应力理想情形。

塑性材料、脆性材料的
1 .轴向拉伸和压缩
应力和应变的概念：应力：杆件截面上内力的分布集度
应变：物体内彳王一点因各种作用引起的相对变形
\P dP
应力：pnlimeCne 正应力、切应力。

变形与应变：线应变、切应变。

先弟AA dA
纵向变形和横向变形：（拉伸前试样标距/，拉伸后试样标距4 ;拉伸前试样直径d ，拉伸后试样直径4 ）
△d = d 「d
轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式：（夹角a 从x 轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）
许用应力：] ，（脆性材料5, = 外 ,塑性材料b” =）
n 强度指标：比例极限bp —应力和应变成正比时的最高应力值
%
弹性极限一只产生弹性变形的最高应力值
屈服极限 一应力变化不大，应变显著增加时的最低应力值
%
许用应力分别为：匕]=—,[<T ] = -
,强度条件：cr max = —
<[cr],等截面杆
V A Znax
纵向线应变和横向线应变：£ =号
\d ~d
， a
泊松比：8 = -V8 = -V —
E
^a=P
a
=%
2
T N 2
cos a =——cos a .
A
=匕
sina = —sin 2a = ~^sin 2a ° ° 2 2A
胡克定律：△/二叔
EA
单轴应力下胡克定律：£二q
E
4]
轴向拉压杆的强度计算公式：<7max
强度极限一材料在断裂前所能承受的最大应力值
I pl
外力偶矩计算公式：|〃』心〃=9.55乂1()3产匚(P 功率，〃转速)
l 〃l r! min
圆轴扭转时，横截面上的应力、强度条件： T T T 计算公式：T = —p i max = — R = — Ip Ip w p 圆截面几何参数：(a )
实心圆Ip=AD\ W
P=^D' ,7 TT (D 4-d 4
) 而“ 八 117 万CP
八
(b)空心圆 I p =——-——=——(1-« ) , W p =-—(\-a ) 32 32 lo
2 .扭
转
d
a =——
D
圆轴扭转的强度条件：r max = —<[r]
Wp
剪切胡克定律(切变模量G ，切应变/) : r = G/
E 拉压弹性模量E 、泊松比y
和切变模量G 之间关系式：G = ------- ------- 2(1+ v)
圆轴扭转时任意斜截面上的应力： 正应力 er 。

=
rsin2«
切应力％ = zcos2a
圆轴扭转时的变形：相对扭转角(P = 2(rad) 单位长度扭转角(p =字=二(rad/m)
GI P
ax GI P
圆轴扭转时的刚度条件：= /，dnax = @ < S'] dx GI p GI p
3 .弯曲应力
弯曲内力与分布载荷q 之间的微分关系
"Q")
= q(x);
叱⑴
=Q(x);巨
型"=吗"
=夕
(x)
dx ax
dx. ax
受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式：o 二吗 4d)
“pD a = ------ 28
F S \M 图与外力间的关系 a)梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。

b)梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。

c)
在梁的某一截面。

幽H = F s (x) = 0
,剪力等于零,弯矩有一最大值或最小值。

dx d )由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力工有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转折点。

纯弯曲梁的正应力计算公式：0=F
梁的正应力和剪应力强度条件二聆＜ M ，丁©＜
W
几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式(52仙,为中性轴一侧的横截面对中性轴z 的静矩，b 为横截面在中性轴处的宽度)：
轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式r max
圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处r inax = 2
弯曲梁危险点上既有正应力。

又有切应力T 作用时的强度条件：
br3 = Ver
2
+4r 2 < [a] 或 a r4 = Ver 2 +3r 2
< \a\
(其中[cr] = - )
n
提高弯曲强度的措施：梁的合理受力(降低最大弯矩M 仙*，合理放置支座，合理布置载荷，合理设计截面形状
塑性材料：口』二口/，上、下对称，抗弯更好，抗扭差。

脆性材料：口/＜口,],采用T 字型或上下不对称的工字型截面。

等强度梁：截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称为等强度梁。

用叠加法求弯曲变形：当梁上有几个载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在几个 载荷共同作用时的总变形。

d 2w M (x)
梁的挠曲线近似微分方程： 一r = ——— 即 EIw =-M(x)
dx~ EI
elw
梁的转角方程：9 =——
dx
梁的挠曲线方程：W = -JJ
r
max
F S M
bl.
矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处
T
m
3F S 3 F 、
2bh 2 A
工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式
r=Th
圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处汇max
3 (TZ D 2/4) 3 A
4 .梁弯曲时的位移
简单超静定梁求解步骤：(1)判断静不定度；(2)建立基本系统(解除静不定结构的内部和外部多余约束后所得到的静定结构)；(3 )建 立相当系统(作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统)；(4 )求解静不定问题。

5 .应力状态和强度理论
------------------------------ 应力状态的分类：
’单向应力状态——单元体中三对应力面上只有一对面上的应力不为零 ,平面应力状态——单元体中三对应力面上有两对面上的应力襁零 空间应力状态——单元体中三对应力面k 的应力均不为零 .............
二向应力状态分析一解析法
(7 + (7 (7 — (7
— + ———-cos 2a 一 0,sin 2a
sin 2a+ 丁 cos 2a
人＞
•*
(2)主平面、主应力
(3)最大切应力及其作用面
(4)空间应力状态
6 .组合变形
斜弯曲：两相互垂直平面内平面弯曲的组合
(1)任意斜截面上的应力? a v -a
T~
主平面方向：tan 2ao = 一
主应力
bmax
bmin
o\ -a v 作用面方向：tan 2al =- -----
2r
切应力
"nax Gin J
r 最大切应力 max
bpnax
最大正应力
(5)空间主应力状态下的广义胡克定律
I"(一)]
5” = 6
(6 )四种强度理论的相当应力o-r2 =
— v(a 2 +)
%)- +。

2 _。

3)一 +(%
、』M v M_
(1)应力计算er =--z ±-- y
I I
y z
(2 ) 中性轴一般地不垂直于外力作用线(或中性轴不平彳亍于合成的弯矩矢量):tan 6 = /- tan cp
轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式
bmax
bmin 二F N土Mmax ~ A ~
偏心拉伸(压缩):b max
5nin =+区+竺
_ A _ W:
弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式：
"口] , ^4=^V M2+0.75T2<[<T]圆截面杆横截面上有两个弯矩M y和M2同时作用时，合成弯矩为:
圆截面杆横截面上有两个弯矩M y和M z同时作用时强度计算公式:
—V M2+0.75T2
7F2EI
等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式：F cr =——彳
(4)2
7T2E
细长压杆临界应力的欧拉公式：=—T-
A
7.压杆稳定
压杆稳定的概念：指压杆保持或恢复原有平衡状态的能力。

压杆的约束条件：(a)两端钱支〃=1
(b)一端固定、一端自由〃 =2
(c )一端固定、一端较支// = 0.7
(~)两端固定〃=0.5
压杆的长细比或柔度计算公式:几=邑
欧拉公式适用范围：(1)大柔度压杆(欧拉公式)：即当2 ，其中47T2E
；+M；+0.75" <[CT]
★惯性矩和惯性半径
惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图I -4所示。

/、= \f dA
"=L y 'dA
量纲为长度的四次方，恒为正。

相应定义
j 邛”收
为图形对y 轴和对z 轴的惯性半径。

（2 ）中等柔度压杆（经验公式）：即当4 <A<A P ，其中儿二
时，（y cr = a-bA F cr = cr er A
（3 ）小柔度压杆（强度计算公式）：即当4 <4,时，
=*。

P
压杆的稳定校核（1 ）压杆的许用压力：［/］=H ,（［b ］为许可压力，4,为工作安全系数。

）
（2）压杆的稳定条件：b = n « 0bL （夕为稳定因数）
提高压杆稳定性的措施：选择合理的截面形状，改变压杆的约束条件，合理选择材料
8 •能量法线弹性杆件的应变能：
①轴向拉伸（压缩）
2EA
T 2l
②圆轴扭转
匕=丁- 2Glp
MU
③梁弯曲（不计剪力影响）
匕=—— N 匕A
组合变形的应变能：匕=I 需〃 袈〃X +J 嘿〃
4 a 人 a
匕 卡氏第二定理：\ 1
dF
图1-4惯性矩的概念
n n
组合图形的惯性矩。

设I 6I 为分图形的惯性矩，则总图形对同一轴惯性矩为Z =Z I" L=ZLi ( i -7)若以「表
〉
/=1 J /=1 -
示微面积dA 到坐标原点0的距离，则定义图形对坐标原点0的极惯性矩
(1-8)因为 p 2 = y 2+z 2
所以极惯性矩与(轴)惯性矩有关系 <=£(y
2
+ z 2
)M= /v + l z
(1-9)
式(I -9 )表明，图形对任意两个互相垂直轴的(轴)惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。

下式 I
yz =
\A y
zdA
( I -10)
定义为图形对一对正交轴y 、Z 轴的惯性积。

量纲是长度的四次方。

I yz 可能为正，为负或为零。

若y , Z 轴中有一根为对 称轴则其惯性积为零。

★平行移轴公式
由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同，如果其中一对轴是图形的形心轴(y ,z c )时，如
图I -7所示，可得到如下平行移轴公式
A
< L=L +b 2A
4 Zc
Iyz = &zc + ClbA
简单证明之:
其中J/cdA 为图形对形心轴的静矩，其值应等于零，则得 同理可证(1-13 )中的其它两式。

结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。

在使用惯性积移轴公式时应注意
a ,
b 的正负号。

把斜截
面上的总应力p 分解成与斜截面垂直的正应力和相切的切应力T n (图13.1c )，则其与主应力的关系为
T n - J(T ；尸
( 13.2 )
在以为横坐标、T n 为纵坐标的坐标系中，由上式所确定的任意斜截面上的正应力和切应力工〃为由三个主应力所确定的三个
圆所围成区域(图13.2中阴影)中的一点。

由图13.2显见
f
y = \f dA
= £ (Z
C + a)' dA = £Z C 2
dA + 2a^^z c dA + a 2 dA
.9
7 2
cr 〃 =
(13.1) rmax
★组合图形的形心坐标计算公式：”=
图1-7平行移轴公式
图13.2。